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专题3.8 弧长及扇形面积
模块1：学习目标
1、理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积；
2、经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
3、通过弧长及扇形面积公式解诀实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。
模块2：知识梳理
1、扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2、弧长公式
半径为R的圆中：360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
3、扇形面积公式
半径为R的圆中：360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
4、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积， 圆锥的全面积.
注意：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
模块3：核心考点与典例
考点1. 弧长的计算
例1．1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，四边形内接于，是延长线上一点，如果的半径为，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、，由圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理得出，再由弧长公式即可求出的长．
【详解】解∶连接、，如图所示∶
∵四边形内接于，∴，
∴，∴的长．故选∶ D．
【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
变式1．（2023·吉林长春·统考一模）如图，所对的圆心角为，半径为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵所对的圆心角为，半径为2，∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式（n是圆心角的度数）．
变式2．（2023·河南信阳·校考三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为 ．
【答案】2π
【分析】先证明是等腰直角三角形，从而得到，，进而得到是的直径，半径，由三角形内角和定理可得，从而得到，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，
，
小正方形的边长为1，，，由勾股定理可得：，
，
是等腰直角三角形，，，
是的直径，半径，，
，，
，，
的长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、求弧长，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．
变式3．（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．
【答案】
【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，
故前五个正方形内形成的曲线的长度是：，故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长．
考点2. 利用弧长或面积公式求半径
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
【答案】3
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【详解】解：设扇形的半径是，则解得：．故答案为．
【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的弧长，则扇形半径是 ．
【答案】18
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长，解得．故答案为：
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是利用弧长公式计算弧长．
变式2．（2022秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是 cm．
【答案】4
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径即为母线长；
【详解】设圆锥的母线长为R，即其侧面展开图的半径为R，
根据题意得：解得: 故答案为：4
【点睛】本题考查了圆锥的有关计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长及熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答本题的关键．
变式3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm．
【答案】4
【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．
【详解】解：扇形的弧长为，解得，，故答案为：4．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．
考点3. 计算扇形面积
例3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知扇形的弧长是，圆心角为120°，则该扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据弧长和圆心角求出半径，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵扇形的弧长是，圆心角为120°，
∴，解得，，
该扇形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长和扇形面积，解题关键是熟记弧长公式和扇形面积公式．
变式1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，下周三十步，径十六步，即弧长步，其所在圆的直径是步，则面积为 平方步．
【答案】
【分析】先计算出所在圆的半径，根据扇形的面积计算公式即可求解．
【详解】解：∵圆的直径是步，∴圆的半径为步，
∵扇形的田，弧长步，∴这块田的面积（平方步），故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算方法，掌握扇形面积的计算公式（是弧长，是所在圆的半径）是解题的关键．
变式2．（2023秋·湖北·九年级专题练习）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：
，解得：，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．
考点4. 利用弧长或面积公式求半径
例4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是，
∴，即，解得：，
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
变式1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
由题意得，，解得，，故答案为：90．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．
变式2．（2023·湖南永州·中考真题）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度．
【答案】60
【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为，，
扇形的半径为6，．故答案为：60．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ．
考点5. 计算弓形的面积
例5．（2023秋·湖南·九年级专题练习）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，
则，∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
又，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴∠，∴∠，
∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
变式1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
∵是的直径，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，
∴，故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米,米，则阴影部分的面积为（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
【答案】B
【分析】设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E，
由题意可得出：，∴是的直径，
∵米，米，∴，米，
∴，∴米，
∵，∴，∴，
∴平方米，
∴阴影部分的面积为：平方米．∴故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．
考点6. 计算不规则图形的阴影部分面积
例6．（2021·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．
【详解】解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，很显然，
①若∠BCP=90°，则CP=BC=2 这C作CE⊥AD,交AD于点E，
∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°
∴CE=CDsin∠D=2 ∴点P在菱形ABCD的外部，
∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；
②∠BPC=90° 过P作PF⊥BC交BC于点F，
∵△BPC是等腰直角三角形，∴PF=BF=BC=1 ∴P(1,1)，F(1,0)
过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ABG中，∠ABG=60°
∴∠BAG=30°∴BG=，AG=
∴A， ∴点F与点G重合∴点A、P、F三点共线
∴ ∴
∴ 故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差.
