第四章 相似三角形章末复习------开心图形 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
浙教版九年级上册
---------开心图形
第四章 相似三角形章末复习
相似三角形的判定：
1、三边成比例的两个三角形相似
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、两角分别相等的两个三角形相似
齐声朗读
相似三角形的性质：
1、对应角相等、对应边成比例；
2、对应角平分线的比、对应中线的比、对应高线的比、周长的比等于相似比、
3、面积的比等于相似比的平方
已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝90°，
求证：△ABC∽△CDE
证明：
1
2
∵∠ACD=∠1+900
∠ACD=∠2+900
∴∠1=∠2
∴△ABC∽△CDA
∵∠B=∠D=900
图形特征：
1.三等角，三等角的顶点在同一条直线上
2. △ABC与△CDA相似
几何模型：
一线三等角
+ k型
已知：△ABC和△CDE是任意三角形，∠B=∠ACE=∠D=α，
求证△ABC ∽△CDE
证明：
∵∠ACD=∠1+α
1
2
α
α
α
∠ACD=∠2+α
∴∠1=∠2
∵∠B=∠D=α
∴△ABC∽△CDA
几何模型：
一线三等角
+ k型
+开心图形
已知：△ABC和△CDE是任意三角形，∠B=∠ACE=∠D=β，
求证△ABC ∽△CDE
1
2
β
β
β
证明：
∵∠1+β+∠ACB=1800
∠2+β+∠ACB=1800
∴∠1=∠2
∵∠B=∠D=β
∴△ABC∽△CDA
三点一线三等角，
开心图形显本色。
相似图形藏其中，
用上性质定靠谱。
开心图形
一线三等角(K型）
△ABC和△CDE是任意三角形，若
∠B=∠ACE=∠D，则有△ABC ∽△CDE.
△ABC和△CDE是直角三角形，若∠ACE=90°，则有△ABC ∽△CDE.
.
特殊
一般
直角三角形
一般三角形
已知：∠ABD＝∠DEC＝∠ACF＝90°，
求证：△ABC∽△BDE
证明：
∵∠1+∠DBC=900
1
2
∠2+∠DBC=900
∴∠1=∠2
∵∠ACB=∠DEB=900
∴△ABC∽△BDE
2.异侧:两个三角形在直线两侧
1.一线三等角:
图形特征：
3. △ABC与△BDE相似
A
B
C
D
E
F
已知：∠ABD＝∠DEC＝∠ACF＝α，
求证：△ABC∽△BDE
A
B
C
D
E
F
1
2
α
α
α
证明：
∵∠1+∠DBC=α
∠2+∠DBC=α
∴∠1=∠2
∵∠ACB=∠DEB=1800 - α
∴△ABC∽△BDE
图形特征：
1.一线三等角:
2.异侧:两个三角形在直线两侧
3. △ABC与△BDE相似
一线三等角
同侧
同侧：两个三角形在直线同侧
异侧
异侧：两个三角形在直线两侧
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝36°.
求证：△ADC∽△DEB.
证明：∵在△ABC中，
AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°.
∵∠ADE＝36°，∴∠ADE＝∠B.
∵∠EDC＝∠ADE＋∠ADC＝∠B＋∠DEB，
∴∠ADC＝∠DEB.
∴△ADC∽△DEB.
夯实基础，稳扎稳打
三点一线三等角，
开心图形显本色。
相似图形藏其中，
用上性质定靠谱。
开心图形
2.如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°,
若AB=12,AE=3,CF=4,求CG的长
[解析]∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°,
∵∠EFG=90°,∴∠EFB+∠GFC=90°,
∴∠BEF=∠GFC,∴△BEF∽△CFG,
∴,∴,∴CG=.
.
3．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P，Q分别是边BC，AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是___________．
12
8
4

△ABP∽△PCQ
=
.
CQ=
.
图中找k型
相似得比例
比例来计算
计算求线段
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE 交CD于点F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求CF的长．
5 . 如图,在△ABO中, ∠AOB=90 ,点A在 上，点 在 上,且AO:BO=1： ，则
k值为 .
C
D
-2
6.如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。
6
4
A
D
C
B
P
x
14―x
△ABP∽△CDP
6：4=（14―x）:x
x=5.6
4
6
x
14―x
D
B
C
A
p
P'
△ABP∽△PDC
6： x =（14―x）: 4
∴x=2或x=12
连续递推，豁然开朗
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
7.（1）
（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？
△ABE∽ △ECF
A
B
C
E
F
A
B
C
E
F
D
∽ △AEF
△ABE∽ △ECF
9、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
A
B
C
D
E
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADE=45°
∴∠ADE=∠B
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2
∴ △ABD∽△DCE
2
1
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式
及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
∴
∴
∴
当
时
11.　在△ABC中，∠ABC=∠EFD=45°，AB= ，AD=AE，∠DAE=90°，CE= ，
求CD的长.
思维拓展，更上一层
分析：
∠ADE=45°
△ABD∽△DFE
DF=4
求证∠CEF=∠CDE
△CEF∽△CDE
CD=5
A
B
C
D
E
F
　在△ABC中，∠ABC=∠EFD=45°，AB= ，AD=AE，∠DAE=90°，CE= ，
求CD的长．
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠AED=∠ADE=45°．
∵∠ADE+∠EDF=∠B+∠BAD ，∠B =45°．
∴∠BAD=∠EDF 又 ∠ABC=∠EFD=45°
∴△BAD∽△FDE．
∴
又∵ AB=
∴DF=4．
A
B
C
D
E
F
4
证明：
∵∠CEF+∠FED+∠AED=180°，∠AED=∠DFE=45°且∠DFE+∠FED +∠FDE=180°
∴∠CEF=∠FDE
　在△ABC中，∠ABC=∠EFD=45°，AB= ，AD=AE，∠DAE=90°，CE= ，
求CD的长．
A
B
C
D
E
F
4
证明：
又 ∵∠C=∠C ∴△CEF∽△CDE
∴CE：CF=CD：CE
∴CE2=CF·DC
设CF=x，则CD=x+4
∵
∴x（x+4）=5
x2+4x=5
x2+4x-5=0
(x-1)(x+5)=0
x1=-5(舍)
x2=1
∴CF=1，CD=5
谢谢
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