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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数
3.2 实数
【知识重点】
一、无理数：
1. 无理数：像这种无限不循环小数叫做无理数.如：π，，…
2. 无理数分类：和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数.
二、实数：
1.实数概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数和数轴上的点一一对应：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.所以，实数和数轴上的点一一对应.
3.实数的大小比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数。
三、实数的分类：
【经典例题】
【例1】在0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0”）这些数中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】估算的值，在整数 和 之间．
【例3】已知，是两个连续整数，且满足，则的值为 .
【例4】π |-3.14|， .（用＞、＜、=号连接）
【例5】把下列各数的序号填在相应的横线上：，，④+9，⑤-3014，，⑦0，两个2之间依次多1个8.
整数： ；
负分数： ；
无理数： .
【例6】如图，数轴上与、两个实数对应的点分别为、，数轴上点与点关于点对称即，则点表示的数是 .
【例7】阅读理解：
求 的近似值．
解：设 =10+x，其中0
因为0理解应用：
利用上面的方法求 的近似值(结果精确到0.01)．
【基础训练】
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159265 B． C． D．
2．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．在数，，，，，5中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在0，，，，0.010010001……（每两个1之间依次多一个0）中无理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．估计的范围是（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
6．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．比较大小： 2.5.（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
8． 和 统称为实数．
9．在实数-2，0，-1，2， 中，最小的是
10．下列各数：-π，3.14， ，1.732，0，0.3，18， ， ， ，0.5858858885，有理数有 个，无理数有 个．
11．因为12= ，22 = ，所以当a2=2时，a应在 和 之间，故a不可能是 数．因为两个相同分数的乘积都为 ，所以a不可能是 ．由此可知，在等式a2=2中，a既不是 ，也不是 ，所以a不是
12．在数轴上表示下列各数，并用“”连接.
，1.5，，.
13．在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接．，，，，．
【培优训练】
14．若整数a满足A．2 B．3 C．4 D．5
15．如图，实数-+1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
16．如图，在数轴上有六个点，且满足AB=BC=CD=DE=EF，则下列各数中与点C表示的数最接近的是（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．
17．已知a是正整数，且满足，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
18．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上点在点左侧，且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
20．估计无理数的值应在（ ）
A．到之间 B．到0之间
C．0到1之间 D．1到2之间
21．如图，已知数轴上A、B两点分别对应实数-1和，则A，B两点间的距离为 ．
22．比较大小：1.73 ．（填上“>”、“<”或“=”）
23．如图所示，若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续的整数 和 之间．
24．与 -2最接近的自然数是
25．比较大小．
（1） 6.26； （2） -π；
（3）3- -2； （4） -1 +1．
26．规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
27．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|.
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为 ，MN中点表示的数是 .
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 .
28．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
29．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ ．
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将 减去其整数部分，差就是 的小数部分．
例如： < < ，即2< <3， 的整数部分为2，小数部分为 -2．请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知10+ =x+y，其中x是整数，且030．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若，则的整数部分是 ；小数部分可以表示为 ；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数.
【直击中考】
31．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
32．估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
33．如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
34．在，，，四个数中，最小的实数是 ．
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数（含解析）
3.2 实数
【知识重点】
一、无理数：
1. 无理数：像这种无限不循环小数叫做无理数.如：π，，…
2. 无理数分类：和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数.
二、实数：
1.实数概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数和数轴上的点一一对应：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.所以，实数和数轴上的点一一对应.
3.实数的大小比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数。
三、实数的分类：
【经典例题】
【例1】在0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0”）这些数中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】，
∴无理数是，，（两个“1”之间依次多一个“0”），共3个，
故答案为：C.
【例2】估算的值，在整数 和 之间．
【答案】5；6
【解析】∵，
∴．
∴．
故本题的答案是：5，6
【例3】已知，是两个连续整数，且满足，则的值为 .
【答案】7
【解析】，，而，
，
又，是两个连续整数，且满足，
，，
，
故答案为：7.
【例4】π |-3.14|， .（用＞、＜、=号连接）
【答案】>；>
【解析】∵∣-3.14∣=3.14，
∴＞∣-3.14∣，
∵2＜＜3，
∴＜＜1，
∴＞，
故答案为：＞；＞.
