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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第2章简单事件的概率（解析版）
2.2简单事件的概率
【知识重点】
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
【经典例题】
【例1】小明任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“1-6”的整数.抛掷一次正面朝上为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一枚质地均匀的骰子，有六个面，出现的总的结果数有6种，而出现的面为偶数的有2、4、6这三种，
∴抛掷一次正面朝上为偶数的概率为，
故答案为：A.
【例2】不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出1个球，则这个球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵袋子中装有个红球和个白球，共个球，
∴从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为，
故答案为：B.
【例3】在一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
红1 红2 红3 白1 白2
红1 红1红1 红2红1 红3红1 白1红1 白2红1
红2 红1红2 红2红2 红3红2 白1红2 白2红2
红3 红1红3 红2红3 红3红3 白1红3 白2红3
白1 红1白1 红2白1 红3白1 白1白1 白2白1
白2 红1白1 红2白1 红3白1 白1白1 白2白1
由列表可知共有种可能，两次都摸到红球的有9种，所以概率是．
故答案为：D．
【例4】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图如图所示，
由图可知这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的情况，其中第一辆向左转，第二辆向右转的情况有1种，
∴第一辆向左转，第二辆向右转的概率为．
故答案为：B．
【例5】袋中装有2个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球有 个.
【答案】1
【解析】根据题意得：
，
解得：，
∴这个袋中白球有1个.
故答案为：1.
【例6】一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率.
【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：
【基础训练】
1．从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为.
故答案为：C.
2．如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针(如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一区域)所指颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】列树状图如下
一共有9种结果数，转到其中一区域)所指颜色相同的有3种情况，
∴P（转到其中一区域)所指颜色相同的）=.
故答案为：D
3．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其余都相同，则从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，从袋中任意摸出一个球共有5种结果，其中出现红球的情况有3种可能，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率是.
故答案为：C.
4．如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】随机将小球分成数量相同的两部分，
∴确定一部分的同时，另一部分也确定，
共有1，2；1，3；1，4三种分法，
其中奇数恰好分一起的有一种，
∴，
故答案为：C．
5．有三张背面完全一样，正面分别写有汉字“初”，“三”，“了”的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的汉字后放回冼匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
【答案】
【解析】抽2次，每次有3种可能，共有33=9种可能
抽到相同汉字的有3种可能
∴概率为：
故答案为：
6．从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是 .
【答案】
【解析】∵一共有3名男生，2名女生，每位学生被选取的概率相同，
∴从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是，
故答案为：.
7．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学去参加“喜迎二十大”的演讲比赛，则恰好抽到乙、丙同学的概率是 ．
【答案】
【解析】列树状图如下
一共有12种结果数，恰好抽到乙、丙同学的有2种情况，
∴P（恰好抽到乙、丙同学）=.
故答案为：
8．抽屉里放有3张黑桃和1张红桃共四张扑克牌.从中任意摸出1张，记下花色后不放回，再摸出1张.摸出的两张扑克牌颜色相同的概率是 .
【答案】
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌颜色相同的有6种结果，
所以摸出的两张扑克牌颜色相同的概率为，
故答案为：.
9．一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.
【答案】（1）解：由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
（2）解：根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为.
10．2022年世界杯在卡塔尔举办. 赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组. 每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强.
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）.
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率.
【答案】（1）解： 甲队进入E组的概率为：；
（2）解：根据题意列出表格如下，
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
由表可知：共有12种等可能的结果数， 甲、乙两支队伍同时晋级十六强的只有两种等可能的结果数，
故甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率为：.
11．宁波方特东方欲晓是一座以红色文化为主题的大型主题公园，公园精心策划了多个历史主题区域，其中最有特色的三个游玩项目如下表所示.
《圆明园》 《致远 致远》 《 击长空》
小慈和小溪两名同学去景区游玩，他们各自在这3个项目中任选一个进行游玩，每个项目被选择的可能性相同.
（1）求小慈选择《致远 致远》的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小慈和小溪选择不同项目的概率.
【答案】（1）解：小慈选择《致远 致远》的概率是
（2）解：列表如下：
∴一共有9种等可能的结果，其中小慈和小溪选择不同项目的结果有6种，
∴小慈和小溪选择不同项目的概率
12．为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量.学校教务处决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A.书写观后感；B.演示科学实验；C.绘制手抄报；D.开展主题班会.王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由八年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回搅匀，再由九年级派一名代表从中随机抽取一张.
