浙教版九上数学每日一题76-80 二次函数与几何图形的综合（含解析）

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每日一题76 二次函数与几何图形的综合
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76．若一次函数y＝—3x—3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y﹦ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，
S△BFP﹦mS△BAF． ①当时，求点P的坐标； ②求m的最大值．
图（1） 图（2）
每日一题77 二次函数与几何图形的综合
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77.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC＋PB的最小值．
每日一题78 二次函数与几何图形的综合
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78．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x 的图像于点A,∠AOB=90°，点B在该二次函数的图像上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN.
（1）若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（2）当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
每日一题79 二次函数与几何图形的综合
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79. 如图①，二次函数y=-x +bx＋4的图像与直线1 交于A（-1，2）、B（3，n）两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图像于点N，设点P的横坐标为m.
（1）b=_______________,n=_______________;
（2）若点N在点M的上方，且MN=3，求m的值;
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1-S2=6 若存在，求出m及相应的S1、S2的值;若不存在，请说明理由.
②当m＞-1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA，若∠FBA+∠AOD-∠BFC=45°，直接写出直线OF与该二次函数图像交点的横坐标.
每日一题80 二次函数与几何图形的综合
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80．如图，直线y＝－x＋2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合图象，求m的取值范围．
每日一题76 答案
76.（1）解：令—3x—3＝0，得x＝—1．令x＝0时，y＝—3．
∴A（—1，0），C（0，—3）．
∵抛物线过点C（0，—3）， ∴c＝—3．
则y﹦ax2＋bx—3，将A（—1，0），B（3，0）代入
得 解得
∴二次函数的表达式为y﹦x2—2x—3．
（2）解：设BE交OC于点M．
∵B（3，0），C（0，—3），∴OB＝OC，∠OBC﹦∠OCB﹦45°．
∵CD∥AB， ∴∠BCD﹦45°． ∴∠OCB﹦∠BCD．
∵BC平分∠DBE，∴∠EBC﹦∠DBC．
又∵BC﹦BC， ∴△MBC≌△DBC．∴CM﹦CD．
由条件得：D（2，—3）． ∴CD﹦CM﹦2． ∴OM﹦3—2﹦1．
∴M（0，—1）． ∵B（3，0），∴直线BE解析式为y﹦x—1．
（3）①∵S△BFP﹦S△BAF， ∴PF﹦AF．
过点P作PN∥AB交BC于点N，则△ABF∽△PNF．∴AB﹦2NP．
∵AB﹦4，∴NP﹦2．
∵直线BC的表达式为y＝x—3， 设P（t，t2—2t—3），
∴t2—2t—3＝xN—3．∴xN＝t2—2t．
∴PN﹦t—（t2—2t），则t—（t2—2t）﹦2，解得t1﹦2，t2﹦1．
∴点P（2，—3）或P（1，—4）．
②由①得：m＝．
∴m＝＝＝＝×﹝—（t—）2＋﹞＝—（t—）2＋． ∴m有最大值，m最大值＝．
每日一题77 答案
77.解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－5)，
∵CD是抛物线的对称轴，∴D(2,0)；
又∵tan∠CBD＝，∴CD＝BDtan∠CBD＝4，即C(2,4)，
代入抛物线的解析式，得4＝a(2＋1)(2－5)，解得a＝－，
∴二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－5)，即y＝－x2＋x＋；
（2）①设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∴ 解得 EQ \B\lc\{(\a\al(k＝－，,b＝. )) 即直线BC的解析式为y＝－x＋，
设E坐标为(t,－t＋)，则F点坐标为(t,－t2＋t＋)，
∴EF＝(－t2＋t＋)－(－t＋)＝－t2＋t－，
∴S△BCF＝×EF×BD＝×3×(－t2＋t－)＝－(t－)2＋，
∴当t＝时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知 ∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴sin∠ACD＝ ＝，
过点P作PG⊥AC于G，过点B作BH⊥AC于点H，
则在Rt△PCG中，PG＝PCsin∠ACD＝PC，
∴PC＋PB＝PG＋PB≥BH，
由此可知当B、P、H三点共线时PC＋PB的值最小，即线段BH的长．
∵S△ABC＝×AB×CD＝×6×4＝12，又S△ABC＝×AC×BH＝BH，
∴BH＝12，即BH＝，∴PC＋PB的最小值为．
每日一题78 答案
78.解：（1）①M（ m，m）；
②N（—2m，m），∴P（－ m，2m）【平行四边形顶点公式】，代入抛物线解得m=；
（2）①当点A在y轴右侧时，设A（a， a2），所以直线OA解析式为y=ax，∴M（，2），再求出B（－，），∴直线OB的解析式为y=－x，同理求得N（－，2）；∴P（－，4），代入抛物线得－＝4，解得a＝4±4，∴直线OA解析式为y＝（±1）x；
、
②当点A在y轴左侧时，即为①中点B位置，∴直线OA的解析式为y=－x ＝－（±1）x；
综上所述，直线OA的解析式为y＝（±1）x或（±1）x．
每日一题79 答案
79.（1）b=1，n=-2；
（2）直线AB：y=-x+1，N（m，-m2+m+4），M（m，-m+1），
MN=-m2+m+4-（-m+1）=-m2+2m+3=3，解得m1=0，m2=2.
（3）①S1-S2=S△GBC-S△GAN=S△ABC-S△ABN=6，因为S△ABC=8，所以S△ABN=2，
S△ABN=·MN·（xB-xA）=（-m2+2m+3）×4=2，可解出m的值.
②AF∥x轴，∠FBA=a，∠AOD=b，∠BFC=c，tanB=，a+b-c=45°.
a-45°=c-b ∠MBG=45°，BG∥FH，FH⊥x轴，
因为a-45°=∠GBF=∠HFB=c-∠CFH=c-b，所以∠CFH=b，即tan∠CFH=,
因为FH=2，所以CH=1，得F（4,2）.
每日一题80 答案
80.解：（1）在y＝－x＋2中，令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝4，从而A(0，2)，C(4，0)．由抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，点C，得，解得，从而抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，令y＝0，得x＝4或－2，于是B(－2，0)．
综上，A(0，2)，B(－2，0)，C(4，0)，抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2．
（2）如答图1，过M作MN⊥BC于点N．令M(m，－m2＋m＋2)，则S△AOB＝2，S梯形AMNO＝(2＋y)m，S△CMN＝(4－m)y，∴S四边形ABCM＝2＋(2＋y)m＋(4－m)y＝2＋m＋my＋2y－my＝2y＋m＋2＝2(－m2＋m＋2)＋m＋2＝－m2＋2m＋6＝－(m－2)2＋8．∵－＜0，∴当m＝2时，S四边形ABCM|max＝8，此时M(2，2)．
（3）如答图2，当点在抛物线上时，易证明△OPA≌△，从而(m＋2，m)，于是m＝－(m＋2)2＋(m＋2)＋2，整理，得m2＋6m－8＝0，解得m＝－3±；如答图3，当点在抛物线上时，有(m，m)，于是m＝－m2＋m＋2，整理，得m2＋2m－8＝0，解得m＝－4或2．综上，线段与抛物线只有一个公共点时，m的取值范围是－3＋≤m≤2或－3－≤m≤－4．
第80题图 第80题备用图
图（2）
图（1）
第80题答图1
第80题答图2 第80题答图3
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