2.6.1直角三角形的性质 课件（20张PPT）

(共20张PPT)
直角三角形的性质
直角三角形的性质
浙教版 八上
目录
目录
直角三角形
01
斜中线性质
03
直角三角形锐角互余
02
直角三角形中的30度
04
导入新课
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说:“你凭什么度数最大，我也要和你一样大! ”“不行啊!”老大说:“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了......”“为什么 ” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗
导入新课
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°,而三角形的内角和为180°相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我是永远的老大.
讲授新课
已知：在△ABC中，∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：
“Rt△”
直角三角形可以记为Rt△ABC
斜边
直
角
边
直角边
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形的性质定理：
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
90°
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
讲授新课
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
它有什么性质呢？
（1）具有等腰三角形的所有性质
（2）具有直角三角形的所有性质
等腰直角三角形的两个锐角都是45°
C
A
B
巩固练习
已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=______．
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠C=90°，AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°．
故答案为：15°．
15°
探究学习
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD
证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.
D
合作学习
直角三角形还有以下性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD=AD=BD=AB
D
例题讲解
例1 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形的两个锐角互余
A
B
C
D
30°
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AD=AB=×200=100（m）
（_________________________________________）
∵∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°（_______________________________）
∴△ADC是等边三角形（为什么？）
∴AC=AD=100（m）
答：这名滑雪运动员的高度下降了100m。
合作学习
直角三角形还有以下性质定理：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
数学语言表述为：
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB
30°
例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系 为什么
解:在Rt△ACE中，
∠CAE=90°- ∠AEC
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
C
D
E
A
B
例题讲解
例题讲解
例3：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝ 30 °,立柱BC、DE要多长？
B
A
D
C
E
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °
由上述定理可得：
BC=AB，DE=AD，
∴BC=×7.4=3.7(m)
又AD=AB=BC
∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.
举一反三
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（　　）
A．20 B．10 C．5 D．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=×AB=5，故选C．
C
举一反三
2.如图，直角三角形ABC中，O是BC中点且BD⊥CD，试说明AO与OD的关系．
解：AO=DO，
理由是：∵∠BAC=90°，O为BC中点，
∴AO=BC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵O为BC中点，
∴DO=BC，
∴AO=DO
举一反三
3. 如图,已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点.
试判断DE与CE是否相等,并给出证明.
A
B
C
D
E
解:∵AD⊥BD，AC⊥BC，E是AB的中点
∴DE= AB，CE= AB
∴DE=CE
举一反三
4.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
解： 连结AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD⊥BC ，BD=AD，
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°
∴△DEF为等腰直角三角形
举一反三
4.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。
解：如图所示，连结AD， ∵ AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD=BD，AD⊥BC， ∴ ∠DAC=∠ABD=45°
∴ ∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE，
∴ △DAF≌△DBE
∴ FD=ED，∠FDA=∠EDB
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
∴ △DEF仍为等腰直角三角形