中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数（含解析）
3.3 立方根
【知识重点】
一、定义:一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记做.其中a是被开方数，3是根指数，符号“”读做“三次根号”，注意：3是根指数不能省略.
二、性质:1.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
2. a为任意实数，则有.
3. 熟记：立方根等于它本身的数是0，1和1.
三、符号表示: 一个数a的立方根表示成：，其中a叫做被开方数.
如3的立方根是：，那么8的立方根是： .
四、开立方: 求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都只有一个
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【答案】C
【解析】∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，即任何数都只有一个立方根，
∴A选项说法不正确；
∵一个负数有一个负的立方根，
∴B选项说法不正确；
∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，
∴C选项说法正确；
∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，
∴D选项说法不正确.
综上，说法正确的是C选项.
故答案为：C.
【例2】下列说法中，不正确的是（ ）
A．8的立方根是2 B．-8的立方根是-2
C．0的立方根是0 D．125的立方根是±5
【答案】D
【解析】A、8的立方根是2，故不符合题意；
B、-8的立方根是-2，故不符合题意；
C、0的立方根是0，故不符合题意；
D、∵5的立方等于125，∴125的立方根等于5，故符合题意．
故答案为：D．
【例3】1，2，3……，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个。
【答案】186
【解析】∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，
∴无理数有90个；
∵13=1，23=8，33=27，43=64＜100，53=125＞100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，
∴无理数有96个；
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个．
故答案为：186．
【例4】已知一个数的负平方根是-8，则这个数是 ，这个数的立方根是 .
【答案】64；4
【解析】已知一个数的负平方根是-8，则这个数是64，这个数的立方根是4，
故答案为：64；4.
【例5】计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【答案】（1）解： =-5
（2）解： =-(-4)=4
（3）解： =-3
（4）解：
（5）解：
【例6】已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
【答案】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm，
依题意得
1000﹣8x3=488，
∴8x3=512，
∴x=4，
答：截得的每个小正方体的棱长是4cm
【基础训练】
1． 立方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
故答案为：A．
2．|-125|的立方根为（ ）
A．-5 B．5 C．25 D．±5
【答案】B
【解析】|-125|=125．∵53=125，∴125的立方根为5，即|-125|的立方根为5．故答案为：B．
3．下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意；
故答案为：B．
4． ，则a与b的关系是（ ）
A． B．a与b相等
C．a与b互为相反数 D．无法判定
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴a与b互为相反数．故答案为：C．
5．实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵ ， ，且 ，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴与x最接近的整数是4，
故答案为：B．
6．= ．
【答案】
【解析】
故答案为：．
7．﹣125的立方根是 ．
【答案】﹣5
【解析】∵﹣5的立方等于﹣125，
∴﹣125的立方根是﹣5．
故答案为﹣5．
8．已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是 .
【答案】3
【解析】∵立方体体积为，
∴这个立方体的棱长为，
故答案为：3.
9．已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，则这个正数的立方根为 ．
【答案】4
【解析】∵正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，
∴m+4+2m﹣16=0．
∴m=4．
∴m+4=8．
∴这个正数为64．
∴这个正数的立方根为4．
故答案为：4．
10．计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
11．求下列各数的立方根．
（1）343；
（2）- 125；
（3）-0.729；
（4） ；（5）-
5
【答案】（1）解：因为 73=343，
所以343的立方根是7，即 =7.
（2）解：因为(-5)3=- 125，
所以-125的立方根是一5，即 =-5.
（3）解：因为(-0.9)3=-0.729，
所以-0.729的立方根是-0.9，
即 =-0.9.
（4）解：因为 = ，( )2=
所以 的立方根是 ，即 .
（5）解：-5的立方根是 .
12．一个长方体容器，长90厘米，宽80厘米，高30厘米；把里面的水倒进另一个正方体容器里面，正好装满．请问，这个正方体容器的边长是多少厘米？
【答案】解：长方体容器的体积为90×80×30 =216 000(立方厘米)，
所以正方体容器的边长为 = 60(厘米)．
13．把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）.
（1）无理数：{ ……}；
（2）整数：{ ……}；
【答案】（1）、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）
（2）、0、
【解析】（1）∵，，
∴无理数：｛、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）……｝；
故答案为： 、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2） ；
（2）｛、0、……｝.
故答案为：、0、.
