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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标
4.2平面直角坐标系（1）
【知识重点】
一、平面直角坐标系的含义及有关概念：
1. 平面直角坐标系有关概念：如图1，在平面内画两条互相垂直且有公共原点O的数轴，其中一条（通常画成水平的）叫做x轴或横轴，向右的方向为正方向；另一条（画成与x轴垂直的）叫做y轴或纵轴，向上的方向为正方向.这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称坐标系.坐标系所在的平面就叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点.
2.点的坐标确定方法：如图2，对于平面内任意一点M，过M作MM1⊥x轴、MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序实数对（x，y）叫做M点的坐标. 规定点的坐标用（x，y）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.
3.在直角坐标系中如何根据点的坐标找出这个点：如图3，如点P的坐标为（a，b）， 在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点.
源:]
二、平面直角坐标系的象限的划分及象限中点的坐标符号的确定：如图4.
1.象限划分：x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，规定两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第一象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第二象限；第三象限；第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限；
2.象限中点的坐标的符号的确定：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－） .若点P（x, y）在第一象限 x＞0，y＞0；点P（x, y）在第二象限 x＜0，y＞0；
点P（x, y）在第三象限 x＜0，y＜0；点P（x, y）在第四象限 x＞0，y＜0.
3.x轴，y轴上点的坐标的特征：点P（x, y）在x轴上 y为0（点纵坐标为0），x为任意实数，一般表示为P（x，0）；点P（x,y）在y轴上 x为0（点横坐标为0），y为任意实数，一般表示为P（0，y）.
三、点P（x, y）坐标的几何意义：
1.点P（x, y）到x轴的距离是；2.点P（x, y）到y袖的距离是；3. 点P（x, y）到原点的距离等于.
四、坐标与有序实数对的关系：
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一个有序实数对，在平面内都有的一点与它对应.
五、注意：
1. 有序实数对意义：（1）a与b要用逗号分开，以示它们是两个独立有序的数，又要用括号“包装”起来，表示它们是一个整体；（2）若a≠b则(a,b)与(b,a)表示两个不同的有序数对；（3）在直角坐标系中，有序数对（a,b）表示点的坐标，a,b依次表示横坐标、纵坐标.切记横坐标在前，坐标标在后.
2.组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.
3.两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，依据实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同，但同一条数轴的单位长度必须相同.
【经典例题】
【例1】在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】若点P（，）在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【例3】平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，且到原点的距离为4，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例4】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是 ．
【例5】在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为 ．
【例6】若点M(2a，a+3)在x轴上，则点M的坐标为 .
【例7】如图，写出图中各点的坐标．
A（ ， ）；B（ ， ）；C（ ， ）；
D（ ， ）；E（ ， ）；F（ ， ）；
G（ ， ）；H（ ， ）；L（ ， ）；
M（ ， ）；N（ ， ）；O（ ， ）；
【例8】如图，建立平面直角坐标系，使点B的坐标为，点C的坐标为，并写出点A的坐标．
【例9】如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是，市场的坐标是．
⑴根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
⑵分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；
⑶准备在处建汽车站，在处建花坛，请你标出汽车站和花坛的位置．
【例10】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，请你建立适当的平面直角坐标系，并直接写出A，B，C三点的坐标．
【基础训练】
1．若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置可能是（）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在平面直角坐标系中，点B（2，－3）到x轴的距离为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
4．点（ ）
A．在x轴上 B．在y轴上 C．在第二象限 D．在第四象限
5．点到y轴的距离等于（ ）
A． B．3 C．2 D．1
6．在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
8．若点是y轴上的点，则点P的坐标是 ．
9．若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是 ．
10．点在第三象限，且到轴的距离是3，则 ．
11．已知平面直角坐标系中有一点M(m-1，2m+3)．若点M在x轴上，求M的坐标
12．已知点是平面直角坐标系中的点.若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标.
13．如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点坐标为，表示美术馆的点的坐标为，并写出其余各个景点的坐标．
在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、在网格中的位置如图所示．
（1）若点、的坐标分别为，，请在图中画出平面直角坐标系；
（2）点的坐标为，在平面直角坐标系中标出点的位置，连接，，，则的面积为 个平方单位．
15．已知：如图，平面直角坐标系xOy中的．
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）画出关于y轴的对称图形．
【培优训练】
16．若，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．点在第二象限，则整数x的值是 ．
18．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是 ．
19．已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
20．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示天安门的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示永定门的点的坐标为 ．
21．在平面直角坐标系中，点是第二象限内的点，它到轴和轴的距离相等，请写出一个满足条件的点的坐标 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）线段的长为 ，请选用合适的工具，描出点的位置；
（2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置 （填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置．
23．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，
（1）积累经验：
请写出证明过程；
（2）类比应用：
如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．
（3）拓展提升：
如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标．
【直击中考】
24．在平面直角坐标系中，点P(-1，m2+1)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．若点在第一象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
26．如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标（解析版）
4.2平面直角坐标系（1）
【知识重点】
一、平面直角坐标系的含义及有关概念：
1. 平面直角坐标系有关概念：如图1，在平面内画两条互相垂直且有公共原点O的数轴，其中一条（通常画成水平的）叫做x轴或横轴，向右的方向为正方向；另一条（画成与x轴垂直的）叫做y轴或纵轴，向上的方向为正方向.这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称坐标系.坐标系所在的平面就叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点.
