第四章 相似三角形章末复习-----母子相似型 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
浙教版九年级上册
------------母子型相似
第四章 相似三角形章末复习
相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
2、三边成比例的两个三角形相似
3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4、两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的性质：
1、对应角相等、对应边成比例；
2、对应角平分线的比、对应中线的比、对应高线的比、周长的比等于相似比、
3、面积的比等于相似比的平方
推论：平行三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
齐声朗读
1.在△ABC中，D为BC上一点，如果∠BAD=∠BCA，那么△BAD与△BCA相似吗？
在△BAD和△BCA中
∠B=∠B
∠BAD=∠BCA
△BAD∽△BCA
2、如图点D是△ABC的AB边上的一点,要使△ADC∽△ACB,则需补上哪一个条件
A
C
B
D
∠1=∠2、
∠3=∠4、
或 AC2 = AD · AB
1
2
3
4
图形特征：
（1）△ADC与△ACB有一个公共角和一条公共边
(2) 小△ADC寓于大△ACB中，恰似子依母怀，小△ADC∽大△ACB
几何模型：
母子相似型
重要结论：
公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项
3.已知：△ABC中，AC=9，BC=6，问：边AC上是否存在一点D，
使△ABC∽△BDC？如果存在，请算出CD的长度？
A
B
C
D
△ABC∽△BDC
BC2 = CD · AC
62 = CD × 9
CD= 4
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
A
B
C
D
（1）图中有 条线段，其中
AD是 在斜边AB上的射影，
BD是 在斜边AB上的射影。
6
AC
BC
（2）图中有 对相似三角形，
3
△ACD ∽ △CBD
△ACD ∽ △ABC
△CBD ∽ △ABC
CD2=AD·BD
.
AC2=AD·AB
.
BC2=BD·AB
.
.
公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项
母子相似型:
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为( )
A
△ACD ∽ △ABC
.
AC2=AD·AB
32=AD×6
特殊母子型相似---------射影定理
6.如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ：∠ACB=90°．
A
B
C
D
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
母子相似型:
公共边是夹等角的另一条对应边的比例中项
A
B
D
C
B
D
C
常见相似三角形基本模型 常见类型 基本图形 说明
“母子”型 在△ABC中，∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC
在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则△ACD∽△CBD∽△ABC
归纳总结
③共边共角
特殊母子型相似---------射影定理
1. 已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
A
B
C
D
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
重点提示：图中找母子
相似得比例
比例来计算
计算求线段
夯实基础，稳扎稳打
2.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若
∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,求△BCD的面积
解∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,∴=()2=.
∵S△ACD=1,∴S△ABC=4,
S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.
.
3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件，下列添加的条件其中错误的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
D
4. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂
足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.
·
A
C
D
O
P
证明：连接AC，BC.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°.
又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∠PCB＋∠B＝90°.
又 ∠A＝∠CPB，
∴ △APC ∽△CPB.
B
5 :如图,已知A、B是以BD为 直径的⊙O上两点，C为BD上一点，且∠ACB=90 ，AC=3，BC=4.⊙O是否存在这样的点E，使得△BAE 与△BAC
相似.若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.
E
E
（1）
（2）
连续递推，豁然开朗
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.
求证：AM2＝MD·ME.
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA.
∴ ，即AM2＝MD·ME.
7.　如图，点C是△ABD的中线AE上一点，且∠EBC=∠EAB，
求证：∠EDC=∠DAC．　
分析：
∠EBC=∠EAB
∠BEC=∠AEB
△AEB∽△BEC
AE是△ABD的中线
∠DEC=∠AED
△DEC∽△AED
∠EDC=∠DAC
8.　如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：
A
B
C
D
证明：
法一
在AC上取点E，使得CD=ED连接BE.
∵CD=ED，BD⊥AC
∴BE=BC
∴∠BEC=∠BCE.
∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC=∠BEC.
又∵∠ACB=∠BCE.
∴△ABC∽△BEC.
∴
即 ，
E
思维拓展，更上一层
8.　如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：
A
B
C
D
E
法二
延长CA到点E，使得CA=AE，连接BE
AB=AC
AB=AC=CE
∠EBA=∠E，∠ABC=∠C
∠EBC=90°
BD⊥AC
△CDB∽△CBE
谢谢
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