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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数（含解析）
3.1 从自然数到有理数
【知识重点】
一、平方根
1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，也叫做a的二次方根.
2.性质：(1)一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
(2)零的平方根是零；负数没有平方根；
(3)熟记：平方根等于它本身的数是0.
二、符号表示：一个正数a的平方根表示成：±(读做“正、负根号a”)，其中符号“”叫做根号，a叫做被开方数.如3的平方根是：±，那么4的平方根是 .
三、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方是平方运算的逆运算，可以运用平方运算求一个数的平方根.
四、算术平方根
1.定义：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.
2.性质：熟记：算术平方根等于它本身的数是0和1.
【经典例题】
【例1】求下列各数的平方根．
（1） ； （2） ； （3）( )2．
【答案】（1）解：±4 （2）解：± （3）解：±9
【解析】（1）∵ =16，∴的平方根为；
（2），
（3）∵( )2=81，∴( )2=的平方根为
【例2】求下列各数的算术平方根．
（1）64；
（2） ；（3）|-0.36|；
（4）-(-41)
【答案】（1）解：64 的算术平方根为：=8；
（2）解： 的算术平方根为：=；
（3）解：|-0.36| 的算术平方根为：==0.6；
（4）解： -(-41) 的算术平方根为：；
【例3】观察下列各式，并解决以下问题．
，，，……
（1）由上可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向右移动 位的变化规律．
（2）已知，，则 ；
（3）若，，则 ．
【答案】（1）两；一
（2）
（3）
【解析】（1）∵，，
∴被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
故答案为：两，一；
（2）
∵
∴
故答案为：12.25；
(3)∵
∴
故答案为：
【例4】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：1×5+4 2×6+4+3×7+4 4×8+4+ +2021×2025+4
=3 4+5 6+…+2023
=( 1)×1010+2023
= 1010+2023
=1013.
【解析】（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
【基础训练】
1．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵x2=18，∴
又∵∴∴下列整数中最接近x的是4.
故答案为：C.
2．下列等式成立的是（ ）
A．±=±2 B．=-2 C．±=2 D．-=2
【答案】A
【解析】A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A
3．若x的平方等于3，则x等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或-9
【答案】C
【解析】∵x的平方等于3即x2=3
∴x=.
故答案为：C
4．4的平方根是（ ）
A．2 B． C．16 D．
【答案】D
【解析】∵
∴4的平方根为.
故答案为：D.
5．平方根是±的数是 （ ）
A． B． C． D．±
【答案】C
【解析】∵，
∴平方根是±的数是 .
故答案为：C
6．关于“”的三种说法：①表示16的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①∵，
∴表示16的平方根，说法正确，符合题意；
②，说法正确，符合题意；
③是有理数，说法错误，不符合题意；
∴正确的个数有2个
故答案为：C．
7．按如图所示的程序计算，若输入的a=3，b=4，则输出的结果为 ．
【答案】5
【解析】当a=3，b=4时，
.
故答案为：5
8．一个自然数的算术平方根为a，则比它大2的自然数的平方根为 ．
【答案】±
【解析】∵一个自然数的算术平方根为a，
∴这个自然数=a2．
∴比这个自然数大2的数是a2+2．
∴a2+2的平方根是± ．
故答案为：± ．
9．已知 ≈1.414， ≈4.472，则 ≈
【答案】0.4472
【解析】∵≈4.472，
∴≈0.4472.
故答案为：0.4472.
10．若，则 .
【答案】
【解析】 ，
，
，
故答案为： .
11．若一个正数的平方根是3a﹣2和5，则这个正数是 ．
【答案】25
【解析】∵一个正数的平方根是3a﹣2和5，
∴这个正数是52=25.
故答案为：25
12．求下列各式中x的值．
（1）x2-36=0；
（2）0.25x2=1．
【答案】（1）解： x2=36，
x=±6
（2）解： x2=4，
x=±2
13．已知x＝，z是9的平方根，求5z－2x的值．
【答案】解：∵ x＝，
∴x=5；
∵z是9的平方根 ，
∴z=3或-3；
当z=3时，5z－2x=5×3-2×5=15-10=3；
当z=-3时，5z－2x=5×（-3）-2×5=-15-10=-25；
∴5z－2x的值为5或-25
14．如图所示，某玩具厂要制作一个体积为100 000 cm3的长方体包装盒，其高为40 cm．按设计需要，底面应做成正方形．求底面边长应是多少？
【答案】解：100 000÷ 40= 2500(cm2 )，
= 50(cm)，
故底面边长应是50 cm．
15．已知，是9的平方根，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
又∵z是9的平方根，
∴，
∴分两种情况：
当时，；
当时，
【培优训练】
16．144的平方根是的数学表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】，
故答案为：C．
17．平方根等于本身的数是
A．-1 B．0 C．1 D．0，±1
【答案】B
【解析】-1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1.