【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形
作，则
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键
变式2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在的直线与交于点若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，根据，弓形的面积为弓形的面积，所以．
【详解】解：连接，，直线与交于点，如图所示，
扇形中，，，
点与圆心重合，，，，
，是等边三角形，，
，，
，，，，
弓形的面积弓形的面积，．故选：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式3．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，然后根据题目中的数据，计算出的面积即可．
【详解】解：连接，作于点D，
根据对称性可知，弓形与弓形面积相等，
∴阴影部分的面积的面积，根据垂径定理，∴
∵，，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴
∵点O是的中点，∴的面积是的面积一半，
∴的面积是：，
即阴影部分的面积是，故选：C．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积、垂径定理、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点7. 旋转过程中扫过的路径或面积
例7．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接、，
由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，
∵，，，，
∴点A翻滚到位置时共走过的路径长，故选：B．
【点睛】本题考查弧长公式，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质．
变式1．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为
【答案】
【详解】由勾股定理得矩形的对角线长为10，从到是以点为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，利用弧长公式即可求出顶点经过的路线长．
【分析】由勾股定理得矩形的对角线长为10，
从到，，路线长为；从到，，路线长为；
从到，，路线长为；所以总长为．故填空答案：．
【点睛】本题主要考查圆的弧长公式，准确找到旋转得到的弧是解题的关键．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．如果，．请回答：
（1）点的坐标为 ．（2）点经过的路径的长度为 ．（友情提示：已经有）
【答案】 2
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可得到点的坐标；
（2）由旋转的性质可得，，再由弧长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意画出图如图所示：
，
，的坐标为，的坐标为，故答案为：；
（2）由旋转的性质可得：，，
点经过的路径的长度，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、利用弧长公式进行计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
考点8. 圆锥的计算
例8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等，即可．
【详解】设圆锥底面圆半径为，∴底面圆的周长为：，
∵圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，
∴扇形的弧长为：，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查圆锥和扇形的相关计算，解题的关键是掌握圆锥展开图的弧长等于底面圆的周长，弧长公式：．
变式1．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期末）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15 B．12π C．15π D．30π
【答案】C
【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥侧面积为，故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式2．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长进行求解即可．
【详解】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为、，由题意得，
∵扇形面积为，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了求圆锥底面圆周长，熟知圆锥底面圆周长是其展开图得到的扇形的弧长是解题的关键．
变式3．（2023·浙江·九年级专题练习）若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】
【分析】设此圆锥的母线长为，先求出圆锥的底面周长为，再由圆锥的侧面积公式底面周长×母线长，即可得到答案．
【详解】解：设此圆锥的母线长为，
底面半径为，底面周长为，，解得：，
即此圆锥的母线长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是掌握圆锥的侧面积公式：，其中为圆锥的底面半径，为母线长．
变式4．（2023·云南楚雄·统考三模）如图（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图（2）所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关系为 ．
【答案】
【分析】根据扇形的弧长等于圆的周长可得所求的关系．
【详解】解：∵扇形的弧长，圆的周长为，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】考查圆锥的计算；掌握圆锥的底面周长和侧面展开图的弧长相等是解决本题的关键．
变式5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，圆锥的母线，侧面展开图是半圆，则圆锥体的高 ．
【答案】
【分析】由题意可知，侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，且侧面展开图的圆周角为，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：由题意可知，侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，且侧面展开图的圆周角为，
，
，，由勾股定理得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，理解题意，得出侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题关键．
考点9. 利用弧长公式求最值
例9．（2023·河南驻马店·一模）如图，以为直径作为圆周上的点，，若点为垂直平分线上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据CD固定求出PC+PD最小时阴影部分周长的最小，再利用对称性即可求最小值.
【详解】解：∵长为定值∴当PC+PD最小时阴影部分周长的最小.
如图,连接BD，BD 与MN的交点,即为点P．
∵ ，∴ ∠BAD = 120°．∵ AB=AD =1，∴∠ABD =∠ADB = 30°，
过点A作AE上BD于点E，在Rt△ABE中， BE= AB · cos30° = ∴BD=2BE=，
∵MN是BC的垂直平分线，∴BP= PC，
∴PC +PD = BP + PD = BD =，即PC +PD的最小值为，连接OD，
∵∠ABC = 60°，∠ABD = 30°，∴∠DBC = 30°∴∠DOC =60°
∴ OD=OC=1，∴∴阴影部分周长的最小值为
【点睛】本题考查圆中弧长计算，解题的关键是看出PC+PD最小时阴影部分周长的最小.
