第一章整章教案(浙江省嘉兴市嘉善县)

第1章二次根式
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第1章 二次根式
目　录
TOC \o "1-3" \h \z \u 1.2 二次根式的性质 (1) 2
1.2 二次根式的性质（2） 4
1.3 二次根式的运算（1） 7
1.3 二次根式的运算（2） 10
1.3 二次根式的运算(3) 13
1.2 二次根式的性质 (1)
【教学目标】
　1．经历二次根式的性质:(a≥0),
= 的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法
2．了解二次根式的上述两个性质.
3．会运用上述两个性质进行有关的计算.
【教学重点、难点】
重点：本节的重点是二次根式性质：(a≥0),
=
难点： =
【教学过程】
1、 引入新课
1） 提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（）
得到：（）=2 （－=2
2） 提问：（=？ （
选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。
2、 新课讲授
1、 由上面的提问得到什么样的结论？
2、那么对于上面的性质，a能小于0吗？（不能，a必须大于等于0）
（a≥0）
3、提问： ？
请几个中游的学生回答。（ 2，2 ；5，5 ；0，0 ）
4、议一议： 与有什么关系？当a≥0时，=？当a＜0时， =？
经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。
教师总结：=
5、提问：=？
三、讲解例题
例1、计算
（1）
（2）
按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：
1） 应用哪一个性质？具体怎么算？
2） 计算顺序应该怎样？
第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。
教师总结：计算时应看清符合哪一个性质？a是大于0还是小于0？
练习：1）（-
2）（2
例2 计算
对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性质。的优点。在这里应强调判断中a的符号。
练习：
由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演。老师点评板演结果。
完成课本“课内练习”
四、小结
师生共同完成：通过今天的学习，你有什么收获或困惑？
五、布置作业
课本作业本
1.2 二次根式的性质（2）
【教学目标】
　1．探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法．
2．会用二次根式的性质进行简单的计算和化简．
【教学重点、难点】
重点：二次根式的积和商的性质．
难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧．
【教学过程】
1、 引入新课
动手做一做：填空（可用计算器计算）：
（1） =＿, ×=＿;
（2） =＿, ×=＿;
（3） =＿, =＿;
（4） =＿, =＿.
比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。
2、 新课讲解
1、 一般地，二次根式的积与商的性质：
积的性质：=· (a≥0,b≥0);
商的性质： = （ a≥0,b＞0）
2、 性质深化：
练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正：
（1）=×；
（2） ==2（a为任意实数）
解：（1）不成立。因为被开方数不能为负，、无意义。
改正：==6.
（1） 不成立。因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取值 范围是不等于零的任何实数。
3、讲解例题：
例3 化简：（1）；（2）；（3）； （4）；
（5）
解：（1）=×=11×15=165；
（2）=×=4；
（3）==；
（4）==；
（5）===.
注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。
②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简
练习：
1、化简：⑴； ⑵ ； ⑶.
2、化简：⑴ ； ⑵ ；⑶.
例4 先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0．01）
⑴ ； ⑵ ；⑶
解：⑴===×=12≈20.78；
⑵ ===≈1.01；
⑶ ===×=×=0.01≈0.02
总结：
化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母
练习：先化简，再求出下面算式的近似值：
⑴ （结果保留4个有效数字）；
⑵ （精确到0．01）.
3、 探究活动：
化简下列两组式子：
①=＿，=＿；
②=＿，=＿；
③=＿，=＿；
④=＿，=＿
你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。
请再任意先几个数验正你发现的规律。
4、 小结：
师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？
5、 布置作业
见作业本
1.3 二次根式的运算（1）
【教学目标】
　1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．
2．会进行简单的二次根式的乘除运算．
【教学重点、难点】
重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则．
难点：例1第（3）题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则，
是本节教学的难点。
【教学过程】
教师活动 教学内容 设计意图 学生活动
回顾 1、二次根式有哪些性质。 进一步梳理和巩固已生成的知识。 自由口答默写
2、怎样化简二次根式。 化简下列二次根式：，，， 体验性质与公式的准确运用。 自愿上来板演，其他自己做。
3、怎样计算？是否有简便方法？ ， 体验分别化简的复杂。观察是否有简便方法。 自愿上来板演其他自己做
教师书写课题 二次根式的运算1（乘除运算）
教师活动 教学内容 设计意图 学生活动
新课讲解 4、引导、启发把二次根式的乘除性质公式左右交换一下。概括二次根式的乘除运算法则。 体验二次根式的乘除运算法则的发现过程。 观察与思考
5、出示例 1 例 1 计算 （2）中被开方数是带分数要先化成假分，运算结果解：（3） 规范书写知道运算程序 (1),(2)题两位学生板演。领悟与练习
课堂练习 6、学生完成解题后出示答案 课本12页课内练习第1、2题 会正迁移，领悟方法与步骤 学生先做，后挑选部分屏幕展示
7、乘除运算的一般步骤。 （1）运用法则，化归为根号内的实数运算；（2）完成根号内相乘、相除（约分）等运算；（3）化简二次根式 对具体的计算题会先设计计算程序 自由回答问题，观察与总结
8、屏幕显示例2，帮助学生审题。 （1）⊥，则（2）由勾股定理算出AD（3）路标的面积（平方单位）说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用化简的二次根式表示。 计算正三角形的面积得先算高。 讨论，自由回答问题。
课内练习 9、学生完成后，出示答案 课本12页，课内练习3。 形成整体解题思路。 自由到黑板上解题。其他自己做。
课堂小结 10、问：这一节课学习了什么 二次根式的乘除运算法则。被开方数是带分数要先化成假分。规范书写。如二次根式的简单应用——三角形面积算法。 帮助学生梳理知识理解数学的应用价值 自由回答。
布置作业 完成课本作业第13页（做在A本上）和作业本（1）
1.3 二次根式的运算（2）
【教学目标】
　1．会进行简单的二次根式的四则混合运算．
2．通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想．
【教学重点、难点】
重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算．
难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点．
【教学过程】
1、 课题引入
并回答问题：
1． 你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程
2． 上题中的a若用替代，即： 你认为运算是否正确？（答案是肯定的）
〖教师归纳〗我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.
