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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵AB=AC，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°，
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为：C
2．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，，，以为边向下作等边，以为底边向上作等腰，当的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点F作于点H，过点E作于G
∵是等等边三角形，，
∴， ，
∵等腰，，，
∴，都为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
∴
，
∵当的长度变化，则的长度变化时，S始终保持不变
∴，解得；
故答案为：A.
3．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．22
【答案】B
【解析】∵a、b、c都是正方形，
∴，，
∵，
即，，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，故B正确.
故答案为：B.
4．如图在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【解析】∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP，
∵∠1=∠2，∴∠BCP=∠ABP
∵∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°∴∠1+∠BCP+∠2+∠ABP=140°，
∴∠2+∠BCP=70°
∴∠BPC=180°-70°=110°.
故答案为：A
5．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
【答案】C
【解析】∵，，
∴
在和中∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
6．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
【答案】A
【解析】连接BD，如图，
由题意得、、、都是等腰直角三角形，
在中，，
同理可得，，，，
∵，
∴和都是直角三角形，
∴由勾股定理可得，，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A．
7．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小.最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7.
故答案为：A.
8．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于（ ）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2
又∵AB=6，AC=9，
∴MC2-MB2＝45．
故答案为：C．
9．如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
10．勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为，，，则较小两个正方形重叠部分（四边形）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴两个正方形重叠部分（四边形）的面积.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，为直角，，于若，则 ．
【答案】4
【解析】∵∠A=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠B=60°，
∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，
∵BD=1，∴BC=2BD=2，
∴AB=2BC=2×2=4.
故答案为：4.
12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米.
【答案】9
【解析】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9.
13．李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 .
【答案】24
【解析】在Rt中，，，，
.
.
故答案为：24.
14．如图，延长至C，连接.
（1）若，则 ；
（2）若，则 .
【答案】（1）60°
（2）75°
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作于E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：75°.
15．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，，当的边变化过程中，取最长时，则的长为 .
【答案】
【解析】∵和是正三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴边变化过程中，点E在以B为圆心，的长为半径的圆上运动，
∴当点、B、E在同一直线上时，最长，即最长，
过点C作于点F，如图所示：
∵为正三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
16．如图，在中，，D为的中点，连结，作交于点M.若，，则 .
【答案】
【解析】延长至点E，使，连结，.
∵D为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得（负值舍去）.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图.
（1）在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上；
（2）在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上；
（3）在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上.
【答案】（1）解：如图所示，的底边，高为3，则面积为，则即为所求；
（2）解：如图所示，
∴、是等腰三角形，
（3）解：如图所示，
∵，
，则是直角三角形，且是斜边
∵，
∴，则是直角三角形，且是斜边
18．如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形，，，点D与点B关于直线l轴对称，连接交直线l于点E，连接.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求证：.
【答案】（1）证明：∵点D与点B关于直线l轴对称
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图，设与交于点
∵点D与点B关于直线l轴对称
∴，，，
∴，
∴，
∵；
∴，
∵ （对顶角相等）；
∴；
（3）证明：当时，在中，由勾股定理可知：.
∵
∴.
∴.
在中，由勾股定理可知：.
又∵，
故，
∴.
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【解析】（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
20．如图，中，，，．
（1）设点在上，若求的长；
（2）设点在上．若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）解：，，，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
；
（2）解：当时，为等腰三角形，
；
当，时，为等腰三角形，
过作于，
，
，
；
当时，为等腰三角形，
连接，
设，则，
，
解得：，
，
综上所述，若为等腰三角形，的长为，，．
21．如图（1），在中，，.点为内一点，且.
（1）求证：；
（2），为延长线上的一点，且.如图（2），
①求证：平分；
②若点在线段上，且，请判断、的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB.
（2）解：①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴BD=AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA，∠EMC=120°，
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD.
22．如图，在△ABC和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，且AC=BC，EC=FC．连接AE，BF交于点O.
（1）求证：
（2）求∠AOB的度数.
（3）连接BE，AF，求证：
【答案】（1）证明：设AE与BC的交点为M．
∵∠ACB=∠ECF，
在△ACE和△BCF中
∵
∴△ACE≌△BCF（SAS）．
∴∠CAE=∠BEF
（2）解：在△BOM和△ACM中，
∵∠AMC=∠BMO，∠CAE=∠BEF，
∴∠BOM=∠ACM，
∵∠ACB=90°，
∴∠AOB=90°．
（3）证明：∵∠AOB=90°，
∴有Rt△BOM，Rt△ACM，Rt△BAO，Rt△EFO，
∴BE2 = BO2 + OE2，AF2= AO2+ OF2，
∴BE2+AF2= BO2 + OE2+ AO2+ OF2，
=( BO2 + AO)2+(OE2 + OF2)，
= AB2 + EF2，
=2AC2+2CE2．
23．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，
∴82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
24．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
（2）如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数.
【答案】（1）120°；
（2）解：设，
∵CD＝CB，AE＝AD
∴，
∴，
，
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角.
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，.
【解析】（1）∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° 30°）＝120°；
∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° α）＝180° 2α.
故答案为：120°；180° 2α.
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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，，，以为边向下作等边，以为底边向上作等腰，当的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．22
4．如图在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
7．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于（ ）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
9．如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
10．勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为，，，则较小两个正方形重叠部分（四边形）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，为直角，，于若，则 ．
12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米.
13．李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 .
14．如图，延长至C，连接.
（1）若，则 ；（2）若，则 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，，当的边变化过程中，取最长时，则的长为 .
16．如图，在中，，D为的中点，连结，作交于点M.若，，则 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图.
（1）在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上；
（2）在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上；
（3）在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上.
18．如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形，，，点D与点B关于直线l轴对称，连接交直线l于点E，连接.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求证：.
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
20．如图，中，，，．
（1）设点在上，若求的长；
（2）设点在上．若为等腰三角形，求的长．
21．如图（1），在中，，.点为内一点，且.
（1）求证：；
（2），为延长线上的一点，且.如图（2），
①求证：平分；
②若点在线段上，且，请判断、的数量关系，并给出证明.
22．如图，在△ABC和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，且AC=BC，EC=FC．连接AE，BF交于点O.
（1）求证：
（2）求∠AOB的度数.
（3）连接BE，AF，求证：
23．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
24．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
（2）如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数.
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