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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷2
(解析版)
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.如图,在中,,,点在上,,,则的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵AB=AC,
∴∠A=∠C=30°,
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
∴BD=2AD=2×2=4,
∵∠BAC=180°-∠B-∠C,=180°-30°-30°=120°,
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴AD=DC=2,
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为:C
2.如图,点A,B,C,D顺次在直线l上,,,以为边向下作等边,以为底边向上作等腰,当的长度变化时,与的面积差S始终保持不变,则a,b满足( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点F作于点H,过点E作于G
∵是等等边三角形,,
∴, ,
∵等腰,,,
∴,都为等腰直角三角形,
∴,
设,则,,
∴
,
∵当的长度变化,则的长度变化时,S始终保持不变
∴,解得;
故答案为:A.
3.如图,在直线l上有正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和16,则b的面积为( )
A.24 B.20 C.12 D.22
【答案】B
【解析】∵a、b、c都是正方形,
∴,,
∵,
即,,,
∴,
∴,,
在中,由勾股定理得:,
即,故B正确.
故答案为:B.
4.如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】A
【解析】∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP,
∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP
∵∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°∴∠1+∠BCP+∠2+∠ABP=140°,
∴∠2+∠BCP=70°
∴∠BPC=180°-70°=110°.
故答案为:A
5.如图,在△ABC和△ADE中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长交AC,AD于点F,G.若BE恰好平分∠ABC,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=∠AEB B.
C.DE=GE D.CD=BE
【答案】C
【解析】∵,,
∴
在和中∴
∴
故A、D正确;
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确;
∴选项C错误.
故答案为:C.
6.如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形,设它们的面积分别为,,,.若,,则为( )
A.16 B.26 C.34 D.9
【答案】A
【解析】连接BD,如图,
由题意得、、、都是等腰直角三角形,
在中,,
同理可得,,,,
∵,
∴和都是直角三角形,
∴由勾股定理可得,,
∴,
∴,即,
∴.
故答案为:A.
7.如图,在等边中,为中点,点,分别为,上的点,,,在上有一动点,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】是等边三角形,
,
,,,
,
如图,作点关于的对称点,连接交于,连接,
此时的值最小.最小值,
,,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
的最小值为7.
故答案为:A.
8.如图所示,已知中,,,于,为上任一点,则 等于( )
A.9 B.35 C.45 D.无法计算
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,
在Rt△BDM和Rt△CDM中,
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,
∴MC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)=AC2-AB2
又∵AB=6,AC=9,
∴MC2-MB2=45.
故答案为:C.
9.如图,在等腰三角形中,,,是底边上的高,在的延长线上有一个动点D,连接,作,交的延长线于点E,的角平分线交边于点F,则在点D运动的过程中,线段的最小值( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】D
【解析】作于M,作于N,
, ,
平分,即平分,
,,
,
,,
,
,
,
),
,
平分,
,
连接,
,
,
,
当时有最小值,即有最小值,
此时,,,
,
故答案为:D.
10.勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图,以的各边为边向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中,三个阴影部分的面积分别为,,,则较小两个正方形重叠部分(四边形)的面积为( )
A.4 B.5 C.5.5 D.6
【答案】D
【解析】设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为a,较短直角边为b,
由勾股定理得,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴两个正方形重叠部分(四边形)的面积.
故答案为:D.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如图,在中,为直角,,于若,则 .
【答案】4
【解析】∵∠A=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠B=60°,
∵CD⊥AB,∴∠BCD=30°,
∵BD=1,∴BC=2BD=2,
∴AB=2BC=2×2=4.
故答案为:4.
12.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,问船向岸边移动了 米.
【答案】9
【解析】在Rt△ABC中:
∵∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,
∴AB===15(米),
∵CD=10(米),
∴AD==6(米),
∴BD=AB﹣AD=15﹣6=9(米),
答:船向岸边移动了9米,
故答案为:9.
13.李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时,发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”:如右图在中,,,,分别以的各边为直径作半圆,则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 .
【答案】24
【解析】在Rt中,,,,
.
.
故答案为:24.
14.如图,延长至C,连接.
(1)若,则 ;
(2)若,则 .
【答案】(1)60°
(2)75°
【解析】(1)∵,
∴,
∵,
∴,
故答案为:60°;
(2)如图所示,过点C作于E,连接,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:75°.
