浙教版八上第2章特殊三角形专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】（含解析）

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勾股定理及其逆定理【九大题型】
【知识点1 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．
【题型1 勾股定理的运用】
【例1】（2022 和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式1-1】（2022春 上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【变式1-2】（2022春 汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　．
【变式1-3】（2021秋 朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是　 　．
【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】
【例2】（2022春 长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　）
A．24或84 B．84 C．48或84 D．48
【变式2-1】（2022春 宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【变式2-2】（2022春 香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（　　）
A．30 B．17 C．17或30 D．36
【变式2-3】（2022春 海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 　 　．
【题型3 勾股定理解勾股树问题】
【例3】（2021秋 南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式3-1】（2021秋 高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　）
A．184 B．86 C．119 D．81
【变式3-2】（2022春 泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式3-3】（2022春 张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　）
A．225 B．250 C．275 D．300
【题型4 勾股定理解动点问题】
【例4】（2021秋 开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　）
A．或 B．或24或12
C．或24或12 D．或或24
【变式4-1】（2021秋 宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝　 　s时，△BPC为直角三角形．
【变式4-2】（2022春 蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC的长是 　 　．
（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 　 　．
【变式4-3】（2022春 河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【题型5 勾股定理的验证】
【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABCb2ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCBc2a（b﹣a）
∴b2abc2a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
【变式5-1】（2022春 巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【变式5-2】（2021秋 朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【变式5-3】（2022春 寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 ．
【知识点2 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．
【题型6 直角三角形的判定】
【例6】（2022春 绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式6-1】（2022春 赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．在△ABC中，若ac，bc．则△ABC为直角三角形
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三内角之比为3：4：5
D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）
【变式6-2】（2022春 汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（　　）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
【变式6-3】（2022春 开州区期中）下列是直角三角形的有（　　）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角之比为3：4：7
③△ABC的三边平方之比为1：2：3
④三角形三边之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型7 勾股数问题】
【例7】（2022春 滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝24时，b+c的值为（　　）
A．162 B．200 C．242 D．288
【变式7-1】（2022 湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）．
【变式7-2】（2022春 白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【变式7-3】（2022 石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　（用科学记数法表示结果）；
（2）求整式A2﹣B2；
（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【题型8 格点图中求角的度数】
【例8】（2021秋 伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　．
【变式8-1】（2022 惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°．
【变式8-2】（2022春 武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝　 　．
【变式8-3】（2022春 孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　．
【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】
【例9】（2021秋 蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．
（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．
【变式9-1】（2022春 陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
【变式9-2】（2021春 当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
【变式9-3】（2022春 汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
勾股定理及其逆定理【九大题型】
【知识点1 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．
【题型1 勾股定理的运用】
【例1】（2022 和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
故选：C．
【变式1-1】（2022春 上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，
∴BC＝6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝6.25．
∴BD＝8﹣6.25＝1.75．
故选：B．
【变式1-2】（2022春 汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　．
【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长．
【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴CE＝8，
∴AD6，
设∠CAD＝x，则∠CAD＝3x，
∵AE⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝2x，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴DE＝DF，
设CD＝a，则DE＝8﹣a，
∵，
∴，
解得a＝5，
即CD＝5，
故答案为：5．
【变式1-3】（2021秋 朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是　 　．
【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD BD AH AD PF BD PF，推出PE+PF＝AH＝18，
【解答】解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，
在Rt△DCB中，BC24k，
在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，
∴（32k）2+（24k）2＝302，
∴k，
∴BC＝18，
在△ADH和△BDC中，
，
∴△ADH≌△BDC，
∴AH＝BC＝18，
∵S△ABD BD AH AD PF BD PF，
∴PE+PF＝AH＝18，
故答案为18．
【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】
【例2】（2022春 长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　）
A．24或84 B．84 C．48或84 D．48
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，
在Rt△ABD中，
BD5，
在Rt△ACD中，
