浙教版九上数学每日一题6-10 线段和差最值问题（含解析）

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每日一题6 线段和差的最值问题
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6.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0), B(β,0),且.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E. 是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.
(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
每日一题7 线段和差的最值问题
班级 小组 姓名
7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在第一象限内的此抛物线上，且OE⊥BC于D，求点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PA与PE之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题8 线段和差的最值问题
班级 小组 姓名
8.已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点在点右侧），点、关于直线对称．
（1）坐标为　 　坐标为　 　；坐标为　 　；
（2）求二次函数解析式；
（3）在轴上找一点，使得最大，求点坐标；
（4）过点作直线交直线于点，、分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值．
每日一题9 线段和差的最值问题
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9．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，cos∠ABO＝ 　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题10 线段和差的最值问题
班级 小组 姓名
10．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0），点B（3,0），与y轴交于点C（0,3），顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且＝3∶5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，），G（2,0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题6 答案
【解答】解：（1）由题意可得：，是方程的两根，由根与系数的关系可得，
，，，
，即，解得：，故抛物线解析式为：；
（2），
抛物线的对称轴为，顶点的坐标为：，
又抛物线与轴交点的坐标为：，点与点关于对称，
点坐标为：，
为抛物线上的点，过点作轴，垂足为，
若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则，
，
，
当时，，
解得：，，
当时，，
解得：，，
无法得出以为对角线的平行四边形，
故点的坐标为；，，，，，，，．
每日一题7 答案
7. 解：（1）根据题意，得A（﹣2，0）、C（0，3）．
∵抛物线过A（﹣2，0）、C（0，3）两点，
∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．
（2）由y=﹣x2+x+3可得B点坐标为（3，0）．∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，∴OD平分∠BOC．（4分）∴点E的横坐标等于纵坐标．
设E（x，y）．
解方程组得， ∴点E的坐标为（2，2）．
（3）在抛物线的对称轴上存在一点P，使线段PA与PE之差的值最大．
当点P为抛物线的对称轴和BE所在的直线y=﹣2x+6的交点时，
PA﹣PE=PB﹣PE=BE，其值最大．BE==．（6分）
由解得∴点P的坐标为（，5）．∴点P为（，5）时PA﹣PE的最大值为．
每日一题8 答案
【解答】解：（1）设，，，，
，解得，，，，
由直线可知，，，
作于，如图1，，
，，
，，；故答案为，，，；
（2）把，代入得，，解得，
二次函数解析式为；
（3），
当点和点重合时最大，；
（4）设直线的解析式为，把和点的坐标代入求出，，
过点作直线，直线的解析式为中的，
又因为在直线上，代入求出，直线的解析式为：，
联立，解得：，交点的坐标是，，则，
点、关于直线对称，，，的最小值是，，
过作轴于，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，，则，，，
根据两点之间线段最短得出的最小值是，即的长是的最小值，
，，由勾股定理得，
的最小值为8．
每日一题9 答案
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：EQ \B\lc\{(\a\al(×16－4b＋c＝0, ×4－2b＋c＝6))，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；
对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，
则＝或 ，即＝或 ，解得：yP＝2或4，故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得EQ \B\lc\{(\a\al(k＝,b＝﹣))，
故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；
（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
每日一题10答案
{答案}解:（1）∵经过A、B、C三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣1,0），B（3,0），C（0,3）代入解析式中，则有
∴ 解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵＝3∶5，∴．∴AE∶EB=3∶5．
∴AE=AB=×4=．∴xE=﹣1＋＝．∴点E的坐标为（，0）．
又∵点C的坐标为（0,3），∴直线CE的解析式为y=﹣6x+3．
（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x－1)2+4，∴顶点D的坐标为（1,4）．
①当四边形DCPQ为平行四边形时，yD－yQ=yC－yP，即4－0=3－yP，
∴yP=﹣1，令y=﹣1，则﹣x2+2x+3=﹣1．∴x=1±．
∴点P的坐标为（1±，﹣1）．
②当四边形DCQP为平行四边形时，yC－yQ=yD－yP，即3－0=4－yP，
∴yP=1，令y=1，则﹣x2+2x+3=1．∴x=1±．∴点P的坐标为（1±，﹣1）．
∴综上，点P的坐标为（1±，﹣1），（1±，﹣1）．
（4）∵点A，点B关于对称轴x=1对称∴连接BH与直线x=1交点即为点F．
∵点H的坐标为（0，），点B的坐标为（3,0），∴直线BH的解析式为：y=﹣x+．
令x=1，则y=.∴当点F的坐标为（1，）时，HF+AF的值最小.
设抛物线上存在一点K（x0，y0），使得KF+FC的值最小.
则由勾股定理可得：KF2=(x0－1)2+(y0－)2．又∵点K在抛物线上，∴y0=﹣(x0－1)2+4．
∴﹣(x0－1)2=4－y0代入上式中，∴KF2=(x0－1)2+(y0－)2=(y0－)2．
∴KF=．
如答图，过点K作直线HK，使HK∥y轴，且点H的纵坐标为17/4、．
∴点H的坐标为(x0，17/4)．则HK=．∴KF=HK．∴KF+KG=HK+KG．
∴当且仅当H、K、G三点在一条直线上，且该直线平行于y轴．
又∵点G的坐标为（2,0），
∴x0=2．将其代入抛物线解析式中可得：y0=3．
∴当点K的坐标为（2,3）时，KF+KG最小．
备用图
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