15.如图,在中,,,分别以,为边向外作正和正,连接,,当的边变化过程中,取最长时,则的长为 .
【答案】
【解析】∵和是正三角形,
∴,,,
∴,
即,
∴,
∴,
∵,
∴边变化过程中,点E在以B为圆心,的长为半径的圆上运动,
∴当点、B、E在同一直线上时,最长,即最长,
过点C作于点F,如图所示:
∵为正三角形,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为:.
16.如图,在中,,D为的中点,连结,作交于点M.若,,则 .
【答案】
【解析】延长至点E,使,连结,.
∵D为的中点,
∴,
在和中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
∴,
∴,
设,则,,
在中,,
在中,,
∴,
解得(负值舍去).
故答案为:.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图,每个小正方形的顶点叫做格点,请按照要求画图.
(1)在图1中画出1个面积为3的,顶点C在格点上;
(2)在图2中画出2个以为腰的等腰、,且这两个三角形不全等,点C、D都在格点上;
(3)在图3中画出2个以为斜边的直角三角形,,点C、D均在各点上.
【答案】(1)解:如图所示,的底边,高为3,则面积为,则即为所求;
(2)解:如图所示,
∴、是等腰三角形,
(3)解:如图所示,
∵,
,则是直角三角形,且是斜边
∵,
∴,则是直角三角形,且是斜边
18.如图,点A在直线l上,在直线l右侧做等腰三角形,,,点D与点B关于直线l轴对称,连接交直线l于点E,连接.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)当时,求证:.
【答案】(1)证明:∵点D与点B关于直线l轴对称
∴,
∵,
∴,
∴
(2)证明:如图,设与交于点
∵点D与点B关于直线l轴对称
∴,,,
∴,
∴,
∵;
∴,
∵ (对顶角相等);
∴;
(3)证明:当时,在中,由勾股定理可知:.
∵
∴.
∴.
在中,由勾股定理可知:.
又∵,
故,
∴.
19.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD为△ABC的角平分线;
(1)若AB=BD,则∠A的度数为 °(直接写出结果);
(2)如图1,若E为线段BC上一点,∠DEC=∠A;求证:AB=EC.
(3)如图2,若E为线段BD上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.
【答案】(1)72
(2)证明:如图1中,∵∠ABD=∠DBC=∠C,
∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,
,
∴△ABD≌△ECD(AAS),
∴AB=EC.
(3)证明:如图2中,延长BD到T.使得CD=CT,
∵CD=CT,
∴∠T=∠CDT=∠ADB,
∵BD=CD,
∴BD=CT,
在△ABD和△ECT中,
,
∴△ABD≌△ECT(AAS),
∴AB=EC.
【解析】(1)如图1中,设∠C=x.
∵∠ABC=2∠C,∴∠ABC=2x,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=x,
∵AB=BD,
∴∠A=∠ADB=∠DBC+∠C=2x,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴2x+2x+x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=2x=72°,
故答案为:72;
20.如图,中,,,.
(1)设点在上,若求的长;
(2)设点在上.若为等腰三角形,求的长.
【答案】(1)解:,,,
,
,
,
设,
,
,
解得:,
;
(2)解:当时,为等腰三角形,
;
当,时,为等腰三角形,
过作于,
,
,
;
当时,为等腰三角形,
连接,
设,则,
,
解得:,
,
综上所述,若为等腰三角形,的长为,,.
21.如图(1),在中,,.点为内一点,且.
(1)求证:;
(2),为延长线上的一点,且.如图(2),
①求证:平分;
②若点在线段上,且,请判断、的数量关系,并给出证明.
【答案】(1)证明:∵CB=CA,DB=DA,
∴CD垂直平分线段AB,
∴CD⊥AB.
(2)解:①证明:∵AC=BC,
∴∠CBA=∠CAB,
又∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
又∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠DBA=∠DAB=30°,
∴∠BDE=30°+30°=60°,
∵AC=BC,∠CAD=∠CBD=15°,
∴BD=AD,
在△ADC和△BDC中,
,
∴△ADC≌△BDC(SAS),
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=60°,
∵∠CDE=∠BDE=60°,
∴DE平分∠BDC;
②解:结论:ME=BD,
理由:连接MC,
∵DC=DM,∠CDE=60°,
∴△MCD为等边三角形,
∴CM=CD,
∵EC=CA,∠EMC=120°,
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中,
,
∴△BDC≌△EMC(SAS),
∴ME=BD.
