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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标（解析版）
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移（2）
【知识重点】
一、“图形平移与点的坐标变化”之间的关系（其中h>0）：
1.左右平移时：向左平移h个单位（a,b）→(ah,b)；向右平移h个单位（a,b）→(ah,b)
2.上下平移时：向上平移h个单位（a,b）→(a,bh)；向下平移h个单位（a,b）→(a,bh)
二、“点的坐标变化与图形平移”之间的关系（由坐标的变化推断图形如何平移，其中a、b为正数）
1.横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点(x,y)变为(xa,y)，则图形向 平移 个单位；
原图形上的点(x,y)变为(xa,y)，则图形向 平移 个单位.
2. 纵坐标变化，横坐标不变：
原图形上的点(x,y) 变为(x,yb)，则图形向 平移 个单位；
原图形上的点(x,y) 变为(x,yb)，则图形向 平移 个单位.
三、坐标系内平移的规律:
1.左、右平移纵坐标不变，横坐标变，变化规律是右加左减；上下平移横坐标不变，纵坐标变，变化规律是上加下减.
2.在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变，沿y轴平移横坐标不变．例如: 当p(x ,y)向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后坐标为p′(xa ,yb).
【经典例题】
【例1】将点先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的点的坐标是．
故答案为：D．
【例2】在平面直角坐标系中，点平移后与原来的位置关于轴对称，则应把点A（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位
【答案】D
【解析】∵点A（-3，-4）平移后与原来的位置关于x轴对称，
∴平移后的坐标为（-3，4），
∵纵坐标增大，
∴点A是向上平移得到的，平移的距离为|-4-4|=8，
∴把点A向上平移8个单位.
故答案为：D
【例3】在平面直角坐标系中，点P（2，3）先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标为（ ）
A．（5，7） B．（-1，-1） C．（-1，1） D．（5，-1）
【答案】B
【解析】由题意可知：平移后点的横坐标为；纵坐标为，
平移后点的坐标为（-1，-1）．
故答案为：B．
【例4】点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为
【答案】（8，1）
【解析】点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为，
即：（8，1）.
故答案为：（8，1）.
【例5】在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（ 2， 3），则点B（ 2，3）的对应点B'的坐标为 ．
【答案】（-6，-1）
【解析】∵A（2，1）平移后得到点A′的坐标为（-2，-3），
∴向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，
∴B（-2，3）的对应点B'的坐标为（-2-4，3-4），
即（-6，-1）．
故答案为：（-6，-1）．
【例6】若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵是第二象限内一点，
∴，
由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到，
∵运动到第四象限，∴，
解不等式组可得，
故答案为：.
【例7】如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．
（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；
（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；
（3）请直接写出△A′B′C′的面积．
【答案】解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；
（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；
（3）△A′B′C′的面积为6．
【例8】如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.
（1）把三角形ABC向左平移6个单位长度，则点A的对应点A1的坐标是（ ， ），点B的对应点B1的坐标是（ ， ），点C的对应点C1的坐标是（ ， ），在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）把三角形ABC向下平移5个单位长度，则点A的对应点A2的坐标是（ ，-2），点B的对应点B2的坐标是（ ， ），点C的对应点C2的坐标是（ ， ），在图中画出平移后的三角形A2B2C2.
【答案】（1）-2；3；-3；1；-5；2
（2）4；3；-4；1；-3
【解析】（1）把三角形ABC向左平移6个单位长度，则点A的对应点A1的坐标是（-2，3），点B的对应点B1的坐标是（-3，1），点C的对应点C1的坐标是（-5，2），在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）把三角形ABC向下平移5个单位长度，则点A的对应点A2的坐标是（4，-2），点B的对应点B2的坐标是（3，-4），点C的对应点C2的坐标是（1，-3），在图中画出平移后的三角形A2B2C2.
【基础训练】
1．将点A（﹣2，3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（1，7） B．（1．﹣1）
C．（﹣5，﹣1） D．（﹣5，7）
【答案】D
【解析】∵点A（﹣2，3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到点A′，
∴点A′的横坐标为﹣2﹣3＝﹣5，纵坐标为3+4＝7，
∴A′的坐标为（﹣5，7）.
