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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标(解析版)
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移(1)
【知识重点】
一、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征:
1.在直角坐标系中,点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,b);即:横坐标保持不变,纵坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于x轴对称.
2.在直角坐标系中,点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(a,b);即:纵坐标保持不变,横坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于y轴对称.
3.在直角坐标系中,点(a,b)关于原点对称的点的坐标为(a,b);即:横、纵坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于原点对称.
二、口诀:
1.横轴(x轴)对称,横坐标不变,纵坐标变相反;2. 纵轴(y轴)对称,纵坐标不变,横坐标变相反.
三:在直角坐标系中画对称图形:
1.使对称轴与坐标轴重合;2.画出一侧的关键点,并求出坐标;3.利用坐标系,求另一侧的关键点的坐标;4.描点、连线.
四、注意事项:
1.分清对称前后图形的顶点坐标的所在象限的特征;2. 描点要准确、连线用直尺.
【经典例题】
【例1】平面直角坐标系中一点,点A关于y轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点,点A关于y轴对称的点坐标是,
故答案为:B.
【例2】在平面直角坐标系中,已知点和点关于x轴对称,则的值是( )
A. B.1 C. D.5
【答案】D
【解析】∵点和点关于x轴对称,
∴,
∴,
故答案为:D.
【例3】将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变,纵坐标都乘,所得图形与原图形的关系是( )
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.重合
【答案】A
【解析】设点A的坐标为(x,y),
∵ 平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变,纵坐标都乘,
∴则点B(x,-y),
∴点A和点B关于x轴对称.
故答案为:A
【例4】若点与点关于y轴对称,则a的值为 .
【答案】5
【解析】∵点与点关于y轴对称,
∴.
故答案为:5.
【例5】已知点,是关于x轴对称的点,a-b= .
【答案】3
【解析】∵点,是关于x轴对称的点,
∴b=-1,a+1=3,
解得a=2,
2-(-1)=3,
故答案为:3.
【例6】平面直角坐标系中,已知点A(a,3),点B(2,b),若线段AB被x轴垂直平分,则 .
【答案】-1
【解析】 线段AB被x轴垂直平分,
点A(a,3)与点B(2,b)关于x轴对称,
a=2,b=-3,
a+b=2+(-3)=-1.
故答案为:-1.
【例7】如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,画出与关于x轴对称的图形.
【答案】解:A(-4,1)关于x轴对称点D(-4,-1),B(-1,-1)关于x轴对称点E(-1,1),C(-3,2)关于x轴对称点F(-3,-2),
在坐标系中描出点D(-4,-1),E(-1,1),F(-3,-2),
连接DE、EF、FD,
如图所示,△DEF就是△ABC关于x轴对称的图形.
【例8】
(1)写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标;
(2)点B、E的位置有什么特点;
(3)从点B与点E,点C与点D的位置看,它们的坐标有什么特点?
【答案】(1)A(-2,0)、B(0,-2)、C(2,-1)、D(2,1)、E(0,2)、O(0,0).
(2)解:点B(0,﹣2)和点E(0,2)关于x轴对称.
(3)解:点B(0,﹣2)与点E(0,2),点C(2,﹣1)与点D(2,1),它们的横坐标相同纵坐标互为相反数.
【例9】如图,在平面直角坐标系中有一个△ABC,顶点A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(不写画法);
点A关于x轴对称的点坐标为
点B关于y轴对称的点坐标为
点C关于原点对称的点坐标为
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是 .
【答案】(1)(-1,-3);(-2,0);(3,1)
(2)9
【解析】(1)点A关于x轴对称的点坐标为 (-1,-3);
点B关于y轴对称的点坐标为:(-2,0);
点C关于原点对称的点坐标为:(3,1);
故答案为:(-1,-3),(-2,0),(3,1);
(2)△ABC的面积是:4×5- ×2×4- ×3×3- ×1×5=9.
故答案为:9.
【例10】如图,在平面直角坐标系中,的顶点A,B,C坐标分别为,,.与关于x轴对称,点A,B,C的对称点分别为点E,F,G.
(1)请在图中作出,并写出点E,F,G的坐标;
(2)若点是的边上一点,其关于x轴的对称点为,求m,n的值.
【答案】(1)解:△EFG如图所示.点E,F,G的坐标分别为:(2,-2), (1,3),(4,2).
(2)解:由题意得, ,
即 ,
解得 .
