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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第2章简单事件的概率（解析版）
2.4概率的简单应用
【知识重点】
人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大。例如：买彩票时希望知道中奖的概率有多大；出门旅游时希望知道天气是否晴朗等。概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。
【经典例题】
【例1】育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数据：
抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000
发芽粒数 96 287 770 958 1923 a
则a的值最有可能是（ ）
A．2700 B．2780 C．2880 D．2940
【答案】C
【解析】∵
∴=2880，
故答案为：C．
【例2】一个不透明的口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外没有其他任何区别．现从中任意摸出一个球．如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入绿球( )个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设需要在这个口袋中再放入x个绿球，得：，
解得：x=2.
所以需要在这个口袋中再放入2个绿球.
故答案为：C.
【例3】在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 .
【答案】20个
【解析】根据图象可知，摸出黑球的频率为0.2，
所以总的球数为： 个，
所以白球数量为： 个，
故答案为：20个．
【例4】一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：
实验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
则袋中原有红色小球的个数约为 个．
【答案】40
【解析】由表可知，摸出红球的概率约为，
设袋中原有红色小球的个数为x，
根据题意，得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列分式方程的解，
故设袋中原有红色小球的个数为40，
故答案为40．
【例5】一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数－1，2，－3，4．摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【答案】解：如图，
共有12种情况，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的有（2，-1） 、（4，-1） 、（2，-1） 、（2，4） 、（-3，4） 、（4，-1） 、（4，2） 、（4，-3） ，共8种，
∴P==.
【例6】一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）
【答案】（1）解：∵布袋中有8个红球和16个白球，共24个，
∴从袋中摸出一个球是红球的概率是P＝.
（2）解：解法一：∵球的总数不变，改变后，摸出一个球是红球的概率是 ，
∴红球有24×＝15个，
∴红球增加的数目及取走白球的数目为15-8＝7个 ．
答：取走了7个白球．
解法二：设取走x个白球，
∴，
解得：x＝7．
答：取走了7个白球．
【基础训练】
1．吴老师在演示概率试验时，连续随机抛掷一枚质地均匀的骰子，前3次的结果是“6”，则第4次的结果是“6”的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】∵抛一枚质地均匀的骰子，共有6种结果，其中结果是6只有1种情况，
∴第4次的结果是“6”的概率为.
故答案为：B.
2．一个口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为35%，则估计红球的个数约为（ ）
A．35个 B．60个 C．70个 D．130个
【答案】C
【解析】∵一个口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为35%，
∴红球的个数=200×35%=70个，
故答案为：C．
3．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，由此估计这个口袋中红球的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】D
【解析】因为共摸了200次球，发现有140次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.7，
所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.7=7（个）．
故答案为：D．
4．从n个苹果和3个桔子中任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值为 ．
【答案】6
【解析】根据题意得：，
，
，
，
经检验，是方程的解．
故答案为：6．
5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
【答案】8
【解析】根据表格，摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则可估计口袋中白球的个数约为(个)，
∴估计袋中黑球有20-12=8个
故答案为：8．
6．在一个不透明的盒子中装有个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是 ．
【答案】8
【解析】∵摸出一个球是红球的概率是，红球有4个，
∴球的总数为4÷=12个，
∴白球的个数为12-4=8个.
故答案为：8.