【培优训练】
14．若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵某自然数的立方根为，
∴该自然为，
∴它前面与其相邻的自然数的立方根是；
故答案为：C．
15．已知，，则x2﹣x的值为（ ）
A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或 6 D．0、2 或 6
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴，
，
，
，
，，，
或或，
∴或2，
故答案为：B．
16．正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
【答案】D
【解析】∵，，
∴，，
∴a=4，b=2，
∴ba=24=16.
故答案为：D.
17．若 是3-m的立方根，则（ ）
A．m=3 B．m是小于3的实数
C．m是大于3的实数 D．m可以是任意实数
【答案】D
【解析】∵ 是3-m的立方根，
∴3-m是任意实数，
∴m可以是任意实数.
故答案为：D.
18．已知．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】，
，
，
故答案为：B．
19．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ．
【答案】0或﹣1或﹣
【解析】 ∵﹣2x﹣1＝0，
∴=2x+1，
∴2x+1=0或2x+1=1或2x+1=-1，
解得：x= ﹣ 或x=0或x=-1，
故答案为： 0或﹣1或﹣ .
20．若 是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．
【答案】3
【解析】∵ ，∴满足条件的最小正整数n=3，故答案为：3
21．若实数满足．请按要求解答下列问题：
（1）若都是整数．请写出一对符合条件的的值，
（2）若都是分数．请写出一对符合条件的的值．
【答案】（1）解：∵ ，
，
∴ 符合题意，
（2）解：∵ ，
，
∴ 符合题意．
22．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27
②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 .
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①= ； ②= ；③= ．
【答案】（1）解：①3x2=27，∴x2=9，∴x=±3；
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）①； ②；③．
23．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
【答案】（1）两；8；5；58
（2）24；56
【解析】（1）① ， ，
∴ ，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵ ，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而 ，
∴ ，
可得 ，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【直击中考】
24． -8的立方根是（ ）
A． B．2 C． D．不存在
【答案】A
【解析】∵(-2)3=-8，
∴-8的立方根为-2.
故答案为：A.
25．计算： ．
【答案】3
【解析】 计算： 2+1=3.
故答案为：3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数
3.3立方根
【知识重点】
一、定义:一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记做.其中a是被开方数，3是根指数，符号“”读做“三次根号”，注意：3是根指数不能省略.
二、性质:1.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
2. a为任意实数，则有.
3. 熟记：立方根等于它本身的数是0，1和1.
三、符号表示: 一个数a的立方根表示成：，其中a叫做被开方数.
如3的立方根是：，那么8的立方根是： .
四、开立方: 求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都只有一个
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【例2】下列说法中，不正确的是（ ）
A．8的立方根是2 B．-8的立方根是-2
C．0的立方根是0 D．125的立方根是±5
【例3】1，2，3……，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个。
【例4】已知一个数的负平方根是-8，则这个数是 ，这个数的立方根是 .
【例5】计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【例6】已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
【基础训练】
1． 立方根为（ ）
A． B． C． D．
2．|-125|的立方根为（ ）
A．-5 B．5 C．25 D．±5
3．下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4． ，则a与b的关系是（ ）
A． B．a与b相等
C．a与b互为相反数 D．无法判定
5．实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．= ．
7．﹣125的立方根是 ．
8．已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是 .
9．已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，则这个正数的立方根为 ．
10．计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
11．求下列各数的立方根．
（1）343；
（2）- 125；
（3）-0.729；
（4） ；（5）-
5
12．一个长方体容器，长90厘米，宽80厘米，高30厘米；把里面的水倒进另一个正方体容器里面，正好装满．请问，这个正方体容器的边长是多少厘米？
13．把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）.
（1）无理数：{ ……}；
（2）整数：{ ……}；
【培优训练】
14．若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，则x2﹣x的值为（ ）
A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或 6 D．0、2 或 6
16．正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
17．若 是3-m的立方根，则（ ）
A．m=3 B．m是小于3的实数
C．m是大于3的实数 D．m可以是任意实数
18．已知．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
19．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ．
20．若 是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．
21．若实数满足．请按要求解答下列问题：
（1）若都是整数．请写出一对符合条件的的值，
（2）若都是分数．请写出一对符合条件的的值．
22．
（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27
②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 .
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①= ； ②= ；③= ．
23．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
【直击中考】
24． -8的立方根是（ ）
A． B．2 C． D．不存在
25．计算： ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
