专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】含解析

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专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】
【知识点1 归类法】
运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.
【题型1 归类法】
【例1】（2022春 普陀区校级期中）计算：8+（﹣1）﹣5﹣（）．
【变式1-1】（2022春 徐汇区校级期中）计算：．
【变式1-2】（2022秋 青浦区期中）计算：．
【变式1-3】（2022秋 和平区校级月考）计算：
（1）；
（2）﹣5．
【知识点2 凑整法】
将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.
【题型2 凑整法】
【例2】（2022秋 普陀区期末）计算：3.43﹣26.57﹣5．
【变式2-1】（2022秋 济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．
【变式2-2】（2022秋 上蔡县月考）计算：
（1）22（﹣5）﹣（﹣5）．
（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．
【变式2-3】（2022秋 石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣5）﹣87.3+3．
【知识点3 逆向法】
主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.
【题型3 逆向法】
【例3】（2022秋 红谷滩区校级期中）用简便方法计算
．
【变式3-1】（2022秋 兰山区月考）252525×（）
【变式3-2】（2022秋 红谷滩区校级期中）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99（﹣36）．
【变式3-3】（2022秋 红谷滩区校级期中）简便计算
（﹣48）×0.125+48
【知识点4 拆项法】
将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
【题型4 拆项法】
【例4】（2022秋 安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：﹣5．
解：原式0
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
【变式4-1】（2022秋 铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣4）+3.75﹣（+8）．
【变式4-2】（2022秋 浦东新区期中）计算：．
【变式4-3】（2022秋 凉山州期末）：．
【知识点5 组合法】
找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.
【题型5 组合法】
【例5】（2022秋 南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　　．
【变式5-1】（2022秋 襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016
【变式5-2】（2022秋 工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（　　）
A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101
【变式5-3】（2022秋 工业园区月考）计算：
（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；
（2）||+||﹣||．
【知识点6 裂项相消法】
将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
【题型6 裂项相消法】
【例6】（2022秋 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：
解：
根据阅读材料，请你完成下列问题：
（1）计算：；
（2）直接写出结果：　　；（不需要计算过程）
（3）计算：．
【变式6-1】（2022秋 遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
先观察下列等式：，，
将以上等式两边分别相加得：
然后用你发现的规律解答下列问题：
（1）猜想并写出：　　；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　　；
②　　；
（3）探究并计算：．
【变式6-2】（2022秋 虹口区期末）先阅读，再答题
1，，，
根据你发现的规律，试写出
（1）；
（2）　　；
计算：．
【变式6-3】（2022秋 高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）1，，，则　　，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：　（）　（其中n，k均为正整数），并计算．
【题型7 倒数求值法】
【例7】（2022秋 城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题
计算：．
解：（方法一）原式＝
（方法二）原式的倒数为
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10．
故原式．
请阅读上述材料，选择合适的方法计算：．
【变式7-1】（2022秋 南开区期中）（）÷（）．
【变式7-2】（2022秋 宽城县期末）阅读下列材料：
计算：，
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数．
所以原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　　是错误的；
（2）计算：　　；
（3）请你选择合适的解法计算：．
【变式7-3】（2022秋 怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：（）×12
（2）选择合适的方法计算：（）÷（）
专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】
【知识点1 归类法】
运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.
【题型1 归类法】
【例1】（2022春 普陀区校级期中）计算：8+（﹣1）﹣5﹣（）．
【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可．
【解答】解：8+（﹣1）﹣5﹣（）
＝（8﹣5）+[（﹣1）﹣（）]
＝3+（）
＝2．
【变式1-1】（2022春 徐汇区校级期中）计算：．
【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【变式1-2】（2022秋 青浦区期中）计算：．
【分析】运用加法交换律和结合律计算．
【解答】解：原式＝21
＝（21）+（）
1
＝1．
【变式1-3】（2022秋 和平区校级月考）计算：
（1）；
（2）﹣5．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可；
（2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可．
【解答】解：（1）
＝31214
＝（32）+（﹣11）﹣4
＝1﹣4
；
（2）﹣5
＝（﹣59）+（173）
＝﹣1514
＝﹣1．
【知识点2 凑整法】
将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.
【题型2 凑整法】
【例2】（2022秋 普陀区期末）计算：3.43﹣26.57﹣5．
【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．
【解答】解：3.43﹣26.57﹣5
＝（3.43+6.57）﹣（25）
＝10﹣8
＝2．
【变式2-1】（2022秋 济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．
【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5
＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）
＝﹣20+15
＝﹣5．
【变式2-2】（2022秋 上蔡县月考）计算：
（1）22（﹣5）﹣（﹣5）．
（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．
【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．
【解答】解：（1）22（﹣5）﹣（﹣5）
＝2255
＝（25）+（25）
＝8﹣3
＝5；
（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18
＝3.75﹣5.18+2.25+5.18
＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）
＝6．
【变式2-3】（2022秋 石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣5）﹣87.3+3．
【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果．
【解答】解：
＝（﹣12.7﹣87.3）+（53）
＝﹣100+9
＝﹣91．
【知识点3 逆向法】
主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.
