浙教版九上数学每日一题51-55 拓展、探究、应用型问题（含解析）

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每日一题51 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
51.
小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
每日一题52 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
52.【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由；
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值；
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
每日一题53 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
53.【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD·AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在□ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长.
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，
∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长.
每日一题54 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
54.在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
每日一题55 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
55．已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
每日一题51 答案
解： （1）画图如下：猜想函数的类别为二次函数；
图1
（2）如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90 .
设FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD,
∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK,∴FG=DH.
由yAC=-可知A(0,4) ,又∵B为（-2，0），∴yAB=2x+4,过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的横坐标为m，∴F(-m，-2m+4)，∴ER=2m，FR=-2m+4，
∵EF2=FR2+ER2,∴l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8.
令-=0，解得x=1.5,∴，∴当m=1时，l的最小值为8.∴EF的最小值为2.
（3）分以下三种情形进行讨论：
①∠FBE为定角，不可能为直角；
②当∠BEF=90 ，E点与O点重合，D点与A点、F点重合，此时m=0；
③当∠BFE=90 时，如图2，
由于BF2+EF2=BE2, 由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1=,m2=2（不符题意，舍去），综上，当△BEF为直角三角形时，m=0或.
每日一题52 答案
解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG，∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，
∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，
∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴.
∵S1 OG DK，S2 BF AD，又∵BF＝2OG，，
∴，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴．
（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2AO=2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，
∴，∴BE，由题意：102aAD （k+2a），
∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，
∴BEa，AB＝4a，∴tan∠BAE．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，
∴，∴，∴BE，
由题意：102aAD （k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴ka，∴ADa，∴BEa，ABa，∴tan∠BAE，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
每日一题53 答案
53.解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC＝AC:AB，∴AC2＝AD·AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF2＝BE·BC，
∴BC＝＝，∴AD＝
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G.∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//DC，∠BAC＝∠BAD，∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，
∴DE2＝EF·EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，又∵DG:DF＝DE:EF，∴DG＝DF＝5，∴DC＝DG－CG＝5－2.
每日一题54 答案
解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形.
【发现】如图，连接BE交AD于点O，∵四边形ABDE为矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE，设AF＝x cm，则OA＝OE＝（x+4），∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，∴，
解得：x＝，∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图，延长OF交AE于点H，纸片DEF绕点O旋转前，四边形ABDE为矩形，∴OA＝OB＝OE＝OD.纸片DEF绕点O旋转后，由旋转的性质可知，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA.∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF.
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），∴BD＝OH＝2OF．
每日一题55 答案
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠A＝60°，由题意，得DB＝DP，DA＝DB，∴DA＝DP，∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD=AB=AC．
（2）解：∵AC＝BC＝，∠C＝90°，∴AB=12，
∵DH⊥AC，∴DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴，
∵AD＝7，∴，∴DH=，将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，
∵AB＝12，∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，∴HP1=，
∴A1＝AH+HP1＝4，
情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，
同法可证HP2=，∴AP2＝AH﹣HP2＝3，
综上所述，满足条件的AP的值为4或3．
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．
∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝HB＝6，
∴CH==8，当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵tanA=，∴，∴x=，
∴AD＝AB﹣BD=，观察图形可知当6＜a<时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．
如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线 与坐标轴的交点，点B的坐标为(﹣2，0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值；
②△BEF能否成为直角三角形．
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