变式1．（2022·河南南阳·统考一模）如图，在⊙O中，AB为其直径，EF为AB上一线段（点F在点E的左侧），AB=2EF=8，点D、C在AB上方的半圆上，且，，连接DF和CE，则图中阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】2π+4+4
【分析】取的中点M，连接AD，DM，BM，OC，OD，OM，作点C关于AB的对称点C’，连接C’O，C’M，C’M交AB于点E，根据，，得到，，的度数都是60°，的度数是30°，根据弧、圆心角、弦之间的关系得MD=AD=MB=AB，DM∥AB，根据EF=AB，得到MD=EF，推出四边形DMEF为平行四边形，得到DF=ME，根据阴影部分的周长为DF+EF+CE+，且和EF为定长，推出阴影部分的周长最小，即DF+CE最小，根据DF=ME，推出周长最小时ME+CE最小，根据对称性得到EC=EC'，推出ME+EC=ME+EC'≥MC'，ME+CE的最小值为MC'的长，∵根据∠MOC'=∠BOM+∠BOC'=60°+30°=90°，OM=OC'，推出△MOC'为等腰直角三角形，得到MC'=OM=4．根据∠COD=∠BOD-∠BOC=120°-30°=90°，得到的长为，得到阴影部分周长的最小值为2π+4+4．
【详解】如图，取的中点M，连接AD，DM，BM，OC，OD，OM，作点C关于AB的对称点C’，连接C’O，C’M，C’M交AB于点E，
∵，，∴==，度数都是60°，的度数是30°，
∴MD=AD=MB，∠AOD=∠DOM=∠MOB=60°，∠COB=30°，
∵OD=OM，∴△ODM是等边三角形，∴DM=OD，∠OMD=60°，
∴MD=AB，∠OMD=∠MOB，∴DM∥AB，
又EF=AB，∴MD=EF，∴四边形DMEF为平行四边形，∴DF=ME，
∵阴影部分的周长为DF+EF+CE+，且和EF为定长，
∴阴影部分的周长最小时，DF+CE最小，
又DF=ME，∴阴影部分的周长最小时ME+CE最小，由对称性可知，EC=EC'，
∴ME+EC=ME+EC'≥MC'，即ME+CE的最小值为MC'的长，∵∠MOC'=∠BOM+∠BOC'=60°+30°=90°，OM=OC'，∴△MOC'为等腰直角三角形，∴MC'=OM=4．
∵∠COD=∠BOD-∠BOC=120°-30°=90°，∴的长=，
∴阴影部分周长的最小值为2π+4+4．
【点睛】本题主要考查了圆弧、圆心角、弦之间的关系定理，平行四边形的判定和性质定理，等边三角形的判定和性质定理，用轴对称求几条线段和的最小值，勾股定理，弧长公式，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握这些定理、公式、和方法．
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）如图，，以为圆心，为半径作弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，为上一动点，连接，．
(1)的度数是 ．(2)阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】 /度
【分析】先求出的长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则 ，此时，的最小值 ，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：平分，
，的长，
作点关于的对称点，连接交于点，连接，则 ，此时，的最小值 ，
， ，
，是等边三角形，，
阴影部分周长的最小值，故答案是：；．
【点睛】本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造的最小值为的长是解题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·九年级专题练习）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可
【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，，解得，故选B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据弧长求得半径，然后由扇形的圆心角和半径长，直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，弧长为，
∴,∴,∴扇形的面积是，故选：A．
【点睛】本题考查了弧长公式与扇形面积公式，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．
3．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可求出底面圆的周长，根据圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算公式（扇形的弧长乘以扇形的半径），由此即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，，，点到底面圆的高为，
∴底面的周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形的面积为，故选：．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算方法，理解圆锥侧面展开图，掌握圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算方法是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
【答案】A
【分析】设米堆底部的扇形半径为，则由米堆底部的弧长为8尺，先根据圆的弧长公式列出方程，求出该米堆的底面半径，再根据三角形的面积公式，即可求出这个米堆遮挡的墙面面积．
【详解】解：设米堆底部的扇形半径为，则由米堆底部的弧长为8尺，，解得，∴这个米堆遮挡的墙面面积为（平方尺），故选：A．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的底面半径，解题的关键是正确理解题意，得出该米堆底面为圆的，遮挡的墙面为两个三角形．
5．（2022 黔西南州九年级期中）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（ ）
A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
【思路点拨】先求出OC，再根据弧长公式计算即可．
【答案】解：∵OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，
∴OC＝OA﹣AC＝12cm，
又OA和OB的夹角为150°，
∴的长为：＝10π（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．
6．（2022 河南九年级模拟）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
【思路点拨】圆心角之和等于五边形的内角和（5﹣2）×180°＝540°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【答案】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°，
则五个阴影部分的面积之和＝＝6π．故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
7．（2022 鄂温克族自治旗二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的 ODCE的顶点C在上，若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（ ）（结果保留π）
A．25π﹣48 B．15π﹣48 C．24π﹣24 D．25π﹣24
【思路点拨】连接OC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到 ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：如图，连接OC，
∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴ ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．
∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，
∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，可推出是边长为2的等边三角形，进一步可得，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由折叠可知：
∵∴是边长为2的等边三角形
∴∴∴也是边长为2的等边三角形
∵∴
∵∴∴
∵∴故选：A
【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出是解题关键．
9．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，则，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点C关于OB对称点点A，连接AD与OB的交点即为E，此时CE+ED最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD的长，由弧长公式求出弧CD的长．
【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+的长，由于C和D均为定点，E为动点，故只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A，连接DA，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：
∵A、C两点关于OB对称，∴CE=AE，∴CE+DE=AE+DE=AD，
∵OD平分∠COB，∠COB=60°，∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，
在Rt△ODA中，，的长为，
∴阴影部分周长的最小值为，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】先求解，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由作图知：垂直平分，
∵，∴，
∵扇形的半径是1，∴的长．故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】连接，，，，根据，是等边三角形，则，推出，根据弧长公式：，即可．
【详解】连接，，，，∴，
∴，是等边三角形，∴，∴，
∵，∴的长为：，故答案为：．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，得到圆心角，弧长公式：．
13．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
【答案】/210度
【分析】用圆的周长减去已知扇形弧长，求出另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角为，利用弧长公式求解．
【详解】解：∵圆的周长为，∴另一个扇形的弧长为，
设另一个扇形的圆心角为，根据弧长公式得，解得，
即另一个扇形的圆心角度数为．故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的圆心角、弧长，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
14．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，是的内接三角形，直径．求图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】首先连接, 由直径,易得, 继而求得 ， 然后由求得答案．
【详解】连接,
∵是直径,∴,∴，
∴,∴是等腰直角三角形，且
．故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及扇形的面积.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
15．（2023·河南洛阳·校联考一模）如图1所示，半圆O的直径长度为6，半径，则所得图形中重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、，作于点D，弧和以及围成的阴影部分的面积是，即可求得弧和以及围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积是弧和以及围成的阴影部分的面积的2倍，即可求得．
【详解】解：连接、，作于点D．
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，
∵∴，∴，
∴，
∴弧和BD以及围成的阴影部分的面积是，
则．故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的判定与性质，正确理解不规则的
16．（2023·河南郑州·校考三模）如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，将沿折叠得到，为点D关于对称时对称点E的轨迹， 当线段的长度最短时，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】先确定点E的运动轨迹，可知当点A，E，C三点共线时，的长最短，再求出，进而求出，，然后根据矩形的性质和折叠的性质可求，最后根据得出答案．
【详解】由折叠的性质知，点P从点D对称到点E的过程中，，
∴点E的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆弧，
∴当点A，E，C三点共线时，的长最短，
如图，在矩形中，，，可知，，
∴，在中，，
∴，∴．由矩形的性质和折叠的性质可知，，
∴，∴，∴．
则．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求阴影部分的面积，求扇形面积，勾股定理等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和（差）是解题的关键．
17．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式求得展开侧面弧长所对应的圆心角，进而通过勾股定理即可求解；
【详解】解：将原圆锥体侧面展开如下，则蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程为；
∵，∴，过点A作，
∵∴，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查弧长公式的应用及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
18．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，，．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD，求出AC的长即可．
【详解】解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，
∵AD∥BC，AB=CD=AD=2，∴，∴∠ABC=2∠ACB，
∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∠ABC=60°，
∴AC=AB=，所以阴影部分周长的最小值为AC+CD=，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
【答案】(1)，(2)见解析(3)
【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；（2）以点为圆心，2为半径画弧，即可得出；
