浙教版九上数学每日一题55-60 拓展、探究应用型问题（含解析）

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每日一题56 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
56.【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°．求证：．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，当点F在AD延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，连接BG交CD于点H．求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB＋∠DEC＝180°，且，过E作EF交AD于点F，使∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G，求证：BG＝CG．
每日一题57 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
57.问题提出：
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别E、F，在图1中与线段CE相等的线段是 ；
问题探究：
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且＝2，连接PA，PB，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E、F，求线段CF的长；
问题解决：
如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交于点D，连接AD、BD，过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m2) ．
①求y关于x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积．
图1 图2 图3
每日一题58 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
58.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，连接BD，AB﹦BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
每日一题59 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
59.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA．AE交BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝_____°；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝时，求DF的长．
每日一题60 拓展、探究、应用型问题
班级: 姓名:
60.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，求sin∠CAD的值．
（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AB⊥AC，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】在平面直角坐标中，A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°＋∠ABC，设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u与t的函数解析式．
每日一题56 答案
56.证明：（1）∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝∠AED＋∠EAD＝90°．
∴∠BEC＝∠EAD．∴Rt△AED∽Rt△EBC．∴ ．
（2）如答图1，过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知．
∵，，∴．∴BC＝GM．
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，∴△BCH≌△GMH．∴BH＝GH．
（3）如答图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AEB，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG．
∵∠EAF＋∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠AEB＋∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM．∴△AEF∽△EBM．∴．
∵∠AEB＋∠DEC＝180°，∠FEA＋∠DFE＝180°，而∠EFA＝∠AEB，∴∠CED＝∠EFD．
∵∠BMG＋∠BME＝180°，∴∠N＝∠EFD．
∵∠EFD＋∠EDF＋∠FED＝∠FED＋∠DEC＋∠CEN＝180°，∴∠EDF＝∠CEN．
∴△DEF∽△ECN．∴．又∵，∴，
∴BM＝CN．又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，∴△BGM≌△CGN．∴BG＝CG．
每日一题57 答案
57.解:（1）ED、DF、CF；
（2）∵AB是直径，＝2，∴∠AOP＝90°，∠B＝30°．
由题意可知，矩形PECF为正方形．在Rt△APB中，PB＝AB·cos30°＝4，AP＝AB＝4．
在Rt△ACE中，CE＝AE．设CF＝a，由（1）可知：CF＝CE＝PE＝a，则AE＝4－a，由CE＝AE，可列方程，解得a＝，即CF的长为．
（3）如答图，①∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵AC＝BC，∴∠ADC＝∠BDC，∴PE＝PF．∴四边形PEDF为正方形．
∴∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°．∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△GPF，PA＝PG，则G、F、B三点共线，△PBG为直角三角形，∠BPG＝90°．
∴．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝35,∴＝AC2＝1225．
∴y＝+1225＝．
②当x＝30时，PG＝30，PB＝40．在Rt△PGB中，BG＝50．
运用等积法，有×30×40＝PB·PF∴PF＝24．∴正方形PEDF的面积＝PF2＝242＝576（m2）．
∴当AP＝30m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
每日一题58 答案
58.（1）是；
（2）结论成立． 理由如下：
∵BD⊥DF，ED⊥AD， ∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°．
∴∠BDC﹦∠EDF．
∵AB﹦BD，∴∠A﹦∠BDC．∴∠A﹦∠EDF．
又∵∠A﹦∠E，∴∠E﹦∠EDF．∴EF﹦FD．
又∠E＋∠ECD﹦90°，∴∠ECD﹦∠CDF．∴CF﹦DF．∴CF﹦EF．∴F为CE的中点．
（3）在备用图中，设G为EC的中点，则DG⊥BD．
∴GD﹦EC﹦． 又BD＝AB＝6，
在Rt△GDB中，GB＝ EQ \r(62＋()2) ＝． ∴CB＝—＝3．
在Rt△ABC中，AC＝＝3．
由条件得：△ABC∽△EDC． ∴ EQ \f(3,9) ＝．∴CD＝ EQ \f(9,5) ．
∴AD＝AC＋CD＝3＋ EQ \f(9,5) ﹦ EQ \f(24,5) ．
每日一题59 答案
59.解：（1）①证明：如答图1，过点A作AM⊥BC于点M．
∵AB＝AC，AD＝AF，AM⊥BC，
∴BM＝CM，DM＝FM．
∴BM－DM＝CM－FM，即BD＝CF．
②90（证明△ABD≌△DCE，可得∠DCE＝∠B＝45°）．
（2）∠ACE＝90°，理由如下：如答图2，过点A作AM⊥BC于点M，点E作EN⊥BC于点N．
∵AM⊥BC，EN⊥BC，DE⊥DA，
∴∠AMD＝∠DNE＝90°，∠DAM＋∠ADM＝∠ADM＋∠EDN＝90°．
∴∠DAM＝∠EDN．
又∵DE＝DA，∴△AMD≌△DNE．∴AM＝DN＝CM，DM＝EN．
∴DM＝CN．∴CN＝EN．∴∠ECN＝∠ACN＝45°．∴∠ACE＝90°．
（3）如答图3，过点A作AM⊥BC于点M，点E作EN⊥BC于点N，连接KE．由（2）可知DM＝NF＝CN＝k，由AM∥EN，得△AMF∽△ENF，从而，于是AM＝CM＝DN＝3k，MF＝k，NF＝k，故DF＝k．
∵DA＝DE，DP⊥AE，∴直线DK垂直平分线段AE，于是KE＝AK＝．
∵CE＝k，
∴在Rt△CEK中，由勾股定理，得，解得k＝2．
∴DF＝k＝5．
每日一题60 答案
60.解：（1） ∵四边形ABCD为对余四边形，所以∠B＋∠D＝90°，过点A作AE⊥BC，
∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3．在Rt△AEB中，．
过点C作CF⊥AD，∴∠D＋∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DCF
∴△AEB∽△DFC，∴，∴，∴，∴sin∠CAD＝．
（2）∵四边形ABCD中，AB＝AC，AB⊥AC，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
过点D作DM⊥CD，使CD＝CM，连接CM，∴∠DMC＝∠DCM＝45°，
∵∠ADB＝∠CDM＝90°，∴∠ADB＋∠BDC＝∠CDM＋∠BDC, ∴∠ADC＝∠BDM
在△ADC与△BDM中， ∴△ADC≌△BDM
在△MDC中，CM2＝CD2＋DM2＝2CD2, ∵2CD2＋CB2＝CA2 ∴CM2＋CB2＝BM2，
∴△BCM为直角三角形，∴∠BCM＝90°．∴∠DCM＝45°，∴∠DCB＝∠BCM－∠DCM＝45°，
∴∠DCB＋∠DAB＝90° ∴从而证明四边形ABCD为对余四边形．
（3）先证得∠AEC＝135°，得出AECD四点共圆，假设圆心为F，连接FA，FA⊥x轴，过点D作DG⊥AF于G，过点D作DH⊥x轴于点H，先根据弦切角证得∠BAE＝∠BDA，可得出△ABE∽△DBA，得出u＝＝=，∵∴DH＝t ∴AG=t ∵FA=2∴FG=2—t∴ ∵∴∴∴
第56题图① 第56题图② 第56题图③
图（1） 图（2） 备用图
图1 图2 图3
A
B
C
D
D
A
B
C
第56题答图1
第27题答图2
第24题答图1
第24题答图2
第24题答图3
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