7．在一个不透明的盒子里仅有白球若干个，为了知道这些白球的个数，小明同学往盒子里放了10个除颜色外其它都与原白球相同的红球，摇匀后随机抽取了8个球，其中有2个红球，则盒子中约有白球 个．
【答案】30
【解析】∵随机抽取了8个球，其中有2个红球，
∴红球所占的概率为，
又∵盒子里共有个红球，
∴盒子里的总球数约为：（个），
∴盒子中白球数量约为：（个）．
故答案为：30
8．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y（指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘）．小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
解：列表如下：
x y 2 0 -1
3 6 0 -3
2 4 0 -2
-2 -4 0 2
-3 -6 0 3
由表可知，可能出现的结果由12种，并且它们出现的可能性相等，x与y的乘积是正数的结果有4种，x与y的乘积是负数的结果有4种，
∴，
，
即这个游戏对双方公平．
9．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为什么？
【答案】解：公平，
理由：∵一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种，黄和绿色的都有3个扇形，
∴指针指向黄色区域的概率是：，指针指向绿色区域的概率是：，
∴这个游戏对甲、乙公平．
10．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．
（1）转盘转到奇数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）解：因为共有9种等可能的结果，其中奇数有1，3，5，7，9，共有5种等可能的结果，
所以．
（2）解：这个游戏不公平．
理由：因为共有9种等可能的结果，其中偶数有2，4，6，8，共有4种等可能的结果，
所以，
因为，所以这个游戏不公平．
【培优训练】
11．有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了5个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则盒中白色小球的个数可能是（ ）
A．16个 B．20个 C．24个 D．25个
【答案】B
【解析】设盒子里有白球x个，
根据题意得： ，
解方程得x=20，
经检验x=20是原方程的根，
即盒中大约有白球20个．
故答案为：B
12．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（ ）
A．60 B．56 C．54 D．52
【答案】C
【解析】设黑色棋子有x枚，
∵摸到白色棋子的频率稳定在0.1，
∴ ，
解得 ，
经检验 是方程的解，
∴黑色棋子有54枚，
故答案为：C．
13．在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】根据题意得：
，
解得：，
故答案为：B．
14．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】A
【解析】【解答】列表如下：
第一次
第二次 -1 1 -1 2
2 1 3 1 4
-2 -3 -1 -3 0
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故答案为：A．
15．在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．10个
【答案】B
【解析】设后来放入袋中个红球，根据题意得：
，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：后来放入袋中的红球有5个；
故答案为：B
16．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
【答案】2000
【解析】50÷2.5%=2000.
故答案为：2000.
17．在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则袋子内共有球 个.
【答案】6
【解析】设黄球的个数为x，根据题意得：
，
解得：.
经检验，是原方程的根.
∴，
故答案为：6.
18．广广和雅雅在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是和的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ .（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【解析】∵半径分别是3m和2m的同心圆，
∴半径是3m的圆的面积为；半径是2m的圆的面积为，则阴影部分的面积为，
∵，
故答案为：不公平.
19．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
【答案】B；4
【解析】第一行中B与第二行中C肯定有一张为白1，若第二行中C为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
∴黑卡片数字1摆在标注字母A的位置；
第一行中C与第二行中C肯定有一张为白2，若第二行中C为白2，则a、b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，
∴第一行中c为白2；
第一行中F与第二行中C肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D、E只能是黑2，黑3，此时黑2在边2右边，与规则矛盾，
∴第二行中C为白色3，
∴第二行中a为黑色，b为黑3，
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D、E只能是黑3，黑4，此b为黑3，矛盾，
∴第二行中e为白4.
故答案为：①B，②4.
20．一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当时，谁获胜的可能性大？
（2）要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【答案】（1）解：当时，则红球有10个，黄球有5个，
红球的个数多于黄球的个数，
摸到红球的可能性更大，
当时，甲同学获胜可能性大；
（2）解：要使游戏对甲乙双方公平，必须有：
解得；
当时，游戏对甲乙双方是公平的．
21．不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，求放入黄球个数．
【答案】（1）解：（黄球）；
（2）解：设放入个黄球，
由题意得：，
解得，
经检验，是方程的根且符合题意 ，
答：放入4个黄球．
22．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是；
（2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
【答案】（1）解：从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是：；
（2）解：设取走了x个红球，则放入白球的数量也为x，
，
解得，
答：取走了4个红球．
23．暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
（1）甲顾客购物300元，他获得奖券的概率是 ；
（2）乙顾客购物600元，并参与该活动，他获得20元和80元奖券的概率分别是多少？
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
【答案】（1）0
（2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，
由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种，
所以指针指向红色的概率为，
指针指向黑色的概率为，
所以他获得20元和80元奖券的概率分别为，.
