浙教版九上数学每日一题16-20 二次函数与相似（含解析）

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每日一题16 二次函数与相似
班级 姓名
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
每日一题17 二次函数与相似
班级 姓名
17.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题18 二次函数与相似
班级 姓名
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴，y轴的交点分别为C(8，0)，B(0，6)，CD=5，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D-A-B-C的方向运动，到达C点后停止运动，动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止时，点N也停止运动，设运动时间为t.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
(4)过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A′，求A′Q+QN+DN的最小值.
每日一题19 二次函数与相似
班级 姓名
19. 如图，抛物线y＝＋ｂx＋ｃ经过A（－1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题20 二次函数与相似
班级 姓名
20.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3相较于A，B两点，交x轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（-3,0）.
（1）求出抛物线的解析式.
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，并求出这个最大值.
（3）点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，是否存在点P，使得以APQ为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
每日一题16 答案
16. 解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x，解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则，即2或，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
每日一题17 答案
17.（1）抛物线过点和点
∴，∴∴抛物线解析式为：.
（2）当时，，∴，∴直线BC解析式为：.
∵，∴.
过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F
设，∴，∴，∴，即，∴，∴.
（3）∵，∴△为等腰直角三角形.
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点E的横坐标为3.又点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴.
设
①当MN=EM，,△NME∽△COB时
解得或（舍去）此时点M的坐标为
②当ME=EN，时
解得：或（舍去）此时点M的坐标为
③当MN=EN，时
连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE∽△COB，此时四边形CMNE为正方形
解得：（舍去）此时点M的坐标为
在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△相似，点M的坐标为：，或．
每日一题18 答案
18.解：（1）将代入得
，解得 ∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴ ∴
（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：，
若点M在BC上运动时，，
当，则，即，∴，
当时，，∴，解得（舍去），
当时，，∴，无解；
当，则，即，∴，
当时，，
∴，解得（舍去），
当时，，
∴，解得，
综上所示：当时，；时；
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，∴点 由得对称轴为 ∴点
∴
∴
故最小值为．
每日一题19 答案
解：（1）由题意得，，解得，. ∴y=+3.
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得，∴y=﹣x+3．
设D（a，+3）（0＜a＜4）．过点D作DM⊥x轴交BC于M．∴M（a，﹣a+3）.
∴DM==．
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠COB，∴△DEM∽△BOC，∴=．
∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=DM．
∴DE==.当a=2时，DE取最大值，最大值是．
（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．
∵F是AB的中点，∴OF=，tan∠CFO==2．
过点B作BG⊥BC交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H．
∵DE⊥BC，故∠CED=90°，则只存在另外两个角与∠CFO相等．
①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE==2，∴BG=10．
∵△GBH∽△BCO，∴==．
∴GH=8，BH=6.∴G（10，8）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴y=x+3．
依题意得，，解得x=，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，同理可得，BG=，GH=2，BH=，∴G（，2）．
同理可得，直线CG的解析式为y=－x+3．
依题意得，，解得x=，或x=0（舍）．
综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标为或．
每日一题20 答案
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