DC9，
∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，
∴△ABC的面积14×12＝84，或；
故选：A．
【变式2-1】（2022春 宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD9，
在Rt△ACD中，
CD5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故选：C．
【变式2-2】（2022春 香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（　　）
A．30 B．17 C．17或30 D．36
【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论．
【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；
②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x，此时这个三角形的周长＝5+1217，
综上所述，该三角形的周长为30或17．
故选：C．
【变式2-3】（2022春 海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 　 　．
【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，
∴CP3，
∴AP＝CP﹣AC＝34；
当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，
∴CP′＝3，
∴AC+CP′＝4+3，
综上所述，线段AP的长为34或34；
故答案为：34或34．
【题型3 勾股定理解勾股树问题】
【例3】（2021秋 南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋 高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　）
A．184 B．86 C．119 D．81
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝135﹣49＝86，
故选：B．
【变式3-2】（2022春 泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023．
故选：D．
【变式3-3】（2022春 张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　）
A．225 B．250 C．275 D．300
【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可．
【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，
由勾股定理得：AB5x，
∵△ABC的周长为12，
∴3x+4x+5x＝12，
解得：x＝1，
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，
第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，
……
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，
故选：D．
【题型4 勾股定理解动点问题】
【例4】（2021秋 开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　）
A．或 B．或24或12
C．或24或12 D．或或24
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，
∴BC＝24cm．
①当BP＝BA＝25时，
∴t．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，
∴t＝24．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，
解得t．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t或24或，
故选：D．
【变式4-1】（2021秋 宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝　 　s时，△BPC为直角三角形．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，
∴AB50（cm）．
如图，作AB边上的高CD．
∵S△ABCAB CDAC BC，
∴CD24（cm）．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，
∴t＝50÷2＝25（秒）．
②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（2t）2+242＝402，
解得t＝16．
综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．
故答案为：25或16．
【变式4-2】（2022春 蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC的长是 　 　．
（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 　 　．
【分析】（1）由勾股定理可直接求解；
（2）过点P作PD⊥AB，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD的长，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，，
故答案为：6；
（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图．
∵AP平分∠BAC，BC⊥AC，PD⊥AB，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．
∴PD＝PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴AD＝AC＝8，
∴BD＝2．
在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得，
故答案为：．
【变式4-3】（2022春 河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；
（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
∵∠B＝90°，
∴PQ4（cm），
即PQ的长为4cm；
（2）当BQ⊥AC时，∠BQC＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC20（cm），
∵，
∴，
解得BQcm，
∴CQ（cm），
∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12）÷2＝9.6（秒）；
当∠CBQ＝90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2＝16（秒）；
由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．
【题型5 勾股定理的验证】
【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABCb2ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCBc2a（b﹣a）
∴b2abc2a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADEabb2ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDEabc2a（b﹣a），
∴abb2ababc2a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【变式5-1】（2022春 巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2（b﹣a）（a+b）c2（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2c2（b2﹣a2），
∴b2c2b2a2，
∴a2b2c2，
∴a2+b2＝c2．
【变式5-2】（2021秋 朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab（a2+b2）＝abc2，即可证得a2+b2＝c2；
【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S（a+b）（b+a）＝ab（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADEabc2ab＝abc2，
∴ab（a2+b2）＝abc2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【变式5-3】（2022春 寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 ．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
（3+1）×3×4
4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y，
∴S2＝x+4y．
故答案为：．
【知识点2 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．
【题型6 直角三角形的判定】
【例6】（2022春 绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，不是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A＝∠B∠C，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，是直角三角形；
⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
a2+c2＝b2，是直角三角形；
⑥∵a：b：c＝5：12：13，
∴52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，是直角三角形；
故选：C．
【变式6-1】（2022春 赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．在△ABC中，若ac，bc．则△ABC为直角三角形
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三内角之比为3：4：5
D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、选项B和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C．
【解答】解：A．∵ac，bc，