故答案为：D.
2．点B的坐标为（4，﹣5），直线AB平行于x轴，那么A点坐标有可能为（ ）
A．（4，﹣3） B．（3，5）
C．（﹣4，3） D．（﹣3，﹣5）
【答案】D
【解析】点B的坐标为（4，﹣5），直线AB平行于x轴，
∴点A的纵坐标和点B的纵坐标相等，
∴点A的坐标可能是（﹣3，﹣5）.
故答案为：D.
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．(-3，2) B．（2，-3） C．（1，-2） D．（-1，2）
【答案】B
【解析】点A的坐标是（﹣2，3），向右平移4个单位长度后的坐标为（2，3），再关于x轴对称的坐标为（2，-3），
故答案为：B．
4．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标为 ．
【答案】（1，-2）
【解析】∵ 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点B，
∴点B（3-2，-6+4）即（1，-2）.
故答案为：（1，-2）
5．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是 .
【答案】（2，1）
【解析】∵左眼A的坐标是（-2，3），右眼B的坐标为（0，3），
∴嘴唇C的坐标是（-1，1），
∴将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（2，1）.
故答案为：（2，1）.
6．在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为 ．
【答案】（-1，4）
【解析】将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），
∴点P的坐标为（-3+2，1+3），即（-1，4），
故答案为：（-1，4）．
7．A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为（1，a）、（b，6），则= ．
【答案】1
【解析】由题意可得线段AB向左平移1个单位，向上平移了4个单位，
∵A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），
∴点A1、B1的坐标分别为（1，4），（-1，6），
∴a=4，b＝-1，
∴=（-1）4=1
故答案为：1．
8．把点 向上平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为 ．
【答案】-0.5
【解析】点A（a+2，a-1）向上平移3个单位，得
（a+2，a-1+3）．
由所得的点与点A关于x轴对称，得
a-1+（a-1+3）=0，
解得a=-0.5，
故答案是：-0.5．
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别为，，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到点、、分别为点A、B、C移动后的对应点．
（1）请直接写出点、、的坐标；
（2）请在图中画出三角形，并直接写出的面积．
【答案】（1）解：根据题意知，点 的坐标为 ）、 的坐标为 、 的坐标为 ；
（2）解：如图所示， 即为所求，
．
10．如图所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（7，1），C（4，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1．试求出A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）解：△ABC的面积为：
7×5﹣ ×5×4﹣ ×4×3﹣ ×7×1=15.5
（2）解：∵A（0，0），B（7，1），C（4，5），
∴将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，
得A1（0+2，0+1），B1（7+2，1+1），C1（4+2，5+1），
即：A1（2，1），B1（9，2），C1（6，6）．
11．如图，中，、、，是向右平移个单位向上平移个单位之后得到的图象．
（1）、两点的坐标分别为 、 ；
（2）作出平移之后的图形；
（3）求的面积．
【答案】（1）（3，5）；（1，2）
（2）解：同理可得（4，1），如图所示，即为所求；
（3）解：的面积为：3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3=．
【解析】（1）∵平移的方向为向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度，、，
∴、两点的坐标分别为（3，5），（1，2）．
故答案为（3，5），（1，2）；
12．三角形ABC与三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图：
（1）分别写出下列各点的坐标：A' ； B' ；C' ；
（2）三角形A'B'C'由三角形ABC经过怎样的平移得到？ ；
（3）若点P（a，b）是三角形ABC内部一点，则平移后三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标为 ；
（4）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）(-3，1)；(-2，-2)；(-1，-1)
（2）三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的.
（3）(a－4，b－2)
（4）解：S△ABC＝2×3－ ×1×3－ ×1×1－ ×2×2＝2
【解析】 (1)根据图形得，A'(－3，1)；B'(－2，－2)；C'(－1，－1)；
(2)三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的.
(3)向左平移4个单位长度，即a-4，向下平移2个单位，即b-2.所以P'(a－4，b－2)
【培优训练】
13．点向上平移2个单位后与点关于y轴对称，则（ ）.
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】把向上平移2个单位后得到点 ，
∵点与点关于y轴对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴，
故答案为：D.