【例5】把下列各数的序号填在相应的横线上：，，④+9，⑤-3014，，⑦0，两个2之间依次多1个8.
整数： ；负分数： ；无理数： .
【答案】①④⑦；②⑤；③⑥⑧
【解析】整数：①④⑦；
负分数：②⑤；
无理数：③⑥⑧；
故答案为：①④⑦；②⑤；③⑥⑧.
【例6】如图，数轴上与、两个实数对应的点分别为、，数轴上点与点关于点对称即，则点表示的数是 .
【答案】
【解析】 数轴上与 、 两个实数对应的点分别为 、 ，
，
设点 表示的数为 ，
， ，
解可得 ，
即点 所对应的数为 .
故答案为： .
【例6】阅读理解：
求 的近似值．
解：设 =10+x，其中0因为0理解应用：
利用上面的方法求 的近似值(结果精确到0.01)．
【答案】解：设 =10-x，其中0因为0所以97≈100- 20x解得x≈0.15，即 的近似值为9.85．
(设 =9+x，求出 的近似值为9.89也给满分)
【基础训练】
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159265 B． C． D．
【答案】C
【解析】A.3.141 592 65是有限小数，是有理数； =6，是有理数； 是无理数； 是分数，是有理数．
故答案为：C．
2．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从数轴可知：M点表示的数在2到3之间，且大于2.5，
∵，，，，
∴，，，，
∴选项A和选项D不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意，选项C符合题意；
故答案为：C.
3．在数，，，，，5中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】，
所以无理数有：，，共2个.
故答案为：B.
4．在0，，，，0.010010001……（每两个1之间依次多一个0）中无理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】0是整数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是开方开不尽的数，是无理数；
是分数，是有理数；
0.010010001……（每两个1之间依次多一个0） 是无限不循环小数，是无理数，
综上，无理数有3个.
故答案为：C.
5．估计的范围是（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【解析】∵4＜7＜9
∴，
∴.
故答案为：B.
6．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵x2=18，
∴
又∵
∴
∴下列整数中最接近x的是4.
故答案为：C.
7．比较大小： 2.5.（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
【答案】＜
【解析】∵ ，
，
∴5＜6.25，
∴ ＜2.5，
故答案为：＜.
8． 和 统称为实数．
【答案】有理数；无理数
【解析】有理数和无理数统称为实数.
故答案为：有理数，无理数.
9．在实数-2，0，-1，2， 中，最小的是
【答案】-2
【解析】∵-2<-<-1<0<2，
∴最小的数是-2.
故答案为：-2.
10．下列各数：-π，3.14， ，1.732，0，0.3，18， ， ， ，0.5858858885，有理数有 个，无理数有 个．
【答案】8；3
【解析】=，=-4，
∴有理数有：3.14，1.732，0，0.3，18，，，0.5858858885，共有8个；
无理数有：-π， ， ，共有3个.
故答案为：8；3.
11．因为12= ，22 = ，所以当a2=2时，a应在 和 之间，故a不可能是 数．因为两个相同分数的乘积都为 ，所以a不可能是 ．由此可知，在等式a2=2中，a既不是 ，也不是 ，所以a不是
【答案】1；4；1；2；整；分数；分数；整数；分数；有理数
【解析】 因为12=1，22 =4，所以当a2=2时，a应在1和2之间，故a不可能是整数．因为两个相同分数的乘积都为分数，所以a不可能是分数．由此可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
故答案为：1，4，1，2，整数，分数，分数，整数，分数，有理数.
12．在数轴上表示下列各数，并用“”连接.
，1.5，，.
【答案】解：如图，
故.
13．在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接．，，，，．
【答案】解：如图所示，
从小到大排列为：．
【培优训练】
14．若整数a满足A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵，，
而 ∴a=3.
故答案为：B.
15．如图，实数-+1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴实数-+1在数轴上的对应点可能是点B.
故答案为：B
16．如图，在数轴上有六个点，且满足AB=BC=CD=DE=EF，则下列各数中与点C表示的数最接近的是（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】∵点A表示的数是-8，点F表示的数是18，
∴AF=18-（-8）=24，
∴AB=BC=CD=DE=EF=4.8，
∴点C表示的实数为-6+2×4.8=3.6，
∵，，
∴ 与点C表示的数最接近的是 .