故答案为：B.
18．如果一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，那么x的值是（ ）
A．﹣2 B．7 C．﹣7 D．49
【答案】D
【解析】∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2.
∴5﹣a＝7.
∴x＝72＝49.
故答案为：D.
19．下列说法正确的是（ ）
A．无理数是无限不循环小数
B．一个数的平方根等于它本身的数是0，1
C．绝对值等于本身的数是0
D．倒数等于本身的数是0，1，
【答案】A
【解析】A、无理数是无限不循环小数，故此选项符合题意；
B、一个数的平方根等于它本身的数是0，故此选项不符合题意；
C、绝对值等于本身的数是0和正数，故此选项不符合题意；
D、倒数等于本身的数是1，-1，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
20．已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2
【答案】C
【解析】∵|x|＝6，y2＝4，
∴x＝±6，y＝±2，
又∵xy＜0，
∴x＝6，y＝﹣2或x＝﹣6，y＝2，
当x＝6，y＝﹣2时，x+y＝4，
当x＝﹣6，y＝2时，x+y＝﹣4，
故答案为：C.
21．有一个数值转换器，原理如下：
当输入81时，输出（ ）
A．9 B．3 C． D．3
【答案】C
【解析】由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，
则3的算术平方根是，故输出的y是．
故答案为：C.
22．若 ，其中 ， 为两个连续的整数，则 的值为（ ）
A．7 B．12 C．64 D．81
【答案】D
【解析】∵32=9<11<42，
∴3<<4，
∴a=3，b=4，
∴ .
故答案为：D.
23．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为 .
【答案】
【解析】∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a-4），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为，
故答案为：.
24．若是16的一个平方根，则x的值为 ．
【答案】3或-5
【解析】∵x+1是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或-5．
25．如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为 ．
【答案】1-
【解析】∵正方形ABCD的面积为5，
∴AE=AE=
∴点E表示的数是1-.
故答案为：1-
26．任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对87进行如下操作：87[]＝9[]＝3[]＝1，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】2；65535
【解析】（1）；
故答案为：2
∵，，，，，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535
∴.
故答案为：65535.
27．如图．方格的每一方格的边长为1个单位．依次连接各边的中点．则数轴上点对应的数是 ，线段长是 ．以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ．
【答案】1；；
【解析】依题意，每一方格的边长为1个单位．
∴C对应的数是1，
∵四边形ABCD的面积等于4个小正方形的面积的一半，
∴正方形ABCD的面积为2，
∴ ，
以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交数轴于点P ，
∴ ，
∴P点对应的无理数是 ．
故答案为： ．
28．已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
【答案】解：∵2a 1的平方根为±3，3a＋b 1的平方根为±4，
∴2a 1＝9，3a＋b 1＝16，
解得：a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3．
29．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根.
【答案】解：由题意得：，
∴a＝5，b＝2.
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4.
∴c＝3.
∴a+2b﹣c＝6.
∴a+2b﹣c的平方根是±.
30．已知2a+1和a-2都是m的平方根，求a和m的值．
【答案】解：根据题意，得
当2a+1=a-2时，a=-3，m=（a-2）2=（-5）2=25；
当2a+1+a-2=0时，a=，m=（-2）2=（-）2=．
所以a和m的值分别为-3，25或，．
31．已知2a+1的平方根是±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a、b的值；
（2）求a+b的平方根．
【答案】（1）解：由题意得：2a+1=25，a+b+7=16．
∴a=12，b=-3．
（2）解：由（1）得：a=12，b=-3．
∴a+b=12-3=9．
∴a+b的平方根为±=±3．
32．如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）.
（1）图中拼成的正方形的面积是 ； 边长是 ；
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形. 并求出这个正方形的边长是 .
【答案】（1）5；
（2）解：剪拼图如下：
这个正方形的边长是.
【解析】（1）∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：5
由正方形的面积公式可得：
故答案为：5， ；
（2）∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
故答案为：.
33．如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长a是 .
（2）估计边长a的值在两个相邻整数 与 之间.
（3）我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(π－3)表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求(x－y)的相反数.
【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：∵a=，
∴x=3，y= -3，
∴x-y=6 - ，
∴（x-y）的相反数是 -6.