2.点的坐标确定方法：如图2，对于平面内任意一点M，过M作MM1⊥x轴、MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序实数对（x，y）叫做M点的坐标. 规定点的坐标用（x，y）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.
3.在直角坐标系中如何根据点的坐标找出这个点：如图3，如点P的坐标为（a，b）， 在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点.
二、平面直角坐标系的象限的划分及象限中点的坐标符号的确定：如图4.
1.象限划分：x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，规定两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第一象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第二象限；第三象限；第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限；
2.象限中点的坐标的符号的确定：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－） .若点P（x, y）在第一象限 x＞0，y＞0；点P（x, y）在第二象限 x＜0，y＞0；
点P（x, y）在第三象限 x＜0，y＜0；点P（x, y）在第四象限 x＞0，y＜0.
3.x轴，y轴上点的坐标的特征：点P（x, y）在x轴上 y为0（点纵坐标为0），x为任意实数，一般表示为P（x，0）；点P（x,y）在y轴上 x为0（点横坐标为0），y为任意实数，一般表示为P（0，y）.
三、点P（x, y）坐标的几何意义：
1.点P（x, y）到x轴的距离是；2.点P（x, y）到y袖的距离是；3. 点P（x, y）到原点的距离等于.
四、坐标与有序实数对的关系：
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一个有序实数对，在平面内都有的一点与它对应.
五、注意：
1. 有序实数对意义：（1）a与b要用逗号分开，以示它们是两个独立有序的数，又要用括号“包装”起来，表示它们是一个整体；（2）若a≠b则(a,b)与(b,a)表示两个不同的有序数对；（3）在直角坐标系中，有序数对（a,b）表示点的坐标，a,b依次表示横坐标、纵坐标.切记横坐标在前，坐标标在后.
2.组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.
3.两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，依据实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同，但同一条数轴的单位长度必须相同.
【经典例题】
【例1】在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵点（3，-4）的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴（3，-4）所在的象限为第四象限.
故答案为：D.
【例2】若点P（，）在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】∵P（a-3，a+2）在第二象限，
∴a-3<0且a+2>0，
∴-2
故答案为：C.
【例3】平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，且到原点的距离为4，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵点M在x轴的负半轴上，且到原点的距离为4，
∴点M的坐标为（-4，0）
故答案为：C.
【例4】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是 ．
【答案】4
【解析】∵点（4，-5）的横坐标为4，
∴点到y轴的距离为4.
故答案为：4.
【例5】在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【例6】若点M(2a，a+3)在x轴上，则点M的坐标为 .
【答案】(-6，0)
【解析】∵点M(2a，a+3)在x轴上，
∴a+3=0，
解得：a=-3，
∴2a=-6，
∴点M的坐标为（-6，0），
故答案为：（-6，0）.
【例7】如图，写出图中各点的坐标．
A（ ， ）；B（ ， ）；C（ ， ）；
D（ ， ）；E（ ， ）；F（ ， ）；
G（ ， ）；H（ ， ）；L（ ， ）；
M（ ， ）；N（ ， ）；O（ ， ）；
【答案】A（2，5）；B（－4，6）；C（－7，2）；D（－6，0）；
E（－5，－3）；F（－4，－5）；G（0，－6）；H（2，－5）；
L（5，－2）；M（5，0）；N（6，3）；O（0，0）．
【例8】如图，建立平面直角坐标系，使点B的坐标为，点C的坐标为，并写出点A的坐标．
【答案】解：建立平面直角坐标系如下：
点A的坐标是．
【例9】如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是，市场的坐标是．
⑴根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
⑵分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；
⑶准备在处建汽车站，在处建花坛，请你标出汽车站和花坛的位置．
【答案】解：⑴如图所示：
⑵由平面直角坐标系知，体育场的坐标为，火车站的坐标为，文化宫的坐标为；
⑶汽车站和花坛的位置如图所示．
【例10】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，请你建立适当的平面直角坐标系，并直接写出A，B，C三点的坐标．
【答案】解：答案不唯一，如以BC所在直线为x轴，过点B作BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系，
由图可知，点A(12，5)，B(0，0)，C(24，0)．
【基础训练】
1．若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置可能是（）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
2．点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】点（-2，3）所在的象限是第二象限，
故答案为：B.
