浙教版九上数学每日一题21-25 相似三角形综合应用（含解析）

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每日一题21 相似三角形的综合应用
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21.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCF沿AE折叠，得到多边形AB’C’E，点B，C的对应点分别为点B’，C’，
（1）当B’C’恰好经过点D时（如图1）求线段CE的长；
（2）若B’C’分别交AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°，（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C’移动的路径长．
每日一题22 相似三角形的综合应用
班级 小组 姓名
22．在△ABC中，∠ABC＝90°.
(1) 如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN.
(2) 如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值.
(3) 如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值.
每日一题23 相似三角形的综合应用
班级 小组 姓名
23．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.
每日一题24 相似三角形的综合应用
班级 小组 姓名
24. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF.
(1)如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明.
(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为求AE的长.
(3)如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由.
(4)如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长.
图1 图2
每日一题25 相似三角形的综合应用
班级 小组 姓名
25. 某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=,BO:CO=1:3,求AB的长。
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）。
请问答：∠ADB= ， AB= .
请参考以上解题思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°，BO:OD=1:3,求DC的长。
每日一题21 答案
21.解：（1）由折叠知：∠B’=∠B=90°，AB’=AB=1，B’C’=BC=，C’E=CE；
由勾股定理得B’D==，∴D’C’=-，
∵∠ADE=90°，∴∠ADB’+∠EDC’=90°
∵∠ADB’+∠DAB’=90°，∴∠EDC’=∠DAB’，
∵∠B’=∠C’=90°，∴△AB’D∽△DC’E
∴，即，∴CE=；
（2）如图，连接AC，
∵tan∠BAC=，∴∠BAC=60°，∠DAC=60°，
∵∠DAE=22.5°，∴∠EAC=30°-22.5°=7.5°，
由折叠得∠B’AE=∠BAE=67.5°
∴∠B’AF=45°，∴AF=，DF=-，
∵∠B’FA=45°，∴S△DFG==;
（3）如图，连接AC’，则AC’=AC=2，
∴点C’的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧，
当点E运动到点D时，点C’恰好在CD的延长线上，此时∠CAC’=60°，
∴点C’移动的路径长是．
每日一题22 答案
【解题过程】证明：
⑴∵∠ABC＝90°，
∴∠3＋∠2＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，
又∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠M＝∠N＝90°，∠1＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2. ∴△ABM∽△BCN. 37⑴答题图
（2）过P点作PN⊥AP交AC于N点，过N作NM⊥BC于M点，
∵∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠NPC＝90°，
∴∠BAP＝∠NPC，△BAP∽△MPN，
，又∵，
设，，则，， 37(2)答题图
又∵，∴，∴，
又△∽△，，∴，
，解得：， ∴.
（3）过作交于，过作交的延长线于
∵ ∴，易知△∽△，
设，∵△∽△，∴，∴
∴，∴
37（3）答题图
每日一题23 答案
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB sin45°＝4．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC，
∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，
∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，
∴AP=AF＝2．
每日一题24 答案
【解题过程】(1)发现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE≌△CBF.
由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，所以AB=CB，BE=BF，
又∠CBF=∠ABE=60°－∠CBE，所以△ABE≌△CBF.
(2)由(1)知点E在运动过程中始终有△ABE≌△CBF，
∵S四边形BECF=S△BCF+S△BCE，
∴S四边形BECF=S△ABC，∵△ABC的边长为2，则S△ABC=，
所以四边形BECF的面积为，又四边形ABFC的面积是，
所以S△ABE=，在三角形ABE中，因∠A=60°，所以边AB上的高为 AEsin60°，
则△ABE=AB· AEsin60°=×2×AE=，则AE=.
(3)S2－S1=.
由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，所以AB=CB，BE=BF，
又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，所以△ABE≌△CBF，
∴S△ABE=S△CBF，∴S△FDB=S△ECD+S△ABC，
则S△FDB－S△ECD=S△ABC=，则S2－S1=.
(4)由(3)知S2－S1=，即S△FDB－S△ECD=，
由S△ECD=，得S△BDF=，因△ABE≌△CBF，
所以AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，所以CF∥AB，则△BDF的高是，
则DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，所以CD=x－，
在△ABE中，由CD∥AB得， ，即，
化简得3x2－x－2=0，所以x=1或x= (舍)，
即CE=1，所以AE=3.
每日一题25 答案
【解题过程】
（1）∵BD∥AC ∴∠BDO=∠OAC=75°，
∵∠AOC=∠DOB ∴△DOB∽△AOC
∴ ∵AO= ∴DO=. ∴AD=AO+DO=+=.
∵在△ABD中，∠BAO=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°，
∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD=.
(2)解：过点B作BE∥AD交AC于点E
∵AC⊥AD ∴∠DAC =∠BEA=90°
∵∠AOD =∠EOB ∴△AOD∽△EOB ∴
∵BO:OD=1:3 ∴.
∵AO= ∴EO= ∴AE=
∵∠ABC=∠ACB=75° ∴∠BAC=30°,AB=AC.
∴AB=2BE
在Rt△AEB中，
即,得BE=4.
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中，
即,得CD=
(第25题图1)
(第25题图2)
(25题图3)
(第40题答案图)
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