【解析】（1） 阴影部分的面积=5×5-4××2×3=13，
∴阴影部分正方形的边长a=，
故答案为：13；；
（2）∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
故答案为：3；4；
【直击中考】
34．化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】 ＝ 2.
故答案为：D.
35．16的平方根是（ ）
A． ±4 B．4 C．±8 D．8
【答案】A
【解析】16的平方根是±4.
故答案为：A.
36．请写出一个比小的整数 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
37．若 为整数，x为正整数，则x的值是
【答案】8或7或4
【解析】∵为整数， x为正整数， ∴8-x=0或1或4， ∴x=8或7或4， 故答案为：8或7或4.
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数
3.1 从自然数到有理数
【知识重点】
一、平方根
1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，也叫做a的二次方根.
2.性质：(1)一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
(2)零的平方根是零；负数没有平方根；
(3)熟记：平方根等于它本身的数是0.
二、符号表示：一个正数a的平方根表示成：±(读做“正、负根号a”)，其中符号“”叫做根号，a叫做被开方数.如3的平方根是：±，那么4的平方根是 .
三、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方是平方运算的逆运算，可以运用平方运算求一个数的平方根.
四、算术平方根
1.定义：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.
2.性质：熟记：算术平方根等于它本身的数是0和1.
【经典例题】
【例1】求下列各数的平方根．
（1） ； （2） ； （3）( )2．
【例2】求下列各数的算术平方根．
（1）64；
（2） ； （3）|-0.36|；
（4）-(-41)
【例3】观察下列各式，并解决以下问题．
，，，……
（1）由上可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向右移动 位的变化规律．
（2）已知，，则 ；
（3）若，，则 ．
【例4】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
【基础训练】
1．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列等式成立的是（ ）
A．±=±2 B．=-2 C．±=2 D．-=2
3．若x的平方等于3，则x等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或-9
4．4的平方根是（ ）
A．2 B． C．16 D．
5．平方根是±的数是 （ ）
A． B． C． D．±
6．关于“”的三种说法：①表示16的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．按如图所示的程序计算，若输入的a=3，b=4，则输出的结果为 ．
8．一个自然数的算术平方根为a，则比它大2的自然数的平方根为 ．
9．已知 ≈1.414， ≈4.472，则 ≈
10．若，则 .
11．若一个正数的平方根是3a﹣2和5，则这个正数是 ．
12．求下列各式中x的值．
（1）x2-36=0；
（2）0.25x2=1．
13．已知x＝，z是9的平方根，求5z－2x的值．
14．如图所示，某玩具厂要制作一个体积为100 000 cm3的长方体包装盒，其高为40 cm．按设计需要，底面应做成正方形．求底面边长应是多少？
15．已知，是9的平方根，求的值．
【培优训练】
16．144的平方根是的数学表达式是（ ）
A． B． C． D．
17．平方根等于本身的数是
A．-1 B．0 C．1 D．0，±1
18．如果一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，那么x的值是（ ）
A．﹣2 B．7 C．﹣7 D．49
19．下列说法正确的是（ ）
A．无理数是无限不循环小数
B．一个数的平方根等于它本身的数是0，1
C．绝对值等于本身的数是0
D．倒数等于本身的数是0，1，
20．已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2
21．有一个数值转换器，原理如下：
当输入81时，输出（ ）
A．9 B．3 C． D．3
22．若 ，其中 ， 为两个连续的整数，则 的值为（ ）
A．7 B．12 C．64 D．81
23．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为 .
24．若是16的一个平方根，则x的值为 ．
25．如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为 ．
26．任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对87进行如下操作：87[]＝9[]＝3[]＝1，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
27．如图．方格的每一方格的边长为1个单位．依次连接各边的中点．则数轴上点对应的数是 ，线段长是 ．以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ．
28．已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
29．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根.
30．已知2a+1和a-2都是m的平方根，求a和m的值．
31．已知2a+1的平方根是±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a、b的值；
（2）求a+b的平方根．
32．如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）.
（1）图中拼成的正方形的面积是 ； 边长是 ；
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形. 并求出这个正方形的边长是 .
33．如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长a是 .
（2）估计边长a的值在两个相邻整数 与 之间.
（3）我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(π－3)表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求(x－y)的相反数.
【直击中考】
34．化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
35．16的平方根是（ ）
A． ±4 B．4 C．±8 D．8
36．请写出一个比小的整数 ．
37．若 为整数，x为正整数，则x的值是
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