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专题3.9 圆中的全等三角形模型
模块1：知识储备
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型等。
模块2：核心模型与典例
模型1. 燕尾模型
条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可．
【详解】解：由圆的基本性质可知：，，
∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形，
∵和的顶角均为，
∴，，
∴，∴，故B正确；
∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点，
∴不一定等于，故C错误；
在和中，∴，∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键．
例2．（2023·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．
(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）设、交于点G，连接，交圆于点F，即可作答；
（2）连接、，交于点F，延长、，两线交于点E，作直线，交圆于点M、N，即可作答．
【详解】（1）如图，设、交于点G，连接并延长，交圆于点F，线段即为所求；
证明：如图，、交于点Q，、交于点P，连接，交于点H，
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵， ∴，
∵，，∴，∴，，
∴垂直平分弦，∴是圆的直径；
（2）如图，连接、，交于点F，延长、，两线交于点E，作直线，交圆于点M、N，线段即为所求． 证明方法同（1）．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键．
例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．
(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质证明AC＝AD＝CD即可
（2）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（3）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，
（2）△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（3）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
模型2. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，依据，即可得出，进而得到，可得，再根据，即可得到．
【详解】证明：如图，连接，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，又∵，∴．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
例2．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt△OMA，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA．
∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，
∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，∵OC=OA，CN=AM，
∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形．
例4．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【答案】(1)3；(2)证明见解析；
【分析】（1）根据垂径定理得出，然后再根据勾股定理求出结果即可；
（2）连接、，证明，即可得出答案；
概念应用过点作交于，过点作交于，连接，证明四边形是正方形，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：连接，，，，
，，，，故答案为：3；
（2）证明：连接、，，，，
，，，
，，，，；
概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接，
，，，，四边形是正方形，，
，，的直径为20，，
，，.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质．
模型3. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
例1．（2023·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，，最后得到．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
四边形是圆内接四边形，，，
在和中，，
，
，
即，，故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）；（4）
【分析】（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；
（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是；
（3）先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
（4）连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
是等边三角形，，
，是等边三角形，， ；
（2）是的弦，且的半径为，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是，故答案为：．
（3）类比迁移解：如图，，，
是的直径，且圆心在上，，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，
、、三点在同一条直线上，
，，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，的最大值是，
，周长的最大值是．
（4）拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，，
连接、，，，
，，，
，，，的最小值为．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
例3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
(1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证：
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据等弦所对弧相等可得，即，进而得到平分圆周角，最后根据“爪”的定义即可证明结论；
（2）延长至点E，使得，连接；先证明可得，进而证得为等边三角形，即；最后根据线段的和差即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，∴
∴，∴平分圆周角，∴圆中存在“爪形D” ．
（2）证明：如图：延长至点E，使得，连接，
∵ ， ∴
∵ ∴ ∴
∵，∴，
∴为等边三角形，∴，即．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的弦、弧、圆周角的关系，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
例4．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD
【分析】（1）①由圆周角性质得出∠ADB＝∠CDB，即可得出结论；②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，由等边三角形的判定得△BDE为等边三角形即可得出结论；（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，易判断△BDE为为等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：
延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，读懂题意正确理解题中圆中“爪形A”是解题的关键．
模块3：同步培优题库
1．（2023·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，证，利用全等的性质可得结果．
【详解】解：，
，，
在和中，，，，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的半径相等，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后得到，，证明出，是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵点A是优弧的中点，∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴是圆的直径，