【基础训练】
1.已知一点,则点关于轴的对称点是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点A(2,0)关于y轴对称的点的坐标为(-2,0).
故答案为:A
2.已知点 和点关于轴对称,则的值为( )
A.1 B.2 C. D.49
【答案】A
【解析】∵点和点关于轴对称,
∴,
∴,
则,
故答案为:A.
3.点,点关于轴对称,则的平方根为( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】C
【解析】由题意,得,,
解得,,
则,a+b的平方根为.
故答案为:C.
4.若一个点A的横坐标不变,纵坐标乘以﹣1后得到一个点B,则( )
A.点A与点B关于x轴对称
B.点A与点B关于y轴对称
C.点A与点B关于原点对称
D.点A向x轴的负方向平移1个单位得点B
【答案】A
【解析】把点A的横坐标不变,纵坐标乘以-1后得到点B,则B点的纵坐标和A点的纵坐标互为相反数,则点A与点B关于x轴对称.
故答案为:A.
5.在平面直角坐标系内,P(2x﹣6,5﹣x)关于x轴对称的对称点在第四象限,则x的取值范围为( )
A.3<x<5 B.x<3 C.5<x D.﹣5<x<3
【答案】A
【解析】∵点P(2x﹣6,5-x)关于x轴对称的点在第四象限,
∴点(2x﹣6,x-5)第四象限
∴
解得:
故答案为:A.
6.若点 关于y轴对称,则 的值为 .
【答案】9
【解析】∵点关于y轴对称,
∴,
∴ ,
故答案为:9.
7.在平面直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标是 .
【答案】(-4,-2)
【解析】点关于x轴对称的点的坐标是,
故答案为:.
8.若点 位于第三象限,则点关于轴的对称点落在第 象限.
【答案】四
【解析】点位于第三象限,则点关于轴的对称点落在第四象限.
故答案为:四.
9.如图所示,在平面直角坐标系中,已知、、.
(1)在平面直角坐标系中画出,则的面积是 ;
(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 ;
(3)已知P为x轴正半轴上一点,若的面积为1,求点P的坐标.
【答案】(1)解:∵、、.
∴在平面直角坐标系中画出如下;
; 4
(2)(-4,3)
(3)解:∵P为x轴正半轴上一点,的面积为1,
即,
∴,
∴,
∵,所以点P的横坐标为:,
故P点坐标为:.
【解析】(1)∵、、.
;
(2)点D与点关于y轴对称,则点D的坐标为;
10.已知点 与点 .
(1)若点 与点 关于 轴对称,求 的值;
(2)若点 与点 关于 轴对称,求 的值.
【答案】(1)解:∵点P与点P′关于x轴对称,
∴ ,
解得a=2.b=4
(2)解:∵点P与点P′关于y轴对称,
∴ ,
解得a=6,b=-20.
【培优训练】
11.如图,这是平面镜成像的示意图,若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴,平面镜所在点的竖线为轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系,某时刻火焰顶部的坐标是,则此时对应的虚像的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由平面镜成像可知,与关于轴对称,
,
,
故答案为:D.
12.如图,x轴是△AOB的对称轴,y轴是△BOC的对称轴,点A的坐标为(1,2),则点C的坐标为( )
A.( -1,-2) B.( 1,-2) C.( -1,2) D.( -2,-1)
【答案】A
【解析】∵x轴是△AOB的对称轴,
∴点A与点B关于x轴对称,
而点A的坐标为(1,2),
∴B(1,-2),
∵y轴是△BOC的对称轴,
∴点B与点C关于y轴对称,
∴C(-1,-2).
故答案为:A.
13.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,﹣n),其关于y轴对称的点F的坐标(3﹣n,﹣m+1),则(m﹣n)2022的值为( )
A.32022 B.﹣1 C.1 D.0
【答案】C
【解析】∵E(2m,-n),F(3-n,-m+1)关于y轴对称,
∴,
解得,,
∴(m-n)2022=(-4+5)2022=1,
故答案为:C.
14.如图,OA平分∠BOD,AC⊥OB于点C,且AC=2,已知点A到y轴的距离是3,那么点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,-3) D.(-3,-2)
【答案】D
【解析】∵点A到y轴的距离是3,
∴点A横坐标为-3,
过点A作AE⊥OD,垂足为E,
∵∠DAO=∠CAO,AC⊥OB,AC=2,
∴AE=2,
∴点A的纵坐标为2,
∴点A的坐标为(-3,2),
∴点A关于x轴对称的点的坐标为(-3,-2),
故答案为:D.