猜想: 那么整式中的其它运算法则或运算律或运算次序是否也适用于二次根式的运算呢 (教师作肯定回答后) 导出课题: 二次根式的四则运算.
2、 进行新课
1. 复习回忆: 整式中的有关法则、运算律、运算次序.(通过复习对例3的计算思路的形成有所帮助,一定程度上降低了例3的教学难度)
2. 举例分析：
例1. 先化简,再求出近似值(精确到0.01)
启发提问: ⑴ 这是一题二次根式的什么运算 能否适用合并同类项的方法进行合并 (学生会做出否定回答)
⑵ 上面的二次根式是否还可以化简 请同学们试一下.然后再回答提问⑴ ( 最后教师板书解题过程)
归 纳: ⑴ 二次根式加减之前,应先化简二次根式;再把所含二次根式完全相同的合并成一项.
⑵ 在二次根式加减(或其它运算)时,把根号前的乘数看作它的系数.如中的2就看作的系数
牛刀小试: 先化简,再求出近似值(精确到0.01)
例2. 计算:
⑴
⑵
⑶
启发提问: ⑴ 第⑴题有哪些运算 次序怎样 系数-3和2如何处理 (可以仿照整式中的单项式相乘法则,处理系数)
⑵ 第⑵、⑶题可否用运算律？
⑶ 第⑴、⑵题能否先做括号内的 (教师板书解题过程)
学以致用: 计算:
⑴ .
⑵ .
例3．计算:
⑴ .
⑵ .
提 问 : ⑴ 这两题的计算与整式中的什么运算相近
⑵ 第⑴题又有什么特征 (教师板书解题过程)
巩固练习: 计算:
⑴ .
⑵ .
3、 课堂小结
⒈ 整式中的各运算法则、运算律各运算次序在二次根式运算中
也能适用.
⒉ 二次根的加减运算时,应先化简二次根式;然后合并二次根式完全相同的.
⒊ 含有二次根式的代数相乘,可以把它看作多项式相乘,运用多项式乘法法则和乘法公式.
⒋ 适当运用运算律简便计算.
4、 加深印象
1． 计算下列各题：
⑴
⑵
⑶
2． P14课内练习第4题（选用）
5、 布置作业
见作业本 1 3 2节 ； 回家作业 课本中作业题1、2、3、6.
1.3 二次根式的运算(3)
【教学目标】
1．会应用二次根式解决简单的实际问题,掌握坡比的意义．
2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值．
【教学重点、难点】
重点：本节教学的重点是二次根式及其运算的实际应用．
难点：课本上的例7涉及多方面的知识和综合运用,思路比较复杂,是本节教学的难点．
【教学过程】
一、导言
二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.
如图,我们规定斜坡的铅直高h与水平长度l的比叫做坡比(或坡度),即:
坡比 i=
已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2dm,宽AB=1dm.一只蚂蚁从A点爬到C点,最短路程多少
说明:设计本题有以下目的:
⑴介绍预备知识“坡比”;
⑵激发学生的兴趣;
⑶会用二次根式表示未知量.在Rt△BCE中,BC的长宜直接表示为:BC=;
⑷建议用投影机播放此题目和图片,教师引导学生分析,解答过程宜板书而弃PowerPoint.以下例题同.
〖初步体验〗(课本17页课内练习1)
二、应用举例
〖例1〗(课本15页例6)如图,扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=,BC=CD,一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,他经过了多少路程(结果要求先化简,再取近似值,精确到0.01米)
分析:
说明:以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序,学生必须养成这样的思维习惯.
〖练习一〗(课本18页A组3)
〖例2〗(课本16页例7)如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40 cm.将斜边上的高CD四等分,然后截出3张宽度相等的长方形纸条.
⑴分别求出3张长方形纸条的长度;
⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图㈡,正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2
分析:
⑴①如图㈠,从已知能得什么
在Rt△ABC中,CD⊥,AC=BC=40,易求得AB和CD长(让学生求),则CE3 =E3F3 =F3G3 =G3D = CD,纸条的宽度可求.
②怎样求纸条的长度
纸条的总长度=E1E2+F1F2+G1G2 ,如怎样求E1E2(让学生想一想) E1E2 =2CE3.,F1F2和G1G2 呢 同理,F1F2=2CF3 ,G1G2=2CG3 .
⑵如图㈡,由⑴得纸条的总长度为60,它被四等分,每条长AC=15,它们所围成的正方形的边长AB多少 AB=AC–BC=10 .
〖练习二〗(课本18页B组4)
三、总结
四、布置作业
B
A
C
图㈡
G3
G2
G1
F3
F2
F1
E3
E2
E1
图㈠
缺CD,BC= eq \f(1,2)CD.怎样求CD
缺什么
求AB+BC+CD
㈡从所求看!求什么
㈢已知滑梯CD的坡比为1:1.6有何用
可求得BE和AB
能得什么
扶梯AB的坡比为1:0.8,且AE= eq \f(3,2)
㈠从已知看!已知什么
－ 1 －
初中数学八年级下