（3）解：设需要将个黄色区域改为红色，
则由题意得，，
解得：，
所以需要将3个黄色区域改为红色.
【解析】（1）∵一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会，甲顾客购物300元，
∴他获得奖券的概率为0.
24．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 1200
摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 a
（1）a＝ ．
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）．
（3）求口袋中红球的数量．
【答案】（1）0.8
（2）0.80；0.8
（3）解：设口袋中红球的数量为x个，
由题意得： 0.8 （x+15）＝x，
解得：x＝60．
答：口袋中红球的数量为60个．
【解析】（1）a＝1200÷1500＝0.8.
故答案为：0.8；
（2）当摸球的次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.80，
∴摸到红球的概率是0.8.
故答案为：0.80，0.8.
【直击中考】
25．甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
26．一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】摸到红球的概率为： .
故答案为：D.
27．四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案.中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为： .
故答案为：C.
28．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球。从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率 ．
故答案为： ．
29．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
【答案】6
【解析】估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．
故答案为：6．
30．某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 .
【答案】
【解析】根据随机事件概率公式得；
1张奖券中一等奖的概率为 ，
故答案是： .
31．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】
【解析】由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8, 6时，田忌的马按5，9, 7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方的马对阵中，共有6种情况，只有1种对阵情况田忌会赢，
∴田忌能赢得比赛的概率= ，
32．某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 ；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）画树状图为如下：
共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【解析】（1）∵共有A、B、C、D、E五人，
∴女生D入选的概率为.
故答案为：.
33．为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）解：他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第2章简单事件的概率
2.4概率的简单应用
【知识重点】
人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大。例如：买彩票时希望知道中奖的概率有多大；出门旅游时希望知道天气是否晴朗等。概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。
【经典例题】
【例1】育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数据：
抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000
发芽粒数 96 287 770 958 1923 a
则a的值最有可能是（ ）
A．2700 B．2780 C．2880 D．2940
【例2】一个不透明的口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外没有其他任何区别．现从中任意摸出一个球．如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入绿球( )个
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3】在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 .
【例4】一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：
实验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
则袋中原有红色小球的个数约为 个．
【例5】一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数－1，2，－3，4．摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【例6】一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）
【基础训练】
1．吴老师在演示概率试验时，连续随机抛掷一枚质地均匀的骰子，前3次的结果是“6”，则第4次的结果是“6”的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
2．一个口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为35%，则估计红球的个数约为（ ）
A．35个 B．60个 C．70个 D．130个
3．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，由此估计这个口袋中红球的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
4．从n个苹果和3个桔子中任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值为 ．
5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
6．在一个不透明的盒子中装有个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是 ．
7．在一个不透明的盒子里仅有白球若干个，为了知道这些白球的个数，小明同学往盒子里放了10个除颜色外其它都与原白球相同的红球，摇匀后随机抽取了8个球，其中有2个红球，则盒子中约有白球 个．
8．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y（指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘）．小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
9．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为什么？
10．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．
（1）转盘转到奇数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【培优训练】
11．有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了5个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则盒中白色小球的个数可能是（ ）
A．16个 B．20个 C．24个 D．25个
12．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（ ）
A．60 B．56 C．54 D．52
13．在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
15．在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．10个
16．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
17．在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则袋子内共有球 个.
18．广广和雅雅在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是和的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ .（填“公平”或“不公平”）
19．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
20．一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当时，谁获胜的可能性大？
（2）要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
21．不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，求放入黄球个数．
22．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是；
（2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
23．暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
（1）甲顾客购物300元，他获得奖券的概率是 ；
（2）乙顾客购物600元，并参与该活动，他获得20元和80元奖券的概率分别是多少？
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
24．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 1200
摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 a
（1）a＝ ．
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）．
（3）求口袋中红球的数量．
【直击中考】
25．甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
26．一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
27．四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
28．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球。从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
29．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
30．某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 .
31．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
32．某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 ；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
33．为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
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