浙教版九上数学每日一题11-15 二次函数与相似（含解析）

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每日一题11 二次函数与相似
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11. 如图，已知直线与抛物线相交于A(-1，0)，B（4，m）两点，抛物线交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点的坐标．
每日一题12 二次函数与相似
班级 小组 姓名
12.已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
每日一题13 二次函数与相似
班级 小组 姓名
13．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题14 二次函数与相似
班级 小组 姓名
14.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
每日一题15 二次函数与相似
班级 小组 姓名
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
每日一题11 答案
11.解：（1）将B（4，m）代入得， ，∴B（4，），将A(-1，0)，B（4， ），C（0，）代入得，解得，∴抛物线的解析式为，，故顶点M的坐标为（1，－2）；
（2）如下图（1），过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，∵A(-1，0)，B（4，），∴AF＝4―（―1）＝5，设直线AB的关系式为y＝kx＋b，设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，），∵点P为直线AB下方，∴PE＝（）－（）＝，∴S△CDE＝S△APE ＋S△BPE＝PE·AG＋PE·FG ＝PE·（AG＋FG）＝PE·AF＝×5（）＝，∴当时，△PAB的面积最大，且最大面积为，当时，，故此时点P的坐标为（，）；
（3）∵抛物线的解析式为，，∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，又∵A(-1，0)，∴点D的坐标为（3，0），又∵M的坐标为（1，－2），∴AD＝3―（―1）＝4，AD2＝42＝16，AM2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且AM＝DM，
∴△MAD是等腰直角三角形，∠AMD＝90°，又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN也是等腰直角三角形且QM＝QN，∠MQN＝90°，∠QMN＝45°，又∵∠AMD＝90°，∴∠AMQ＝∠QMD＝45°，此时点D（或点A）与点N重合，（如下图（2））此时MQ⊥x轴，故点Q的坐标为（1,0）．
每日一题12 答案
12.解：（1）由直线：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：
a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得 a=﹣
∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2．
（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t； 而 OP=OB﹣BP=4﹣2t；
∴s===（0＜t＜2），
∴当t=1时，s有最小值，且最小值为 1．
（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 BC=2；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，则 CD=t；
∴BD=BC﹣CD=2﹣t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，则有两种情况：
①= =，解得 t=；
②= =，解得 t=；
综上，当t=或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
每日一题13 答案
13.{答案}解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
代入C（0，﹣3），B（3，0）得：a=1,b=-3，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则，其中0＜n＜3，
当时，S△BCN有最大值为，此时点N的坐标为（），
（3）设D点坐标为（1，t），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当BC为对角线时，G(2，-3-t)，代入抛物线得t=0，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，G(4，t+3)，代入抛物线得t=2，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，G(-2，t-3)，代入抛物线得t=4，此时G坐标为（﹣2，1）.
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，解得
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，
则，，
由题意知：△PEO相似△ABC，分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，∴，∴，
解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；
②△PEO∽△ABC，∴，∴，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．
每日一题14 答案
14，{答案}解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC＝PF OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△BCO相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，∴，
解得a＝1.∴M（1，8），此时ND＝DM＝，∴N（0，），当时，
△COB∽△MDC∽△NMC，∴，解得a＝，∴M（，），此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，∴M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．
综上所述，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
每日一题15 答案
15.{答案}解：（1）由题意，将A(－1．0)，B(4．0)代入y＝ax2＋bx＋4，得
解得∴二次函数的表达式为y＝－x2＋3x＋4．
当x＝0时，y＝4，得点C(0，4)，又点B(4，0)，设线段BC所在直线的表达式为y＝mx＋n，
∴解得∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋4．
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，
只要DE＝PF，此时四边形DEFP即为平行四边形．由二次函数y＝－x2＋3x＋4＝(x－) 2＋，得D(，)．将x＝代入y＝－x＋4，即y＝－＋4＝，得点E(，)．
∴DE＝－＝．设点P的横坐标为t，则P(t，－t2＋3t＋4)，F(t，－t＋4)，
PF＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，由DE＝PF，得－t2＋4t＝，解之，得t1＝(不合题意，舍去)，t2＝．当t＝时，－t2＋3t＋4＝－()2＋3×＋4＝．∴P(，)．
（3）由（2）知，PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP．
又∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE．
由D(，)，C(0，4)，E(，)，利用勾股定理，可得
CE＝＝，DE＝－＝．由（2）以及勾股定理知，PF＝－t2＋4t，
CF＝＝t．∴，即．
∵t≠0，∴(－t＋4)＝3，∴t＝．当t＝时，－t2＋3t＋4＝－()2＋3×＋4＝．
∴点P的坐标是(，)．
C
A
O
E
F
B
P
D
l
x
y
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