浙教版九上数学每日一题41-45 代数新定义型问题（含解析）

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每日一题41 代数类新定义型问题
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41．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an
∴M N＝am an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数34＝81转化为对数式　 　；
（2）证明loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　．
每日一题42 代数类新定义型问题
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42．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；②；
③；④．
每日一题43 代数类新定义型问题
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43.阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
每日一题44 代数类新定义型问题
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44.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点。
例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x==1，y==2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.
①试确定y与x的关系式.
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
每日一题45 代数类新定义型问题
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45.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}==4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　 　，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　 　；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为　 　；
（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
每日一题41 答案
解：（1）由题意可得，指数式34＝81写成对数式为：4＝log381，
故答案为：4＝log381；
（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN
∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2，
故答案为：2．
每日一题42 答案
解：（1）6＝1×6＝2×3，∵6 1＞3 2，∴＝；9=1×9=3×3，∵9 1＞3 3，
∴=1，故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a 10a b＝9（b a）＝54，∴b a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；17＝1×17，∴；∴的最大值．
（3）①∵=20×21∴；
②=28×30∴；
③∵=56×30∴；
④∵=56×60∴，故答案为：．
每日一题43 答案
解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
每日一题44 答案
解：（1）∵=2，=4，∴点C（2，4）是点A.B的融合点。
（2）①由融合点定义知x=，得t=3x-3 又∵y=，得t=
∴3x-3=，化简得y=2x-1.
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
由点T是点D，E的融合点，
可得m=或2m-1= 解得m=，∴点E1（，6）.
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）.
由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。
（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。
（注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（，6），E2（6，15）.
每日一题45 答案
【解题过程】解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}=，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}=；
故答案为：，．
（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴， 解得﹣2≤x≤4， 故答案为﹣2≤x≤4．
（3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2，
∴，解得x＝﹣1或3．
（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，
又∵，∴，
解得1≤x≤1， ∴x＝1．
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