（3）根据弧长公式求出，根据平移的性质得出，根据勾股定理求出，最后相加即可．
【详解】（1）解：∵，所在圆的圆心为，
∴，所在圆的圆心坐标是，故答案为：，；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：连接，∵，，∴的半径为2，∴，
∵将向右平移5个单位，得到，∴，∴，
∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，求弧长，勾股定理，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式，以及勾股定理的内容．
20．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是
(1)将平移，使点B平移到，画出平移后的，此时线段的长度为 ；
(2)画出绕坐标原点O逆时针旋转后的，那么在旋转过程中点C走过的路径长为 ．
【答案】(1)见解析,(2)
【分析】(1)根据平移坐标为，得到向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，确定A，C的平移后坐标，画图形即可，利用两点间的距离公式计算即可．
(2)根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）∵平移坐标为，
∴向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，
∵，，∴，，画图如下，
则即为所求；
∵，，∴，故答案为：．
（2）根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，
故运动路径长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平移规律，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，熟练掌握平移规律是解题的关键．
21．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）在下列三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位．格点的位置如图所示．
(1)线段的长是 ；(2)将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出和；(3)求线段在整个运动过程中扫过的面积．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根据图形平移的规律，图像旋转的定义作出图形即可；
（3）利用平行四边形的面积公式，扇形的面积公式求解．
【详解】（1）解：三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位，
∴如图所示，是等边三角形，，，过点作于点，
∴在中，，，∴，
在中，，∴．
（2）解：将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，如图所示，
∴，即为所求图形．
（3）解：向右平移单位长度得到，线段扫过的面积为，过点作的延长线于点， 绕点顺时针旋转得到，线段扫过的面积为，且扇形的圆心角为，半径为的扇形，如图所示，
∴在中，，，∴，
∴，∵绕点顺时针旋转，
∴，，∴，
∴线段在整个运动过程中扫过的面积为．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2023·江苏南通·一模）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．(1)求的长；(2)计算图中阴影部分的面积．
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答；
（2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答．
【详解】（1）解：作于点E，连接，
，，，，，
，，∴，；
（2）解：，，，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
23．（2022 盐城九年级期末）学校花园边墙上有一宽（BC）为2m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC长为4m，为美化校园，现准备打掉地面BC上方的部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，）
【思路点拨】要打掉墙体的面积是圆的面积减矩形面积减扇形OBC的面积加上三角形OBC的面积．
【答案】解：在Rt△ABC中，
∵AC＝4m，BC＝2m．∴∠BAC＝60°，AB＝2（m）．
∴∠BCO＝30°，∴∠BOC＝120°，
∴要打掉的墙体的面积＝S圆O﹣S矩形ABCD﹣S扇形OBC+S△OBC
＝S圆O﹣S矩形＝ π 22﹣×2×2＝（﹣3）（m2）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形、矩形、三角形、圆的面积公式及勾股定理的使用．
24．（2022 运城九年级模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
【思路点拨】（1）根据垂径定理求得PD⊥AB，然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA＝2OD，进而求得OF＝OP，根据三角形中位线的性质求得OD＝BC，从而求得OA＝2，然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长；（2）求得OF和PF，然后根据S阴影＝S扇形﹣S△OPF即可求得．
【答案】解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，∴PD⊥AB，
∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，
∵PF⊥AC，∴∠OPF＝30°，∴OF＝OP，
∵OA＝OC，AD＝BD，∴BC＝2OD，∴OA＝BC＝2，
∴⊙O的半径为2，∴劣弧PC的长＝＝＝π；
（2）∵OF＝OP，∴OF＝1，∴PF＝＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键
25．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，∵，则，
∴，
∵正方形，∴，，
∴，∴，
∵，∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，∴，，而，
∴，，
∵，∴，∴，，
∵，∴，
∴，而，∴，
∴，∴，，而正方形的边长，
∴，解得：，∴，
∵，，，∴，
∴，而，∴．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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专题3.8 弧长及扇形面积
模块1：学习目标
1、理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积；
2、经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
3、通过弧长及扇形面积公式解诀实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。
模块2：知识梳理
1、扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2、弧长公式
半径为R的圆中：360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
3、扇形面积公式
半径为R的圆中：360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
4、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积， 圆锥的全面积.
