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浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 尖子生测试卷2 （解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝28°.将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′等于（ ）
A．138° B．134° C．124° D．118°
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣28°＝62°，
由旋转得A′B＝AB，∠A′BA＝∠ABC＝28°，
∴∠BAA′＝∠BA′A，
∵∠BAA′+∠BA′A+∠A′BA＝180°，
∴2∠BAA′+28°＝180°，
∴∠BAA′＝76°，
∴∠CAA′＝∠BAC+∠BAA′＝62°+76°＝138°，
故答案为：A.
2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°.则∠D+∠E=（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
【答案】B
【解析】如图，连接OA、OB、OC，
由题意：∠BOC=2∠BAC=100°，
∴∠AOB+∠AOC=260°，
又∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），
∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°.
故答案为：B.
3．如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】连接OE、OF，过O做ON⊥EF，
即
在含的中，有
为圆的直径，为圆的半径
，即
由图可知，当点D从点B运动到点C的过程中，线段AD的长度先减小后增大
线段EF的长度先减小后增大
故答案为：C.
交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵等腰Rt△ABC内接于圆O，且AB为直径，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
作MC⊥CD，交DA延长线于M，
∵，
∴，
∵A、C、B、D四点共圆，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵直径，，，
∴，，
∴，
四边形ADBC的面积为，故③错误；
∵，要使四边形ADBC的周长最大，要最大，
∴当AD=BD时，四边形ADBC的周长最大，
此时，，故④正确；
综上，①②④正确；
故答案为：C.
5．如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（ ）
A．若点是的中点，则
B．若，则
C．若，则
D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】A：若点是的中点，则，真命题，依据同圆或等圆中，等弧对等弦；
B：若，则，真命题，因为同垂直于一条直线的两条线平行，两直线平行，同位角相等；
C：若，则，真命题，直径所对圆周角是直角，等腰三角形底边高也是底边中线；
D：若半径平分弦，则四边形是平行四边形，假命题，只能证明不足以证明是平行四边形。
故答案为：D
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
7．已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（ ）
①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】①如图1，∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝β，∠AOC＝180°﹣β，
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝γ
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即：β+γ+γ＝180°
∴γ＝90°﹣ β，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴180°﹣β+α+α＝180°
∴β＝2α
∴γ＝90°﹣α
故①正确；
②如图2，∠OAC＝∠OCA＝α，∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠OBC＝γ
∵α：β：γ＝1：4：3，
∴∠BAD＝β﹣α＝3α，∠ABD＝β＝4α，∠ADB＝∠OBC+∠ACB＝γ+γ﹣α＝5α
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°
∴3α+4α+5α＝180°
∴α＝15°
∴∠ACB＝2α＝30°，
故②正确．
③如图3，∵OA＝OC＝OB
∴∠OCA＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝β，∠OBC＝∠OCB＝γ
∴2（α+β+γ）＝180°
∴α+β+γ＝90°
故③不正确
④如图3，∠BAC+∠ABC＝2α+β+γ≠α+γ﹣2β
故④不正确
故选：A．
8．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（ ）
A．随点C的运动而变化，最小值为
B．随点C的运动而变化，最大值为8
C．随点C的运动而变化，最大值为
D．随点C的运动而变化，但无最值
【答案】B
【解析】连接OC，
∵△CBD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中，
∴△OCD≌△OBD（SSS）
∴∠BDO=∠CDO=∠CDB=30°，
过点O作OF⊥BD于点F，
∴OD=2OF，
要使OD的值最大，则OF的值最大，
∴当点F和点B重合时，此时OF的值最大，
∴OF=OB=4，
∴OD=4×2=8.
故答案为：B
9．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于E和D，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：D.
10．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
【答案】C
【解析】如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
【答案】23
【解析】连接，
∵，是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：23.
12．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 度；当DB＝DF时，BC的长为 .
【答案】135；
【解析】∵AB是半圆O的直径，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝AB＝，
∴∠ABC+∠CBA＝90°，
∵点F是的中点，
∴＝，
∴∠ABF＝∠CBF＝ABC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAB，
∴∠ABF+∠BAD＝（∠ABC+∠CAB）＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠ABF+∠BAD）＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°，
连接AF、OF，OF交AC于点M，如图，
则OF＝OA＝，∠AFB＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝45°＝∠ADF，
∴AF＝DF，
当DB＝DF时，BF＝2DF＝2AF，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
即AF2+（2AF）2＝，
∴AF2＝4，
∵AF＞0，
∴AF＝2，
∵点F是的中点，
∴OF⊥AC，
∴∠AMO＝∠AMF＝90°，
设OM＝x，则FM＝OF﹣OM＝﹣x，
在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2＝﹣x2，
在Rt△AFM中，AM2＝AF2﹣FM2＝22﹣，
∴﹣x2＝22﹣，
∴x＝，
∴OM＝，
∵sin∠BAC＝＝，
∴BC＝＝，
故答案为：135；.