15.如图,在平面直角坐标系中,关于直线m(直线m上各点的坐标都为1)对称,点C的坐标为,则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,
∴C,B关于直线m对称,即关于直线x=1对称,
∵点C的坐标为(4,1),
∴设B(x,1)则,解得x=-2
则点B的坐标为:(-2,1).
故答案为:B.
16.如图,在平面直角坐标系中,点A(- 2,2),B(2,6),点P为x轴上一点,当PA+PB的值最小时,三角形PAB的面积为( )
A.1 B.6 C.8 D.12
【答案】B
【解析】如图,作点B关于x轴对称的对称点B',连接AB',交x轴于点P,此时PA+PB的值最小
∵ B(2,6) ,
∴B'(2,-6),
设直线AB'的解析式为y=kx+b,
∴,∴,
∴直线AB'的解析式为y=-2x-2,
令y=0,则x=-1,
∴P(-1,0),
∴S△PAB=.
故答案为:B.
法2:
设CP=x;则EP=4-x ∵AP+PB’=AB’
∴+=
解得x=1
∴S△PAB=.
17.在平面直角坐标系中,点和关于 轴对称.
【答案】y(或纵)
【解析】点和关于y(或纵)轴对称.
故答案为:y(或纵).
18.如图是战机在空中展示的轴对称队形,以飞机B、C所在直线为x轴,队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,若飞机E的坐标为,则飞机D的坐标为 .
【答案】
【解析】∵飞机 与飞机D关于y轴对称,
∴飞机D的坐标为 ,
故答案为: .
19.如图,在平面直角坐标系中,等边三角形的边长为2,则点C关于x轴的对称点的坐标是 .
【答案】
【解析】过点C作轴
∵等边三角形的边长为2,轴,
∴,OC=2,
∴,
∴,
∴
∴点C关于x轴的对称点的坐标为:
20.在平面直角坐标系中,对进行循环往复的轴对称变换,若原来点的坐标是,则经过第2021次变换后所得的点的坐标是 .
【答案】
【解析】根据题意可知:点A第四次关于y轴对称后在第一象限,即点A回到初始位置,
所以,每四次对称为一个循环组依次循环,
∵2021÷4=505…1,
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同,在第四象限,坐标为.
故答案为:.
21.规定:在平面直角坐标系 中,“把某一图形先沿x轴翻折,再沿y轴翻折”为一次变换.如图,已知正方形 ,顶点 ,若正方形 经过一次上述变换,则点A变换后的坐标为 ;对正方形 连续做2021次这样的变换,则点D变换后的坐标为 .
【答案】;
【解析】根据平面直角坐标系内关于 和 轴成轴对称点的坐标特征:关于 轴对称点的坐标特点,横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于 轴对称点的坐标特点,横坐标互为相反数,纵坐标不变.
点 先沿 轴翻折,再沿 轴翻折后的坐标为 ;
由于正方形 ,顶点 , ,所以 ,
先沿 轴翻折,再沿 轴翻折一次后坐标为 ,
两次后坐标为 ,
三次后坐标为 ,
故连续做2021次这样的变化,则点 变化后的坐标为 .
故答案为: ; .
22.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1).
⑴在图中作出关于y轴对称的;
⑵写出点的坐标(直接写答案);
⑶在y轴上画出点P,使PB+PC最小.
【答案】解:⑴先根据轴对称的性质分别描出点,再顺次连接即可得到,如图所示:
⑶由轴对称的性质得:
则
由两点之间线段最短得:当三点共线时,取得最小值,最小值为
如图,连接,与y轴的交点P即为所求.
【解析】(2)点坐标关于y轴对称的变化规律:横坐标变为相反数,纵坐标不变
;
23.如图,平面直角坐标系中,,,,过点作x轴的垂线l.
(1)画出关于直线l的轴对称图形,并写出点,,的坐标.
(2)直线l上找一点Q,使得的周长最短,在图中标记出点Q的位置.
(3)在内有一点,则点P关于直线l的对称点的坐标为( , )(结果用含m,n的式子表示).
【答案】(1)解:如图,为所作;
由图可知:.