3．在平面直角坐标系中，点B（2，－3）到x轴的距离为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【答案】D
【解析】 点B（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3.
故答案为：D.
4．点（ ）
A．在x轴上 B．在y轴上 C．在第二象限 D．在第四象限
【答案】B
【解析】P（0，-6）在y轴上.
故答案为：B.
5．点到y轴的距离等于（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】P（-2，3）到y轴的距离为|-2|=2.
故答案为：C.
6．在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点在第三象限，
∴a-1<0
解得：
故答案为：A.
7．平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵平面直角坐标系中，第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴只有B符合题意
故答案为：B.
8．若点是y轴上的点，则点P的坐标是 ．
【答案】
【解析】∵点是y轴上的点 ，
∴，解得：m=-3，
∴将m=-3带入到P的坐标中得：
故答案为：.
9．若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】点在平面直角坐标系的第二象限内，，解得，
.
故答案为：.
10．点在第三象限，且到轴的距离是3，则 ．
【答案】0
【解析】∵点在第三象限，且到轴的距离是3，
∴a-3=-3．
∴a=0．
故答案为：0.
11．已知平面直角坐标系中有一点M(m-1，2m+3)．若点M在x轴上，求M的坐标
【答案】解：若点M在x轴上，则2m+3=0， .
解得m=，则m-1=-1= ，
故点M的坐标为(，0).
12．已知点是平面直角坐标系中的点.若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标.
【答案】解：点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
，
，
，
，
，，
.
13．如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点坐标为，表示美术馆的点的坐标为，并写出其余各个景点的坐标．
【答案】解：如图所示：
景山，，王府井，，天安门，，中国国家博物馆，，前门，，人民大会堂，，电报大楼，
14．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、在网格中的位置如图所示．
（1）若点、的坐标分别为，，请在图中画出平面直角坐标系；
（2）点的坐标为，在平面直角坐标系中标出点的位置，连接，，，则的面积为 个平方单位．
【答案】（1）解：如图
（2）8
【解析】（2）△ABC的面积=×4×4=8；
故答案为：8.
15．已知：如图，平面直角坐标系xOy中的．
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）画出关于y轴的对称图形．
【答案】（1）解：三个顶点的坐标为：，，；
（2）解：关于y轴的对称图形如下所示：
【培优训练】
16．若，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意得，
a-4=0，b+3=0
解得：a=4，b=-3
故点M的坐标为（4，-3）
所以点M在第四象限。
故答案为：D.
17．点在第二象限，则整数x的值是 ．
【答案】0
【解析】 ∵点在第二象限，∴
解得：-1＜x＜1，
∴整数x=0，
故答案为：0.
18．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是（5，-3），
故答案为：（5，-3）.
19．已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
【答案】1
【解析】∵点P（4，2-a）在第一象限，所以2-a＞0，∴a＜2，∵a 为正整数，∴a=1。
故 第1空答案为：1.
20．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示天安门的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示永定门的点的坐标为 ．
【答案】
21．在平面直角坐标系中，点是第二象限内的点，它到轴和轴的距离相等，请写出一个满足条件的点的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵点是第二象限内的点，它到轴和轴的距离相等，
∴点P的坐标为（1，-1），
故答案为：（1，-1）（答案不唯一）.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）线段的长为 ，请选用合适的工具，描出点的位置；
（2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置 （填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置．
【答案】（1）解： 如图：连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C． ∵， ∴， ∴， 即点C坐标为； 故答案为：．
（2）解：∵点的纵坐标为1，且，且B点坐标为， ∴点D的坐标为或， ∴点D的位置不唯一， 如图所示： 故答案为：不唯一．
23．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，
（1）积累经验：
请写出证明过程；
（2）类比应用：
如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．
（3）拓展提升：
如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴；
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵点C的坐标(1，0)，
∴，
∴，即点B到x轴的距离是1；
（3）解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，
∴，，
设B点坐标为(a，b)，
则a=4－1=3，b=2+2=4，
∴点B的坐标为(3，4)．
【直击中考】
24．在平面直角坐标系中，点P(-1，m2+1)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】∵m2≥0，
∴m2+1≥1，
∴点P（-1，m2+1）在第二象限.
故答案为：B
25．若点在第一象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】点在第一象限内，
，，
，
点所在的象限是：第二象限.
故答案为：B.
26．如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：D.
27．若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵点在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
∴，
故答案为：
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