13．如图， 等腰内接于，，，点D是上一点， 连接， 点E是上一点，满足. 若， 则的面积是 .
【答案】
【解析】如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与间距离处处相等，
∴，
∵点D是上一点，
∴，
作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
14．如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点G.在点F整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 .
【答案】或或
【解析】①当时：连接，
则：，
∴
∵四边形为正方形，
则：，，；
∴，
∴，
∴三点共线，
又∵点F分别在上，
∴F为正方形对角线的交点，
∴；
②当时：如图，
此时：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
③当时，点F作的垂线分别交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，设.
∵，
则.
∴.
∵，
∴，
解得 或 （舍弃），
∴ ，
综上所述，所有满足条件的BF长分别为 或或.
故答案为：或或.
15．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 运动到点C时，线段AE的最大值是 ．
【答案】
【解析】连接 ，取 中点 ，连接 ，如下图：
∵ ， 为 中点
∴
∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上
∴当 共线且点 在 的延长线上时， 最大
延长 交 于点 ，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴ 垂直平分 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的最大值为
故答案为： .
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
【答案】2+2+π
【解析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π.
故答案为：2+2+π.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD=10，EF=15，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵AB为直径，CF⊥AB
∴AB平分弧CF
∵C为 的中点
∴弧CD=弧CB=弧BF
∴CD=BF
∵∠1=∠2，∠3=∠F
∴△CDG≌△BFG
（2）解：连结OF
∵弧CD=弧CB=弧BF
∴弧CF=弧DB
∴BD=CF=2 EF=30
∵AD=10，∠ADB=90°
∴AB=
∴OF=
∵CF⊥AB
∴OE=5，BE= －5
18．已知是的直径，点在上，为的中点.
（Ⅰ）如图，连接，，求证：；
（Ⅱ）如图2，过点作交于点，直径交于点，若为中点，的半径为2，求的长.
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）如图，连接，
，为中点，，
，，
是的直径，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
的半径为2，
，
.
19．如图1，圆的两条弦、交于点，两条弦所成的锐角或者直角记为.
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由.
（2）如图2，若，，，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点与点重合，同时落在圆上的点，连接.
①求的度数；
②求.
【答案】（1）解：的度数+的度数.
理由如下：
连接，如图1，
，
而的度数，的度数，
的度数+的度数；
（2）解：①连接、、，作于，于，如图2，
将以圆心为中心顺时针旋转，直至点与点重合，同时落在圆上的点，
，，
由（1）得的度数+度数，
的度数+的度数，
即的度数为，
，
，
而，
；
，
，
在中，，，
在中，.
20．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）不是
（2）解：连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH= OB=3，
∴BH= OH=3 ，
∵BD=2BH=6 ，
∴AC=BD=6 ，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积= ×6 ×6 =54
（3）解：OM= AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM= AD．
【解析】（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
21．如图①，已知的两条弦，相交于点M，，设的半径为r.
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图②，若，，设，求证：.
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
（2）解：连接、，
，，
，
，
，
；
（3）证明：连接、、，交于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
由勾股定理得：
.
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
【答案】（1）证明：∵CD为⊙M的直径，
∴CM＝DM＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴BM＝CM＝DM＝CD，
∴点B在⊙M上．
（2）解：如图，连接DE，
∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE，
∴∠DEC＝90°，＝，
∴∠DEA＝90°，BD＝DE，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∴∠ADE＝180°-∠A-∠AED＝45°，
∴∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝DB，
∴AD＝=AE＝BD，
∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，
∴BC＝AB＝（+1）BD，
∴BC：BD＝+1．
（3）证明：如图，连接EM，
由（2）知∠ECB＝45°，
又∵∠EMB＝2∠ECB，
∴∠EMB＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴EM2+MF2＝EF2，
∵弧CG=30°，
∴∠CMG=30°，
∴∠DME＝60°，
∵DM＝EM，
∴△DME是等边三角形，
∴DE＝EM，∠MDE＝60°，
由（2）知AE＝DE，
∴AE＝EM，
∵∠DEC＝90°，∠MDE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠MCF＝∠FMC＝30°，
∴CF＝MF，
又∵EM2+MF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝EF2．
23．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
【答案】（1）解：是的“幸运角”，理由：
是的直径，弦，
平分，
即为的垂直平分线，
，
，
.