【题型3 逆向法】
【例3】（2022秋 红谷滩区校级期中）用简便方法计算
．
【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．
【解答】解：（﹣92）+（）×3423，
923423，
（92﹣3423），
（92﹣11），
81，
＝18．
【变式3-1】（2022秋 兰山区月考）252525×（）
【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：252525×（）
＝25×（）
＝25×0
＝0．
【变式3-2】（2022秋 红谷滩区校级期中）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99（﹣36）．
【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝31（﹣9﹣8+16）
＝31（﹣1）
＝﹣31；
（2）原式＝（100）×（﹣36）
＝100×（﹣36）（﹣36）
＝﹣3600
＝﹣3599．
【变式3-3】（2022秋 红谷滩区校级期中）简便计算
（﹣48）×0.125+48
【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；
【解答】解：（﹣48）×0.125+48
＝48×（）
＝0.
【知识点4 拆项法】
将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
【题型4 拆项法】
【例4】（2022秋 安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：﹣5．
解：原式0
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（），再根据有理数的加减运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（）
＝﹣4+（）
＝﹣4．
【变式4-1】（2022秋 铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣4）+3.75﹣（+8）．
【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝1438
＝﹣7+8
＝1．
【变式4-2】（2022秋 浦东新区期中）计算：．
【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加．
【解答】解：原式＝52
（5﹣2）+（）
＝3+（）
＝3
＝3．
【变式4-3】（2022秋 凉山州期末）：．
【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．
【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（）]+[（﹣2022）+（）]+4044+（）
＝（﹣2021﹣2022+4044）+（）
＝1+（﹣1）
＝0．
【知识点5 组合法】
找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.
【题型5 组合法】
【例5】（2022秋 南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　﹣50　．
【分析】根据结合律，可得答案．
【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99
99
＝49﹣99
＝﹣50，
故答案为：﹣50．
【变式5-1】（2022秋 襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016
【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论．
【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，
∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．
【变式5-2】（2022秋 工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（　　）
A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101
【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．
【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+ +（99﹣100）
＝﹣50，
故选：B．
【变式5-3】（2022秋 工业园区月考）计算：
（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；
（2）||+||﹣||．
【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解；
（2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解．
【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99
＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）
＝﹣2×25
＝﹣50；
（2）||+||﹣||
＝0．
【知识点6 裂项相消法】
将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
【题型6 裂项相消法】
【例6】（2022秋 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：
解：
根据阅读材料，请你完成下列问题：
（1）计算：；
（2）直接写出结果：　　；（不需要计算过程）
（3）计算：．
【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得；
（2）原式利用（）裂项求和即可得；
（3）利用相同的方法裂项计算可得．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式[（1）+（）+（）+（）+（）]
（1）
，
故答案为：；
（3）原式
【变式6-1】（2022秋 遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
先观察下列等式：，，
将以上等式两边分别相加得：
然后用你发现的规律解答下列问题：
（1）猜想并写出：　　；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　　；
②　　；
（3）探究并计算：．
【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；
（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；
（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：；
（2）①原式＝11；
②原式＝11；
（3）原式（）（）．
故答案为：（1）；（2）①；②
【变式6-2】（2022秋 虹口区期末）先阅读，再答题
1，，，
根据你发现的规律，试写出
（1）；
（2）　　；
计算：．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；
（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；
（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．
【解答】解：（1）；
（2）；
＝1
＝1
．
故答案为：；．
【变式6-3】（2022秋 高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）1，，，则　　，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：　（）　（其中n，k均为正整数），并计算．
【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论；
（2）分别计算出，，的值，再进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．
【解答】解：（1）∵1，，，
∴．
故答案为：；
（2）∵（1），（），（），
∴
（1）
（1）
．
故答案为：；
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：（）．
（1）．
故答案为：（）．
【题型7 倒数求值法】
【例7】（2022秋 城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题
计算：．
解：（方法一）原式＝
（方法二）原式的倒数为
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10．
故原式．
请阅读上述材料，选择合适的方法计算：．
【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：原式的倒数为：
（）÷（）
＝（）×（﹣54）
36+12
∴原式．
【变式7-1】（2022秋 南开区期中）（）÷（）．
【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．
【解答】解：原式的倒数是（）÷（）
＝（）×（﹣20）
（﹣20）（﹣20）（﹣20）（﹣20）
＝5+8+（﹣18）+30
＝25，
故原式．
【变式7-2】（2022秋 宽城县期末）阅读下列材料：
计算：，
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数．
所以原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　一　是错误的；
（2）计算：　15　；
（3）请你选择合适的解法计算：．
【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；
（2）利用乘法的分配律进行求解即可；
（3）仿照解法三进行解答即可．
【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，
故答案为：一；
（2）
363636
＝18﹣9+6
＝15，
故答案为：15；
（3）原式的倒数＝（）÷（）
＝（）×（﹣210）
（﹣210）（﹣210）（﹣210）（﹣210）
＝﹣90﹣28+63+50
＝﹣5，
∴．
【变式7-3】（2022秋 怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：（）×12
（2）选择合适的方法计算：（）÷（）
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值．
【解答】解：（1）
＝3+2﹣6
＝﹣1；
（2）原式的倒数是：
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14，
故原式．
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