浙教版九上数学每日一题46-50 几何新定义型问题（含解析）

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每日一题46 几何新定义型问题
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46.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;
(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,QB=3,求邻余线AB的长.
每日一题47 几何新定义型问题
班级 小组 姓名
47.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
每日一题48 几何新定义型问题
班级 小组 姓名
48.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC.
求证：△ABC是比例三角形;
（3）如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90°时，求的值.
图1 图2
每日一题49 几何新定义型问题
班级 小组 姓名
49.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展:
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．
图1 图2 图3
每日一题50 几何新定义型问题
班级 小组 姓名
50.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1) 若△ABC 是“准互余三角形”，∠C>90°, ∠A=60°，则∠B= ;
(2) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D）， 使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。
(3) 如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。
每日一题46 答案
46. 解：(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°
,∴∠DAB+∠DBA＝90°,
∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)
(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,
∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.
∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.
∴∠MDE＝∠MED.
∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴,
∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10.
每日一题47 答案
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
又∵AG=AC,AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE=．
每日一题48 答案
【解题过程】解：(1)或或。
(2)∵AD∥BC, ∴∠ACB=∠CAD
又∵∠BAC=∠ADC, ∴△ABC∽△DCA
∴，即CA2=BC·AD
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD
∴CA2=BC·AB,
∴△ABC是比例三角形
(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H
∵AB=AD,
∴BH=BD.
∵AD∥BC,∠ADC=90°
∴∠BCD=90°
∴∠BHA=∠BCD=90°
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC
∴
∴AB·BC=DB·BH,
∴AB·BC=BD2
又∵AB·BC=AC2,
∴BD2=AC2
∴
每日一题49 答案
【解答过程】（1）如图1，过点A作AD上直线CD于点D，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°
∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3 ∴AD＝BC＝3
即是“等高底”三角形．
（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC
∵△A′BC与与△ABC关于直线BC对称，∴∠ADC＝90°
∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD。设BD＝x，则AD＝BC＝2x，∴CD＝3x
∴由勾股定理得AC＝x，∴
（3）①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，
“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2. l1与l2之间的距离为2，AB＝BC
∴BC＝AE＝2，AB＝ ∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45° 设DF＝CF＝x
∵ l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，∴，即．
∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝
Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C时，
点A′在直线l1上。∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点
综上，CD的值为，，2 【其他不同解法，请酌情给分】
49题图1 49题图2 49题图3
49题图4 49题图5 49题图6
每日一题50 答案
解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C＞90°，则有2∠A+∠B= 90°或 2∠B+∠A=90°，又因∠A=60°，则 2∠A+∠B= 90°不成立，
即代入 2∠B+∠A= 90°可得∠B=15°.
(2) 存在，
∵点 E 在 BC 边 上 ， ∴ ∠ AEB ＞ 90 ° ，
∴2∠BAE+∠B=90° 或 2∠B +∠BAE=90° ，
∵点 E（异于点 D），∴2∠BAE+∠B=90°不成立.
由图可知：在 Rt△ABC 中可得∠BAE+∠EAC+∠B=90° ，
又由“准互余三角形”定义可知： 2∠B +∠BAE=90°，∴∠B=∠EAC，
∴△ABC∽△EAC （AA），∴，
∵AC=4, BC=5, ∴, ∴
(3) 由题意可知：∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD. ∴∠ABC＞90°，
∴本题分 2 类讨论:
①因△ABC 为“准互余三角形”，则∠BAC+2∠ACB=90°，设∠ACD=x，∠ACB=y，则可得：∠BAC=90°-2y，∠ABD=2x+2y，则∠AEB=90°-2x，又因为在△CDE 中，∠AEB=90°-x，则x=0°，与构成四边形矛盾，舍去.
②因 2∠BAC+∠ACB=90°，设∠BAC=x，则∠ACB=90°-2x，则∠ABC=90°+x，过点 B 作 BE⊥AB，易得△CBE∽△CAB，即CB2= CE× CA ，由∠ABD=2∠BCD 易得∠BAC=∠BCD，则△BAE∽△DCB，设 AE=7a，则 CB=12a，则易得 CE=9a，可解得 ，勾股定理得：，∴AC=16a=20.
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