故答案为：D
17．已知a是正整数，且满足，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】∵， ，
∴a-1=7，
解之：a=8.
故答案为：B
18．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
设点表示的数为，
则：，
由图可知：，
∴；
故答案为：A．
19．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上点在点左侧，且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点所表示的数为：，
故答案为：D.
20．估计无理数的值应在（ ）
A．到之间 B．到0之间
C．0到1之间 D．1到2之间
【答案】B
【解析】，
，
，
故答案为：B.
21．如图，已知数轴上A、B两点分别对应实数-1和，则A，B两点间的距离为 ．
【答案】 +1
【解析】∵ 数轴上A、B两点分别对应实数-1和 ，
∴ A，B两点间的距离为 ：.
故答案为：.
22．比较大小：1.73 ．（填上“>”、“<”或“=”）
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
23．如图所示，若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续的整数 和 之间．
【答案】7；8
【解析】∵正方形的面积为57，
∴正方形的边长为，
∵72=49<57<82=64，
∵7<<8.
故答案为：7，8.
24．与 -2最接近的自然数是
【答案】2
【解析】∵3.52=11.25，42=16，
∵11.25< <16，
∴3.5< <4，
∴1.5< -2 <2，
∴与 -2最接近的自然数是2 .
故答案为：2.
25．比较大小．
（1） 6.26；
（2） -π；
（3）3- -2；
（4） -1 +1．
【答案】（1）>（2）<（3）>（4）<
【解析】（1）∵()2=40，6.262=39.1876，40>39.1876，
∴>6.26.
（2）∵>π，
∴-<-π.
（3）∵(3-)-(-2)=3--+2=5>0，
∴3->-2.
（4）∵36<47<49，25<27<36，
∴6<<7，5<<6，
∴5<-1<6，6<+1<7，
∴-1<+1.
故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<.
26．规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
27．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|.
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为 ，MN中点表示的数是 .
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 .
【答案】（1）2；
（2）或
【解析】（1）由题意，M，N间的距离为；
∵，
∴，
由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，
∴MN的中点表示的数为；
故答案为：2，；
（2）∵且，
∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，
∴点C为AB的中点，，
∵，
∴，
即：数轴上点A和点D的距离为，讨论如下：
若点A位于点B左边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
若点A位于点B右边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
综上，线段BD的长度为或，
故答案为：2；；或.
28．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
29．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ ．
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将 减去其整数部分，差就是 的小数部分．
例如： < < ，即2< <3， 的整数部分为2，小数部分为 -2．请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知10+ =x+y，其中x是整数，且0【答案】（1）4； -4
（2）解：2< <3． 的小数部分a= -2，
3< <4， 的整数部分b=3，
a+b- = -2+3- =1
（3）解：1<3<4，∴1< <2，∴11<10+ <12，
∴10+ =x+y，其中x是整数，且0∴x=11，y= 10+ -11= -1，
∴x-y=11-( -1)=12- ，
∴x-y的相反数是-12+
【解析】【解答】(1) < < ，即4< <5，
的整数部分是4，小数部分是 -4，
故答案为4； -4．
30．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若，则的整数部分是 ；小数部分可以表示为 ；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数.
【答案】（1）3；
（2）21；a-21
（3）23
（4）解：，
，
，
又是整数，且，
，，
，
的相反数是.
【解析】（1），
，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：3，.
（2）显然的整数部分为21，小数部分为减去它的整数部分，即为，
故答案为：，.
（3），
，
，
，，
，
故答案为：23.
【直击中考】
31．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由题意得无理数的是，
故答案为：B
32．估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【解析】∵9＜12＜16，
∴，
即.
故答案为：C.
33．如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
【答案】
【解析】∵ 点B是AC的中点，线段，
∴，
故C表示的数是：.
故答案为：.
34．在，，，四个数中，最小的实数是 ．
【答案】-π
【解析】-π＜-2＜0＜ ，所以最小的实数是-π。
故第1空答案为：-π.
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