22.如图,在△ABC和△ECF中,∠ACB=∠ECF=90°,且AC=BC,EC=FC.连接AE,BF交于点O.
(1)求证:
(2)求∠AOB的度数.
(3)连接BE,AF,求证:
【答案】(1)证明:设AE与BC的交点为M.
∵∠ACB=∠ECF,
在△ACE和△BCF中
∵
∴△ACE≌△BCF(SAS).
∴∠CAE=∠BEF
(2)解:在△BOM和△ACM中,
∵∠AMC=∠BMO,∠CAE=∠BEF,
∴∠BOM=∠ACM,
∵∠ACB=90°,
∴∠AOB=90°.
(3)证明:∵∠AOB=90°,
∴有Rt△BOM,Rt△ACM,Rt△BAO,Rt△EFO,
∴BE2 = BO2 + OE2,AF2= AO2+ OF2,
∴BE2+AF2= BO2 + OE2+ AO2+ OF2,
=( BO2 + AO)2+(OE2 + OF2),
= AB2 + EF2,
=2AC2+2CE2.
23.如图,AC⊥BD于点E,连结AB,CD,AB=10,BE=8,点P在线段AB上运动时(不与A,B重合),点Q在线段AC上,满足CQ= AP,连结PQ.当P为AB中点时,Q恰好与点E重合.
(1)求AC的长.
(2)若∠C=∠B,P运动到AB中点时,求证:直线PQ⊥CD.
(3)连结BQ,当△ABQ是等腰三角形时,请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】(1)解:如图1,∵AC⊥BD于点E,
∴∠AEB=90°,
∵AB=10,BE=8,
∴AE= =6,
∵当P为AB中点时,Q恰好与点E重合,且CQ= AP,
∴CE=CQ= AP= × ×10=6,
∴AC=AE+CE=6+6=12,
∴AC的长是12.
(2)证明:由已知得,当P为AB中点时,Q恰好与点E重合,
如图1,延长PE交CD于点F,
∵∠AEB=90°,P为AB中点,
∴PE=PB= AB,
∴∠PEB=∠B,
∵∠C=∠B,
∴∠C=∠PEB,
∵∠CEB=90°,
∴∠C+∠CEF=∠PEB+∠CEF=90°,
∴∠CFE=90°,
∴PE⊥CD,
∴PQ⊥CD.
(3)解:当△ABQ是等腰三角形,且AQ=AB时,如图2,
∵AC=12,AQ=AB=10,
∴CQ=AC﹣AQ=12﹣10=2,
∴CQ= AP,
∴ AP=2,
∴AP= ;
当△ABQ是等腰三角形,且AQ=BQ时,如图3,
∵BE2+EQ2=BQ2,且BE=8,EQ=6﹣CQ,BQ=AQ=12﹣CQ,
∴82+(6﹣CQ)2=(12﹣CQ)2,
∴CQ= ,
∴ AP= ,
∴AP= ;
∵BD垂直平分AC,
∴若点Q与点C重合,则AB=QB,
∵点P不与B重合,且CQ= AP,
∴点Q不与点C重合,
∴不存在AB=QB的情况,
综上所述,AP的长为 或 .
24.一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
(1)若,∠2是∠1的倍余角,则∠2的度数为 ;若,∠2是∠1的倍余角,则∠2的度数为 ;(用的代数式表示)
(2)如图1,在△ABC中,,在AC上截取,在AB上截取.求证:∠ABC是∠EDB的倍余角;
(3)如图2,在(2)的情况下,作交AC于点F,将△BFC沿BF折叠得到,交AC于点P,若,设,求∠CPB的度数.
【答案】(1)120°;
(2)解:设,
∵CD=CB,AE=AD
∴,
∴,
,
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角.
(3)解:由(2)得,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,.
【解析】(1)∵∠1=30°,∠2是∠1的倍余角,
∴∠2=2(90° 30°)=120°;
∵∠1=α,∠2是∠1的倍余角,
∴∠2=2(90° α)=180° 2α.