14．将点向上平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵将点P（2m+3，m-2）向上平移2个单位得到P′，
∴P′的坐标为（2m+3，m），
∵P′在x轴上，
∴m=0，
∴点P的坐标是（3，-2）．
故答案为：A．
15．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】①A（-1，-1）平移后得到点的坐标为（3，-1），
∴向右平移4个单位，
∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2），即（5，2）；
①B（1，2）平移后得到点的坐标为（3，-1），
∴向右平移2个单位，向下平移3个单位，
∴A（-1，-1）的对应点坐标为（-1+2，-1-3），即（1，-4）；
综上，另一端点的坐标为（1，-4）或（5，2）．
故答案为：C．
16．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵点A（2，-1），点A1（-2，3）∴-2-2=-4，3-（-1）=4，即从A到A1需要向左平移4个单位，再向上平移4个单位，∴D1的坐标为（x-4，y+4）。
故答案为：C.
17．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】过点作轴于点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在，，
∴，
点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点．
故答案为：A．
法二：
由等面积可知：CC’’=
∴向右平移
∴C’
故答案为：A．
18．已知△A′B′O′是由△ABO平移得到的，点A的坐标为（﹣1，2），它的对应点A'的坐标为（3，4），△ABO内任意一点P（a，b）平移后的对应点P'的坐标为 ．
【答案】(a+4，b+2)
【解析】∵△A′B′O′是由△ABO平移得到的，点A的坐标为（﹣1，2），它的对应点A′的坐标为（3，4），
∴△ABO平移的规律是：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴△ABO内任意点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标为（a+4，b+2）．
故答案为：（a+4，b+2）．
19．在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点的坐标是 ．
【答案】（0，-2）
【解析】设点A（x，y），
设点A、C关于原点O中心对称，
∴点C（-x，-y），
∵ 将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合
∴C（x+4，y+10），
∴-x=4+x，-y=y+10，
∴x=-2，y=-5，
把中心点O平移到点B的位置，其平移规则是向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴A点的坐标也作相同的平移，
∴A（-2+2，-5+3），即A（0，-2）.
故答案为：（0，-2）.
20．如图，将线段平移到线段的位置，则的值为 ．
【答案】4
【解析】∵线段AB平移得到CD，D（-4，b），B（-1，-2），C（a，6），A（5，2），
∴平移步骤为：先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，
∴b=-2+4=-2，a=5-3=2，
∴a+b=2+2=4.
故答案为：4.
21．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由得到的过程 ．
【答案】把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到（答案不唯一）
【解析】把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到，
故答案为：把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到（答案不唯一）．
22．已知点A、B在同一平面直角坐标系中，点的坐标为的坐标为，且线段AB的长为7，则 .
【答案】-6或8
【解析】∵xA=xB，
∴AB∥y轴
∵AB=7，
∴yA-yB=7或yB-yA=7
即1-yB=7或yB-1=7
∴yB=-6或yB=8.
所以本题答案为-6或8.
23．第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】当P点落在x轴上，Q点落在y轴上时，
n=0，m=0
此时P点的坐标为（-3，0），
当P点落在y轴上，Q点落在x轴上时，
m-3=0，m=3
n-2=0，n=2
此时P点的坐标为（0，2）。
综上所述：P点的坐标为（-3，0）或（0，2）
故填：（-3，0）或（0，2）
24．九年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位.设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m－i，n－j]，并称a＋b为该生的位置数.若某生的位置数为9，则当m＋n取最小值时，m·n的最大值为 .
【答案】30
【解析】由题意得a+b=m-i+n-j=9，
则m+n=9+（i+j），
∵m、n、i、j表示行数与列数，
∴当i=j=1时，m+n取最小值11，
此时n=11-m，
∴m n=m（11-m），
又m=1，2，3，4，5，6.
则m=1时，m n=10；m=2时，m n=18；m=3时，m n=24；m=4时，m n=28；m=5时，m n=30；m=6时，m n=30.
则m n的最大值是30.
故答案为：30.
25．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为(x，y)，则把坐标为(kx+y，x-ky)的Q点称为点P的k阶点(其中为正整数).例如：点的2阶点为点即.