（1）八年级代表抽到的主题卡片是绘制手抄报(C)的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验(B)的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图图如下：
共有16种等可能的结果，其中两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验(B)的结果有7种，
∴两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验(B)的概率为
【解析】（1）∵王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，
∴八年级代表抽到的主题卡片是绘制手抄报(C)的概率为.
故答案为：
【培优训练】
13．如图是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，在涂色一个小正方形，使它和已知阴影部分组成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一共16个格，已涂3个，还有13个可以涂，
∴总共有13个可能
再涂一个，使它和已知阴影部分组成一个轴对称图形，
只有4个位置可以做到轴对称如图。
∴ 概率为
故答案为：C
14．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教有”主题班会.下列说法中正确的是（ ）
A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大
C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大
【答案】D
【解析】小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况：
小王抽到“主持人”可能性为，
小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条，
抽取“主持人”可能性为：，
抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”），
故小李抽到“主持人”的可能性为：，
小马抽到“主持人”的可能性为：，
故答案为：D.
15．如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过E门的概率为.
故答案为：.
16．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】第1个图形中的“心”字个数为1；
第2个图形中的“心”字个数为2；
第3个图形中的“心”字个数为3；
第100个图形中的“心”字个数为100；
第100个图形中的正方形的个数为1+2+3++100=5050，
∴从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是.
故答案为：D
17．从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】C
【解析】从长度分别为3、5、7、8的4条线段中任取3条作边，有以下4种情况：3，5，7；5，7，8；3，7，8；3，5，8；
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，能组成三角形的是：3，5，7；5，7，8；3，7，8；共3种情况，
组成三角形的三边为：3，5，7时，如图所示：
根据三角形的三边关系，只能∠B＝60°，
过点A作AD⊥BC于D，则BD＝，AD=
∴CD＝BC BD＝，
∵（）2+（）2≠52，
∴组成三角形的三边为：3，5，7时，不能组成含有60°角的三角形；
组成三角形的三边为：5，7，8时，如图所示：
根据三角形的三边关系，只能∠B＝60°，
过点A作AD⊥BC于D，则BD＝，AD＝
∴CD＝BC BD＝，
∵（）2+（）2=72，
∴组成三角形的三边为：5，7，8时，能组成含有60°角的三角形；
组成三角形的三边为：3，7，8时，如图所示：
根据三角形的三边关系，只能∠B＝60°，
过点A作AD⊥BC于D，则BD＝，AD＝
∴CD＝，
∵（）2＋（）2＝72，
∴组成三角形的三边为：3，7，8时，能组成含有60°角的三角形；
∴能组成含有60°角的三角形的概率为＝0.5.
故答案为：C.
18．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 .
【答案】10
【解析】根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故答案为：10.
19．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
【答案】
【解析】∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
20．如图，甲， 乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为，使抛物线与轴有公共点的概率为 ．
【答案】
【解析】若抛物线与轴有公共点，
则令，得到抛物线对应的一元二次方程有实根，
∴，解得，
画树状图得：
由树状图知：一共有12种等可能的结果，其中满足的有1种结果，
∴使抛物线与轴有公共点的概率为：，
故答案为：．
21．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.
【答案】（1）
（2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率.
【解析】（1）解：根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，
所画三角形是等腰三角形的概率；
故答案为：；
22．中国古代有若辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献.某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）.现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好.
A《周脾算经》 B《九章算术》 C《海岛算经》
（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率.
（2）若从3张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中《九章算术》和《海岛算经》的概率.
【答案】（1）解：，
抽到《周髀算经》的概率为.
（2）解：根据题意可列树状图如下所示：
根据树状图可知，一共有6种等可能的结果，其中符合要求的结果有2中，
故恰好选中《九章算术》和《海岛算经》的概率为：，
故答案为：.
