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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥NBC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△DBE与△ECD中，
∵BD=CE，DE=ED，BE=CD，∴△DBE≌△ECD（SSS），∴∠DBE=∠ECD，
在△DBF与△ECF中，
∵∠DBE=∠ECD，∠DFB=∠EFC，BD=CE，∴△DBF≌△ECF（AAS），
在△DBC与△ECB中，∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB ∴△DBC≌△ECB（SAS），
综上图中全等的三角形有4对.
故答案为：C.
2．如图所示.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°
∴∠BAC=90°-15°=75°
∵DE垂直平分AB，BE=6cm
∴BE=AE=6cm，
∴∠EAB=∠B=15°∴∠EAC=75°-15°=60°
∵∠C=90° ∴∠AEC=30°
∴AC= AE= ×6cm=3cm
故答案为：D
3．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（ ）
A． cm B． cm C．7cm D． cm
【答案】A
【解析】∵把长方形纸片沿直线AC折叠，
∴AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，
∵∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，∠CFE＝∠AFD，
∴△CEF≌△ADF（AAS）
∴CF＝AF，
∵AF2＝DF2+AD2，
∴AF2＝（8﹣AF）2+36，
∴AF＝ cm.
故答案为：A.
4．如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：D.
5．如图，，，则下列与的度数最接近是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：B．
6．如图，中，是高，，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】如图所示，在上取一点E使得，连接，则，
∵是的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
7．如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
是等边三角形，
.
，，
.
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D
9．如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，.以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且.连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故答案为：A.
10．如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，设直角三角形的三边长度分别为，过点作于点，
∵为直角三角形，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
根据题意，把较小的两个三角形放置在最大的三角形内，如图2，
可知，，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为 m.
【答案】10
【解析】设，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，解得，
故答案为：10.
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
【答案】
【解析】过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
13．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．当点O′在直线AB上时， OP的长为 .
【答案】 或
【解析】当点O′落在线段AB上时，
∵在Rt△ABO中，OA=OB=4，
∴AB2=2AO2=2×42，∠OAB=45°，
解之：，
∵将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′，
∴AO′=PO′=OP=AB-BO′=；
当点O′落在AB的延长线上时，
∵将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′，
∴BO′=BO=4，
∵∠BAO=45°，PO′⊥AB，
∴△APO′是等腰直角三角形，
∴；
∴OP的长为 或 .
14．如图，在中，，，，则 度.
【答案】20
【解析】∵，，
，
又，，
，
∵，
∴，
，
.
故答案为：20.
15．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PCBC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．
【答案】5cm
【解析】侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC＝3cm，
∵PC＝BC，
∴PC＝×6＝4cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2
∴
故答案为：5cm.
16．如图，在中，，，，点D在上，过点D作的垂线，分别交射线，线段于点E，F，连接，恰好平分，则线段的长是 .
【答案】
【解析】∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
过F作于G，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知点Q是直线AB上一动点（Q不与O重合)，∠POB=30，请利用圆规和直尺，在图上找出所有的点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
【答案】
18．如图，，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数.
【答案】（1）证明：如图，
∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴；
（2）解：由（1）， .
∴
∴
∵ ，
∴ .
∴
∴ .
19．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，.
（1）试说明：；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以
（2）解：因为，点是的中点，
所以平分.
因为，所以，
所以.
因为，所以
所以.
所以
因为，所以，
所以.
20．如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵
∴
∴
在 与 中， ，∴ ≌ ，
∴ ；
（2）解：
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，即 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
21．如图，在中，，是边上的高线，过点D作交于点E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连结交于点H，若，求的长.
【答案】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：作，交于G，交于点F，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又
，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，，
，
，
，，
，
，
，
的长为.
22．如图，在中，，垂足为D，，延长至E.使得，连接AE.
（1）求证：.
（2）若，，
①求的面积.
②求的周长，
【答案】（1）证明：在中，，
∴
又∵，，
∴，
∴
（2）解：①在中，，
∴，
∴，
∴；
②在中，，
由勾股定理可得，，
则的周长为
23．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
24．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，.
（1）如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ；
（2）如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接.
①求证：是等边三角形；
②求证：.
【答案】（1）6
（2）证明：①如图2，
，
，，
在和中，，，
，
，
∴是等边三角形；
②：如图2，
，
，
，
，
在和中，，，
.
【解析】（1）如图1，是等边三角形，，
，，
，
，
，
D是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为6；
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图所示.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（ ）
A． cm B． cm C．7cm D． cm
4．如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，则下列与的度数最接近是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，是高，，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，.以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且.连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为 m.
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
13．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．当点O′在直线AB上时， OP的长为 .
（第13题） （第14题）
14．如图，在中，，，，则 度.
15．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PCBC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．
（第15题） （第16题） （第17题）
16．如图，在中，，，，点D在上，过点D作的垂线，分别交射线，线段于点E，F，连接，恰好平分，则线段的长是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知点Q是直线AB上一动点（Q不与O重合)，∠POB=30，请利用圆规和直尺，在图上找出所有的点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
18．如图，，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数.
19．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，.
（1）试说明：；（2）若，求的度数.
20．如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：； （2）若，求DG的长度．
21．如图，在中，，是边上的高线，过点D作交于点E.
（1）求证：是等腰三角形；（2）连结交于点H，若，求的长.
22．如图，在中，，垂足为D，，延长至E.使得，连接AE.
（1）求证：.（2）若，，①求的面积.②求的周长，
23．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：（1）.（2）.
24．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，.
（1）如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ；
（2）如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接.
①求证：是等边三角形；
②求证：.
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