(2)解:如图,点Q为所作的;
(3)2-m;n
24.如图,平面直角坐标系中有点A(0,6),B(6,0),点D为线段OB上一个动点(点D不与点O、B重合),点C在AB的延长线且CD=AD,点C关于x轴的对称点为M,连接DM,AM.
(1)求证:∠OAD=∠CDB;
(2)点D为OB的中点时,求点M的坐标;
(3)点D在运动的过程中,∠DAM的值是否发生变化?如果变化,请求出∠DAM的度数的取值范围;如果不变,请求出∠DAM的度数.
【答案】(1)证明:∵A(0,6),B(6,0),
∴OA=OB=6,
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵DA=DC,
∴∠DAB=∠DCA,
∵∠ABO=∠CDB+∠DCB=45°,∠OAD+∠DAB=45°,
∴∠OAD=∠CDB;
(2)解:如图,连接CM交OB于T.
∵D是OB的中点,OB=6,∴OD=DB=3,
∵DC,DM关于x轴对称,∴CM⊥x轴,
在△AOD和△DTC中,
,∴△AOD≌△DTC(AAS),
∴OA=DT=6,OD=CT=3,∴OT=OD+DT=9,
∴C(9,﹣3),
∵C,M关于x轴对称,
∴M(9,3).
(3)解:结论:∠ADM=90°,不变.
理由:∵C,M关于x轴对称,∴∠CDB=∠MDB,
∵∠OAD=∠CDB,
∴∠MDB=∠OAD,
∵∠ADB=∠AOD+∠OAD=∠ADM+∠MDB,
∴∠ADM=∠AOD=90°.
【直击中考】
25.在平面直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得: 点关于x轴对称的点的坐标是(2,3),
故答案为:D.
26.点(2,3)关于y轴对称的点的坐标为 .
【答案】(﹣2,3)
【解析】点(2,3)关于y轴对称的点的坐标是(﹣2,3),
故答案为:(﹣2,3).
27.如图,点 与点 关于直线 对称,则 .
【答案】-5
【解析】∵点 与点 关于直线 对称
∴a=-2, ,解得b=-3
∴a+b=-2+(-3)=-5
故答案为-5.
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移(1)
【知识重点】
一、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征:
1.在直角坐标系中,点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,b);即:横坐标保持不变,纵坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于x轴对称.
2.在直角坐标系中,点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(a,b);即:纵坐标保持不变,横坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于y轴对称.
3.在直角坐标系中,点(a,b)关于原点对称的点的坐标为(a,b);即:横、纵坐标分别乘以1,所得图形与原图形关于原点对称.
二、口诀:
1.横轴(x轴)对称,横坐标不变,纵坐标变相反;2. 纵轴(y轴)对称,纵坐标不变,横坐标变相反.
三:在直角坐标系中画对称图形:
1.使对称轴与坐标轴重合;2.画出一侧的关键点,并求出坐标;3.利用坐标系,求另一侧的关键点的坐标;4.描点、连线.
四、注意事项:
1.分清对称前后图形的顶点坐标的所在象限的特征;2. 描点要准确、连线用直尺.
【经典例题】
【例1】平面直角坐标系中一点,点A关于y轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
【例2】在平面直角坐标系中,已知点和点关于x轴对称,则的值是( )
A. B.1 C. D.5
【例3】将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变,纵坐标都乘,所得图形与原图形的关系是( )
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.重合
【例4】若点与点关于y轴对称,则a的值为 .
【例5】已知点,是关于x轴对称的点,a-b= .
【例6】平面直角坐标系中,已知点A(a,3),点B(2,b),若线段AB被x轴垂直平分,则 .
【例7】如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,画出与关于x轴对称的图形.
【例8】
(1)写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标;
(2)点B、E的位置有什么特点;
(3)从点B与点E,点C与点D的位置看,它们的坐标有什么特点?
【例9】如图,在平面直角坐标系中有一个△ABC,顶点A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(不写画法);
点A关于x轴对称的点坐标为
点B关于y轴对称的点坐标为
点C关于原点对称的点坐标为
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是 .
【例10】如图,在平面直角坐标系中,的顶点A,B,C坐标分别为,,.与关于x轴对称,点A,B,C的对称点分别为点E,F,G.
(1)请在图中作出,并写出点E,F,G的坐标;
(2)若点是的边上一点,其关于x轴的对称点为,求m,n的值.