（1）若点的3阶点为点，求点的坐标；
（2）若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）解：由题意得：
即
即
在第一象限
解得：
的取值范围为
26．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，，
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；（2）①画出三角形；
②求出三角形的面积；
（3）点是轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标 ．
【答案】（1）（-2，5）；（-6，3）
（2）解：①如图，三角形即为所求；
②三角形的面积；
（3）或
【解析】（1），．
故答案为：，；
（3）设，
由题意，，
或．
或，
故答案为：或．
27．平面直角坐标系中， 为原点，点 ， ， .
（1）如图①，则三角形 的面积为 ；
（2）如图②，将点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点 .
①求 的面积；
②点 是一动点，若三角形 的面积等于三角形 的面积.请直接写出点 坐标.
【答案】（1）6
（2）解：①∵点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点
∴ ，连接 .
.
②∵三角形 的面积等于三角形 的面积
∴ ，
解得 ，
∴ 或 .
【解析】（1）∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ .
28．综合与实践
如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段AB向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段CD，连接，分别与y轴交于点E，F，点P为y轴上一点，连接．
（1）如图1，直接写出点C与点D的坐标：C（ ），D（ ）
（2）如图1，当点P在线段EF上时，求证：．
（3）①如图2，当点P在点E的上方时，直接写出、、的数量关系： ；
②如图3，当点P在点F的下方时，直接写出、、的数量关系： ．
【答案】（1）（2，2）；（2，-2）
（2）证明：过点P作交CD于点M，则，
∵线段平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【解析】（1）∵线段AB向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段CD，A（-3，4），B（-3，0），
∴C（2，2），D（2，-2）.
故答案为：（2，2）；（2，-2）；
（3）①过P作PM∥AC交CD于点M，则∠ACP=∠CPM.
∵线段AB平移得到线段CD，
∴BD∥AC，
∴PM∥BD，
∴∠BDP=∠MPD，
∴∠BDP=∠DPM=∠CPM+∠CPD=∠CPD+∠ACP.
②过P作PM∥AC交CD于点M，则∠ACP=∠CPM.
∵线段AB平移得到线段CD，
∴∴BD∥AC，
∴PM∥BD，
∴∠BDP=∠MPD，
∴∠ACP=∠CPM=∠CPD+∠DPM=∠CPD+∠BDP.
【直击中考】
29．在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵ 把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，
∴B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，∴m+1=2+3，∴m=3.
故答案为：C.
30．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1）.
故答案为：D.
31．如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
32．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】将点M（3，-4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（-2，-4）.
故答案为：（-2，-4）.
33．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【答案】（1，3）
【解析】∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（﹣4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
34．如图，在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度得到点 ，则点 关于 轴的对称点 的坐标是 .
【答案】（1，-2）
【解析】∵点A（-1，2）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，2）.
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（1，-2）.
故答案为：（1，-2）
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移（2）
【知识重点】
一、“图形平移与点的坐标变化”之间的关系（其中h>0）：
1.左右平移时：向左平移h个单位（a,b）→(ah,b)；向右平移h个单位（a,b）→(ah,b)
2.上下平移时：向上平移h个单位（a,b）→(a,bh)；向下平移h个单位（a,b）→(a,bh)
二、“点的坐标变化与图形平移”之间的关系（由坐标的变化推断图形如何平移，其中a、b为正数）
1.横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点(x,y)变为(xa,y)，则图形向 平移 个单位；
原图形上的点(x,y)变为(xa,y)，则图形向 平移 个单位.
2. 纵坐标变化，横坐标不变：
原图形上的点(x,y) 变为(x,yb)，则图形向 平移 个单位；
原图形上的点(x,y) 变为(x,yb)，则图形向 平移 个单位.
三、坐标系内平移的规律:
1.左、右平移纵坐标不变，横坐标变，变化规律是右加左减；上下平移横坐标不变，纵坐标变，变化规律是上加下减.
2.在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变，沿y轴平移横坐标不变．例如: 当p(x ,y)向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后坐标为p′(xa ,yb).