注意：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
模块3：核心考点与典例
考点1. 弧长的计算
例1．1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，四边形内接于，是延长线上一点，如果的半径为，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·吉林长春·统考一模）如图，所对的圆心角为，半径为2，则的长为 ．
变式2．（2023·河南信阳·校考三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为 ．
变式3．（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．
考点2. 利用弧长或面积公式求半径
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的弧长，则扇形半径是 ．
变式2．（2022秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是 cm．
变式3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm．
考点3. 计算扇形面积
例3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知扇形的弧长是，圆心角为120°，则该扇形的面积是 ．
变式1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，下周三十步，径十六步，即弧长步，其所在圆的直径是步，则面积为 平方步．
变式2．（2023秋·湖北·九年级专题练习）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
考点4. 利用弧长或面积公式求半径
例4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
变式1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
变式2．（2023·湖南永州·中考真题）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度．
考点5. 计算弓形的面积
例5．（2023秋·湖南·九年级专题练习）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米,米，则阴影部分的面积为（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
考点6. 计算不规则图形的阴影部分面积
例6．（2021·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在的直线与交于点若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
考点7. 旋转过程中扫过的路径或面积
例7．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．如果，．请回答：
（1）点的坐标为 ．（2）点经过的路径的长度为 ．（友情提示：已经有）
考点8. 圆锥的计算
例8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期末）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15 B．12π C．15π D．30π
变式2．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·浙江·九年级专题练习）若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
变式4．（2023·云南楚雄·统考三模）如图（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图（2）所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关系为 ．
变式5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，圆锥的母线，侧面展开图是半圆，则圆锥体的高 ．
考点9. 利用弧长公式求最值
例9．（2023·河南驻马店·一模）如图，以为直径作为圆周上的点，，若点为垂直平分线上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
变式1．（2022·河南南阳·统考一模）如图，在⊙O中，AB为其直径，EF为AB上一线段（点F在点E的左侧），AB=2EF=8，点D、C在AB上方的半圆上，且，，连接DF和CE，则图中阴影部分周长的最小值为 ．
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）如图，，以为圆心，为半径作弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，为上一动点，连接，．
(1)的度数是 ．(2)阴影部分周长的最小值为 ．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·九年级专题练习）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．32
2．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
5．（2022 黔西南州九年级期中）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（ ）
A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
6．（2022 河南九年级模拟）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
7．（2022 鄂温克族自治旗二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的 ODCE的顶点C在上，若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（ ）（结果保留π）
A．25π﹣48 B．15π﹣48 C．24π﹣24 D．25π﹣24
8．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 （结果保留π）．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
13．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
14．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，是的内接三角形，直径．求图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
15．（2023·河南洛阳·校联考一模）如图1所示，半圆O的直径长度为6，半径，则所得图形中重叠部分的面积为 ．
16．（2023·河南郑州·校考三模）如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，将沿折叠得到，为点D关于对称时对称点E的轨迹， 当线段的长度最短时，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ．
18．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，，．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
20．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是
(1)将平移，使点B平移到，画出平移后的，此时线段的长度为 ；
(2)画出绕坐标原点O逆时针旋转后的，那么在旋转过程中点C走过的路径长为 ．
21．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）在下列三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位．格点的位置如图所示．
(1)线段的长是 ；(2)将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出和；(3)求线段在整个运动过程中扫过的面积．
22．（2023·江苏南通·一模）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．(1)求的长；(2)计算图中阴影部分的面积．
23．（2022 盐城九年级期末）学校花园边墙上有一宽（BC）为2m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC长为4m，为美化校园，现准备打掉地面BC上方的部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，）
24．（2022 运城九年级模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
25．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；(2)若，，求阴影部分的面积．
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