∴a2+b2c2c2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵三边长的平方之比为1：2：3（1+2＝3），
∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵三角形的三内角之比为3：4：5，三角形的内角和等于180°，
∴最大角的度数是180°＝75°＜90°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（1+n2）2＝1+2n2+n4，
∴c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】（2022春 汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（　　）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
【分析】根据已知条件可得a2+c2＝b2，即可判定△ABC的形状．
【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，
故选：B．
【变式6-3】（2022春 开州区期中）下列是直角三角形的有（　　）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角之比为3：4：7
③△ABC的三边平方之比为1：2：3
④三角形三边之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，
∴△ABC中最大角的度数为：180°90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，
∴设三边的平方分别为k，2k，3k，
∵k+2k＝3k，
∴△ABC是直角三角形；
④∵三角形三边之比为3：4：5，
∴设三边分别为3a，4a，5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴△ABC是直角三角形，
所以，上列是直角三角形的有4个，
故选：D．
【题型7 勾股数问题】
【例7】（2022春 滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝24时，b+c的值为（　　）
A．162 B．200 C．242 D．288
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），
b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50，…，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288．
故选：D．
【变式7-1】（2022 湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2+1，
综上所述，其弦是m2+1，
故答案为：m2+1．
【变式7-2】（2022春 白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；
（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．
【解答】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；
（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
∵a2+b2＝c2，
∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．
【变式7-3】（2022 石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　（用科学记数法表示结果）；
（2）求整式A2﹣B2；
（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
（2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
（3）先计算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，计算可得（n2+1）2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【解答】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，
当n＝1999时，
原式＝（1999+1）2
＝20002
＝4×106；
故答案为：4×106；
（2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2
＝（n2）2+2n2+1﹣4n2
＝（n2）2﹣2n2+1
＝（n2﹣1）2；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+（n2）2﹣2n2+1
＝（n2+1）2，
∴B2+C2＝A2，
∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．
【题型8 格点图中求角的度数】
【例8】（2021秋 伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　．
【分析】先连接EF，然后根据勾股定理可以求得AE、EF、AF的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△AEF的形状，再根据AE和EF的关系，即可得到∠EAF的度数．
【解答】解：连接EF，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则AE，EF，AF，
∴AE2+EF2＝（）2+（）2＝5+5＝10＝（）2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，
又∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
故答案为：45°．
【变式8-1】（2022 惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
【变式8-2】（2022春 武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝　 　．
【分析】连接AE，PE，求出∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE，根据勾股定理求出AP、PE、AE，根据勾股定理的逆定理求出△PAE是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可．
【解答】解：如图所示：连接AE，PE，
则△PCD≌△EAF，
所以∠PCD＝∠EAF，
∴∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAF＝∠PAE，
∵由勾股定理得：AP2＝PE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
∴AP2+PE2＝AE2，
∴△PAE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，
即∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE＝45°，
故答案为：45°．
【变式8-3】（2022春 孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　．
【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，最后根据平角的定义可得结论．
【解答】解：连接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】
【例9】（2021秋 蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．
（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；
（2）由三角形内角和定理求出∠C＝31°，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC＝31°，则可得出答案．
【解答】解：（1）AB⊥BD．
理由：∵AC＝8，AD＝17，BD＝15，
∴AC2+BD2＝82+152＝289，AD2＝289，
∴AC2+BD2＝AD2，
∴∠DBA＝90°，
∴AB⊥DB；
（2）∵∠D＝28°，∠DBC＝121°，
∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝31°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝31°，
∴∠DAB＝∠C+∠ABC＝31°+31°＝62°．
【变式9-1】（2022春 陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，
∴AC＝6，BC＝8，
∵AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，
∴CDBC，CEAC，
∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64，
∴AC2BC2＝100，
∴AC2+BC2＝80，
∴AB4．
【变式9-2】（2021春 当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；
（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的长．
【解答】解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，BE10，
∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，
∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
【变式9-3】（2022春 汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
【分析】（1）连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积；
（2）作DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线BD的长．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵CD＝10，AD＝10，
∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是：24+50＝74，
即四边形ABCD的面积是74；
（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，BC＝ED，
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，
∴BD2．
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