【经典例题】
【例1】将点先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2】在平面直角坐标系中，点平移后与原来的位置关于轴对称，则应把点A（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位
【例3】在平面直角坐标系中，点P（2，3）先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标为（ ）
A．（5，7） B．（-1，-1） C．（-1，1） D．（5，-1）
【例4】点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为
【例5】在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（ 2， 3），则点B（ 2，3）的对应点B'的坐标为 ．
【例6】若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 .
【例7】如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．
（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；
（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；
（3）请直接写出△A′B′C′的面积．
【例8】如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.
（1）把三角形ABC向左平移6个单位长度，则点A的对应点A1的坐标是（ ， ），点B的对应点B1的坐标是（ ， ），点C的对应点C1的坐标是（ ， ），在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）把三角形ABC向下平移5个单位长度，则点A的对应点A2的坐标是（ ，-2），点B的对应点B2的坐标是（ ， ），点C的对应点C2的坐标是（ ， ），在图中画出平移后的三角形A2B2C2.
【基础训练】
1．将点A（﹣2，3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（1，7） B．（1．﹣1）
C．（﹣5，﹣1） D．（﹣5，7）
2．点B的坐标为（4，﹣5），直线AB平行于x轴，那么A点坐标有可能为（ ）
A．（4，﹣3） B．（3，5）
C．（﹣4，3） D．（﹣3，﹣5）
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．(-3，2) B．（2，-3） C．（1，-2） D．（-1，2）
4．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标为 ．
5．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是 .
6．在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为 ．
7．A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为（1，a）、（b，6），则= ．
8．把点 向上平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别为，，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到点、、分别为点A、B、C移动后的对应点．
（1）请直接写出点、、的坐标；
（2）请在图中画出三角形，并直接写出的面积．
10．如图所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（7，1），C（4，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1．试求出A1、B1、C1的坐标．
11．如图，中，、、，是向右平移个单位向上平移个单位之后得到的图象．
（1）、两点的坐标分别为 、 ；
（2）作出平移之后的图形；
（3）求的面积．
12．三角形ABC与三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图：
（1）分别写出下列各点的坐标：A' ； B' ；C' ；
（2）三角形A'B'C'由三角形ABC经过怎样的平移得到？ ；
（3）若点P（a，b）是三角形ABC内部一点，则平移后三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标为 ；
（4）求三角形ABC的面积．
【培优训练】
13．点向上平移2个单位后与点关于y轴对称，则（ ）.
A．1 B． C． D．
14．将点向上平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
16．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
18．已知△A′B′O′是由△ABO平移得到的，点A的坐标为（﹣1，2），它的对应点A'的坐标为（3，4），△ABO内任意一点P（a，b）平移后的对应点P'的坐标为 ．
19．在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点的坐标是 ．
20．如图，将线段平移到线段的位置，则的值为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由得到的过程 ．
22．已知点A、B在同一平面直角坐标系中，点的坐标为的坐标为，且线段AB的长为7，则 .
23．第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
24．九年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位.设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m－i，n－j]，并称a＋b为该生的位置数.若某生的位置数为9，则当m＋n取最小值时，m·n的最大值为 .
25．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为(x，y)，则把坐标为(kx+y，x-ky)的Q点称为点P的k阶点(其中为正整数).例如：点的2阶点为点即.
（1）若点的3阶点为点，求点的坐标；
（2）若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围.
26．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，，
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）①画出三角形；
②求出三角形的面积；
（3）点是轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标 ．
27．平面直角坐标系中， 为原点，点 ， ， .
（1）如图①，则三角形 的面积为 ；
（2）如图②，将点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点 .
①求 的面积；
②点 是一动点，若三角形 的面积等于三角形 的面积.请直接写出点 坐标.
28．综合与实践
如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段AB向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段CD，连接，分别与y轴交于点E，F，点P为y轴上一点，连接．
（1）如图1，直接写出点C与点D的坐标：C（ ），D（ ）
（2）如图1，当点P在线段EF上时，求证：．
（3）①如图2，当点P在点E的上方时，直接写出、、的数量关系： ；
②如图3，当点P在点F的下方时，直接写出、、的数量关系： ．
【直击中考】
29．在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
30．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
34．如图，在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度得到点 ，则点 关于 轴的对称点 的坐标是 .
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