故答案为:120°;180° 2α.
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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 培优测试卷2
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.如图,在中,,,点在上,,,则的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)
2.如图,点A,B,C,D顺次在直线l上,,,以为边向下作等边,以为底边向上作等腰,当的长度变化时,与的面积差S始终保持不变,则a,b满足( )
A. B. C. D.
3.如图,在直线l上有正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和16,则b的面积为( )
A.24 B.20 C.12 D.22
4.如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
5.如图,在△ABC和△ADE中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长交AC,AD于点F,G.若BE恰好平分∠ABC,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=∠AEB B.
C.DE=GE D.CD=BE
(第5题) (第6题) (第7题) (第8题) (第9题)
6.如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形,设它们的面积分别为,,,.若,,则为( )
A.16 B.26 C.34 D.9
7.如图,在等边中,为中点,点,分别为,上的点,,,在上有一动点,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图所示,已知中,,,于,为上任一点,则 等于( )
A.9 B.35 C.45 D.无法计算
9.如图,在等腰三角形中,,,是底边上的高,在的延长线上有一个动点D,连接,作,交的延长线于点E,的角平分线交边于点F,则在点D运动的过程中,线段的最小值( )
A.6 B.4 C.3 D.2
10.勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图,以的各边为边向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中,三个阴影部分的面积分别为,,,则较小两个正方形重叠部分(四边形)的面积为( )
A.4 B.5 C.5.5 D.6
(第10题) (第11题) (第12题) (第13题)
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如图,在中,为直角,,于若,则 .
12.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,问船向岸边移动了 米.
13.李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时,发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”:如右图在中,,,,分别以的各边为直径作半圆,则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 .
14.如图,延长至C,连接.
(1)若,则 ;(2)若,则 .
(第14题) (第15题) (第16题)
15.如图,在中,,,分别以,为边向外作正和正,连接,,当的边变化过程中,取最长时,则的长为 .
16.如图,在中,,D为的中点,连结,作交于点M.若,,则 .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图,每个小正方形的顶点叫做格点,请按照要求画图.
(1)在图1中画出1个面积为3的,顶点C在格点上;
(2)在图2中画出2个以为腰的等腰、,且这两个三角形不全等,点C、D都在格点上;
(3)在图3中画出2个以为斜边的直角三角形,,点C、D均在各点上.
18.如图,点A在直线l上,在直线l右侧做等腰三角形,,,点D与点B关于直线l轴对称,连接交直线l于点E,连接.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)当时,求证:.
19.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD为△ABC的角平分线;
(1)若AB=BD,则∠A的度数为 °(直接写出结果);
(2)如图1,若E为线段BC上一点,∠DEC=∠A;求证:AB=EC.
(3)如图2,若E为线段BD上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.
20.如图,中,,,.
(1)设点在上,若求的长;
(2)设点在上.若为等腰三角形,求的长.
21.如图(1),在中,,.点为内一点,且.
(1)求证:;
(2),为延长线上的一点,且.如图(2),
①求证:平分;
②若点在线段上,且,请判断、的数量关系,并给出证明.
22.如图,在△ABC和△ECF中,∠ACB=∠ECF=90°,且AC=BC,EC=FC.连接AE,BF交于点O.
(1)求证:
(2)求∠AOB的度数.
(3)连接BE,AF,求证:
23.如图,AC⊥BD于点E,连结AB,CD,AB=10,BE=8,点P在线段AB上运动时(不与A,B重合),点Q在线段AC上,满足CQ= AP,连结PQ.当P为AB中点时,Q恰好与点E重合.
(1)求AC的长.
(2)若∠C=∠B,P运动到AB中点时,求证:直线PQ⊥CD.
(3)连结BQ,当△ABQ是等腰三角形时,请写出所有符合条件的AP的长.
24.一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
(1)若,∠2是∠1的倍余角,则∠2的度数为 ;若,∠2是∠1的倍余角,则∠2的度数为 ;(用的代数式表示)
(2)如图1,在△ABC中,,在AC上截取,在AB上截取.求证:∠ABC是∠EDB的倍余角;
(3)如图2,在(2)的情况下,作交AC于点F,将△BFC沿BF折叠得到,交AC于点P,若,设,求∠CPB的度数.
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