，
，
是的“幸运角”；
（2）解：的度数为，
，
，
.
，
.
∵的“幸运角”度数.
∴的“幸运角”度数为；
（3）解：①连接，，如图，
∵的“幸运角”为，.，
，，
.
直径，
，
；
②，，
为等腰直角三角形，
.
设，则，
在中，
，
，
解得：或，或，
或8.
24．如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，AB=AC.
（1）如图1，若BD是⊙O的直径，求证：∠BAC=2∠ACD；
（2）如图2，若BD⊥AC，DE =3，CE=4，求BE的长；
（3）如图3，若∠ABC+∠DCB=90°，AD=7，BC=24，求AB的长；
（4）在（3）的条件下，保持BC不动，使AD在⊙O上滑动，（滑动中AD长度保持不变）直接写出BD+AC的最大值．
【答案】（1）证明：连接AO、CO ∵AO=AO，BO=CO，AB=AC
∴△OAB ≌ △OAC (SSS)
∴∠BAO =∠CAO=∠ABO
∴∠BAC=2∠ABD=2∠ACD.
（2）解：连接AO并延长交BD于点H，交BC于G由（1）知，
∠BAO =∠CAO ∴AG⊥BC，
∵ BD⊥AC ∴∠HBC+ ∠BHG=∠HAC+∠AHE=90°
∴∠HBC=∠HAC=∠HAB ∴∠DAC=∠DBC=∠HAB
又∵AB=AC， ∠ABH=∠ACD
∴△BAH ≌ △CAD (ASA)
∴BH=CD，AH=AD
又∵ BD⊥AC ∴HE=ED
在Rt△CED中，
∴
∴BE=BH+EH=5+3=8
以下方法也可：
（3）解：如图作直径BF，连接CF、DF、AO交BC于G，∴∠DFB+∠DBF=90°
又∵∠DFB=∠DCB ∠ABC+∠DCB=90°
∴∠ABC=∠DBF ∴ ∠ABD=∠CBF
∴弧CF=弧AD
∴CF=AD=7 (用弧的度数证明也可）
在Rt△BCF中，BF= ， OG= = ，
由AG⊥BC，得BG=12，AG = 9
在Rt△ABG中，
（4）解：(BD+AC)max =
【解析】【解答】(4)当AD转到优弧位置时，BD+AC存在最大值，
∵∠ABC+∠DCB=90°，取AB⊥CD于点E，
∴BE2+CE2=BC2，DE2+AE2=AD2，
(BD-AC)2≥0，即BD2+AC2≥2BD×AC，
BD+AC==
≤
=
=
=
=25，
∴(BD+AC)max = .
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浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 尖子生测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝28°.将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′等于（ ）
A．138° B．134° C．124° D．118°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°.则∠D+∠E=（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
3．如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小
4．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
5．如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（ ）
A．若点是的中点，则 B．若，则
C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
（第5题） （第6题）
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
7．已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（ ）
①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（ ）
A．随点C的运动而变化，最小值为 B．随点C的运动而变化，最大值为8
C．随点C的运动而变化，最大值为 D．随点C的运动而变化，但无最值
9．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于E和D，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
12．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 度；当DB＝DF时，BC的长为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图， 等腰内接于，，，点D是上一点， 连接， 点E是上一点，满足. 若， 则的面积是 .
14．如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点G.在点F整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 .
15．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 运动到点C时，线段AE的最大值是 ．
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD=10，EF=15，求BE的长．
18．已知是的直径，点在上，为的中点.
（Ⅰ）如图，连接，，求证：；
（Ⅱ）如图2，过点作交于点，直径交于点，若为中点，的半径为2，求的长.
19．如图1，圆的两条弦、交于点，两条弦所成的锐角或者直角记为.
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由.
（2）如图2，若，，，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点与点重合，同时落在圆上的点，连接.
①求的度数；
②求.
20．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
21．如图①，已知的两条弦，相交于点M，，设的半径为r.
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图②，若，，设，求证：.
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
23．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
24．如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，AB=AC.
（1）如图1，若BD是⊙O的直径，求证：∠BAC=2∠ACD；
（2）如图2，若BD⊥AC，DE =3，CE=4，求BE的长；
（3）如图3，若∠ABC+∠DCB=90°，AD=7，BC=24，求AB的长；
（4）在（3）的条件下，保持BC不动，使AD在⊙O上滑动，（滑动中AD长度保持不变）直接写出BD+AC的最大值．
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