【基础训练】
1.已知一点,则点关于轴的对称点是( )
A. B. C. D.
2.已知点 和点关于轴对称,则的值为( )
A.1 B.2 C. D.49
3.点,点关于轴对称,则的平方根为( )
A.1 B.2 C. D.
4.若一个点A的横坐标不变,纵坐标乘以﹣1后得到一个点B,则( )
A.点A与点B关于x轴对称
B.点A与点B关于y轴对称
C.点A与点B关于原点对称
D.点A向x轴的负方向平移1个单位得点B
5.在平面直角坐标系内,P(2x﹣6,5﹣x)关于x轴对称的对称点在第四象限,则x的取值范围为( )
A.3<x<5 B.x<3 C.5<x D.﹣5<x<3
6.若点 关于y轴对称,则 的值为 .
7.在平面直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标是 .
8.若点 位于第三象限,则点关于轴的对称点落在第 象限.
9.如图所示,在平面直角坐标系中,已知、、.
(1)在平面直角坐标系中画出,则的面积是 ;
(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 ;
(3)已知P为x轴正半轴上一点,若的面积为1,求点P的坐标.
10.已知点 与点 .
(1)若点 与点 关于 轴对称,求 的值;
(2)若点 与点 关于 轴对称,求 的值.
【培优训练】
11.如图,这是平面镜成像的示意图,若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴,平面镜所在点的竖线为轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系,某时刻火焰顶部的坐标是,则此时对应的虚像的坐标是( )
A. B. C. D.
12.如图,x轴是△AOB的对称轴,y轴是△BOC的对称轴,点A的坐标为(1,2),则点C的坐标为( )
A.( -1,-2) B.( 1,-2) C.( -1,2) D.( -2,-1)
13.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,﹣n),其关于y轴对称的点F的坐标(3﹣n,﹣m+1),则(m﹣n)2022的值为( )
A.32022 B.﹣1 C.1 D.0
14.如图,OA平分∠BOD,AC⊥OB于点C,且AC=2,已知点A到y轴的距离是3,那么点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,-3) D.(-3,-2)
15.如图,在平面直角坐标系中,关于直线m(直线m上各点的坐标都为1)对称,点C的坐标为,则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
16.如图,在平面直角坐标系中,点A(- 2,2),B(2,6),点P为x轴上一点,当PA+PB的值最小时,三角形PAB的面积为( )
A.1 B.6 C.8 D.12
17.在平面直角坐标系中,点和关于 轴对称.
18.如图是战机在空中展示的轴对称队形,以飞机B、C所在直线为x轴,队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,若飞机E的坐标为,则飞机D的坐标为 .
19.如图,在平面直角坐标系中,等边三角形的边长为2,则点C关于x轴的对称点的坐标是 .
20.在平面直角坐标系中,对进行循环往复的轴对称变换,若原来点的坐标是,则经过第2021次变换后所得的点的坐标是 .
21.规定:在平面直角坐标系 中,“把某一图形先沿x轴翻折,再沿y轴翻折”为一次变换.如图,已知正方形 ,顶点 ,若正方形 经过一次上述变换,则点A变换后的坐标为 ;对正方形 连续做2021次这样的变换,则点D变换后的坐标为 .
22.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1).
⑴在图中作出关于y轴对称的;
⑵写出点的坐标(直接写答案);
⑶在y轴上画出点P,使PB+PC最小.
23.如图,平面直角坐标系中,,,,过点作x轴的垂线l.
(1)画出关于直线l的轴对称图形,并写出点,,的坐标.
(2)直线l上找一点Q,使得的周长最短,在图中标记出点Q的位置.
(3)在内有一点,则点P关于直线l的对称点的坐标为( , )(结果用含m,n的式子表示).
24.如图,平面直角坐标系中有点A(0,6),B(6,0),点D为线段OB上一个动点(点D不与点O、B重合),点C在AB的延长线且CD=AD,点C关于x轴的对称点为M,连接DM,AM.
(1)求证:∠OAD=∠CDB;
(2)点D为OB的中点时,求点M的坐标;
(3)点D在运动的过程中,∠DAM的值是否发生变化?如果变化,请求出∠DAM的度数的取值范围;如果不变,请求出∠DAM的度数.
【直击中考】
25.在平面直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
26.点(2,3)关于y轴对称的点的坐标为 .
27.如图,点 与点 关于直线 对称,则 .
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