23．有A、B、C三把锁，其中A锁配了一把钥匙a，B锁配了一把钥匙b，C锁配了一把钥匙c，对于每把锁，只有用所配的钥匙才能打开，请根据题意，解决下列问题．
（1）从三把钥匙中，随机选取一把，求所选钥匙恰好能打开C锁的概率．
（2）从三把锁和三把钥匙中，随机选取两边锁和两把钥匙，若用选取的钥匙开选取的锁，求只能打开一把锁的概率．
【答案】解：从三把钥匙中，随机选取一把，所得的结果有3个，分别为a、b、c，其中能打开c锁的结果有1种，所以所选钥匙恰好能打开c锁的概率为 从三把锁和三把钥匙中，随机选取两边锁和两把钥匙，若用选取的钥匙开选取的锁，求只能打开一把锁的概率．解：从三把锁和三把钥匙中，随机选取两把锁和两把钥匙，所得结果共有9种，分别为：ABab，ABac，ABbc，ACab，ACac，ACbc，BCab，BCac，BCbc；其中只能打开一把锁的有6种结果，分别为：ABac，ABbc，ACab，ACbc，BCab，BCbc所以只能打开一把锁的概率为
（1）解：从三把钥匙中，随机选取一把，所得的结果有3个，分别为a、b、c，其中能打开c锁的结果有1种，
所以所选钥匙恰好能打开c锁的概率为 .
（2）解：从三把锁和三把钥匙中，随机选取两把锁和两把钥匙，所得结果共有9种，分别为：ABab，ABac，ABbc，ACab，ACac，ACbc，BCab，BCac，BCbc；
其中只能打开一把锁的有6种结果，分别为：ABac，ABbc，ACab，ACbc，BCab，BCbc
所以只能打开一把锁的概率为
24．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 12 24 12
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】（1）解：树状图为：
∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种，
∴摇出一红一白的概率= = ；
（2）解：∵两红的概率P= ，两白的概率P= ，一红一白的概率P= ，
∴摇奖的平均收益是： ×12+ ×24+ ×12=20元．
∵20＞18，
∴我选择摇奖.
【直击中考】
25．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
26．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 .
【答案】
【解析】共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为 .
故答案为 ： .
27．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【答案】
【解析】∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
故答案为： ．
28．甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第2章简单事件的概率
2.2简单事件的概率
【知识重点】
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
【经典例题】
【例1】小明任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“1-6”的整数.抛掷一次正面朝上为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出1个球，则这个球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3】在一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【例4】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【例5】袋中装有2个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球有 个.
【例6】一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率.
【基础训练】
1．从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针(如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一区域)所指颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其余都相同，则从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．有三张背面完全一样，正面分别写有汉字“初”，“三”，“了”的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的汉字后放回冼匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
6．从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是 .
7．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学去参加“喜迎二十大”的演讲比赛，则恰好抽到乙、丙同学的概率是 ．
8．抽屉里放有3张黑桃和1张红桃共四张扑克牌.从中任意摸出1张，记下花色后不放回，再摸出1张.摸出的两张扑克牌颜色相同的概率是 .
9．一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.
10．2022年世界杯在卡塔尔举办. 赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组. 每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强.
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）.
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率.
11．宁波方特东方欲晓是一座以红色文化为主题的大型主题公园，公园精心策划了多个历史主题区域，其中最有特色的三个游玩项目如下表所示.
《圆明园》 《致远 致远》 《 击长空》
小慈和小溪两名同学去景区游玩，他们各自在这3个项目中任选一个进行游玩，每个项目被选择的可能性相同.
（1）求小慈选择《致远 致远》的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小慈和小溪选择不同项目的概率.
12．为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量.学校教务处决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A.书写观后感；B.演示科学实验；C.绘制手抄报；D.开展主题班会.王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由八年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回搅匀，再由九年级派一名代表从中随机抽取一张.
（1）八年级代表抽到的主题卡片是绘制手抄报(C)的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验(B)的概率.
【培优训练】
13．如图是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，在涂色一个小正方形，使它和已知阴影部分组成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教有”主题班会.下列说法中正确的是（ ）
A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大
C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大
15．如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
18．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 .
19．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
20．如图，甲， 乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为，使抛物线与轴有公共点的概率为 ．
21．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.
22．中国古代有若辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献.某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）.现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好.
A《周脾算经》 B《九章算术》 C《海岛算经》
（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率.
（2）若从3张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中《九章算术》和《海岛算经》的概率.
23．有A、B、C三把锁，其中A锁配了一把钥匙a，B锁配了一把钥匙b，C锁配了一把钥匙c，对于每把锁，只有用所配的钥匙才能打开，请根据题意，解决下列问题．
（1）从三把钥匙中，随机选取一把，求所选钥匙恰好能打开C锁的概率．
（2）从三把锁和三把钥匙中，随机选取两边锁和两把钥匙，若用选取的钥匙开选取的锁，求只能打开一把锁的概率．
24．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 12 24 12
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【直击中考】
25．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 .
27．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
28．甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
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