∵，，∴，∴，
∴，∴圆的直径为，∴圆的半径为．故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
3．（2022·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则∠DOE+∠FOG的度数是 ．
【答案】80°/80度
【分析】先证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥BC， 则∠ODE=∠A=70°，从而推出∠DOE =40°连接AO，分别过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，先证明OM=ON，即可证明Rt△OMD≌Rt△ONG，Rt△OME≌Rt△ONF，即可推出∠MOD=∠NOG，∠MOE=∠NOF，则∠FOG=∠DOE=40°，∠DOE+∠FOG=80°．
【详解】解：∵OD分别为AB和BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC， ∴∠ODE=∠A=70°，
∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE=70°，∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=40°，
连接AO，分别过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∵AB=AC，O是BC的中点，∴AO平分∠BAC，∴OM=ON，
又∵OD=OE=OG=OF∴Rt△OMD≌Rt△ONG（HL），Rt△OME≌Rt△ONF（HL），
∴∠MOD=∠NOG，∠MOE=∠NOF，∴∠FOG=∠DOE=40°，
∴∠DOE+∠FOG=80°，故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．
【详解】解：连接，
弧、、的长相等，，
设，，，，
在中，，解得，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）3．
【分析】（1）连接OA、OB，证明，即可得到；
（2）设OM=x，则OA=ON=x+2，在RtAOM中，根据勾股定理，列出方程，求出x，即可．
【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示：
∵∴∠AOE=∠BOD ∵OA=OB∴∠OAE=∠OBF∴∴
（2）∵∴AM=BM=4 设OM=x，则OA=ON=x+2
在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3 ∴OM=3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形判定，垂径定理以及勾股定理，熟练各知识点以及准确计算是解决本题的关键．
6．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
7．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)．
【分析】（1）由圆周角定理得到，即可证明问题；（2）作于M，交延长线于N，推出，得到AM=AN，PN=PM，即可证明Rt△ABN≌Rt△ACM，得到，从而求出的长，得到的长，于是求出的长．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：作于M，交延长线于N，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
8．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接，
∵是的中点，∴
在和中，∴，∴
∵，∴∴ ；
（2）证明：在中，，
在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接OC、OD，先证明△AOC≌△AOD,得到∠CAO=∠DAO,再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；（2）连接OC、BC，先根据圆周角定理和直角三角形的性质求得:∠ABC=∠ACE,再根据直角三角形的性质证得OC⊥BF,然后证得∠EOC=∠BOC即可完成证明．
【详解】解：（1）如图：连接OC、OD
∵在△AOC和△AOD中OA=OA,AC=AD,OC=OD
∴△AOC≌△AOD∴∠CAO=∠DAO又∵AC=AD∴；
（2）如图：连接OC、BC
∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∴∠AEC=90°
∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC
∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA
∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC
∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC⊥BE∴．
【点睛】本题考查了圆的性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】在上截取，连结，证明，得到，即可得到．
【详解】证明：在上截取，连结，如图，
∵，而，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
又∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握截长补短法证明线段之间的和差关系，是解题的关键．
11．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．
(1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________；②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．
(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．
【答案】(1)①，②见解析(2)；；；证明见解析
【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；
②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．
【详解】（1）①解：，理由：
∵四边形是正方形，∴，
∴的度数为，∴，故答案为：；
②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
（2）当点P在上时，；
在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
当点P在上时，，
在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
当点P在上时，，理由：
在的延长线上截取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．
在和中， ，∴，
∴．∵，
∴，∴．∴为等腰直角三角形，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．
12．（2022·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点．(1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________；
(2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：．
【答案】(1)(2)，见解析(3)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；（2）在上截取，连，由D为弧的中点，根据圆周角定理得到，易得，得到，于是有，即；（3）结合（2），根据勾股定理及等式的性质即可求出．
【详解】（1）解：∵D为弧的中点，
∴，∴，故答案为：；
（2）数量关系：．
证明：在上截取，连，如图2，
∵D为弧的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，
而，∴，，即．
（3）由（2）知：，又∵，
∴．即．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握有关定理是解题的关键．
13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．
(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．
【答案】(1)等边(2)5
【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出△ABC是等边三角形；
（2）利用全等三角形的性质证明PC＝PA＋PB，可得结论．
【详解】（1）∵∠APB＝120°，四边形APBC内接于圆，∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠PAB＝∠CAE，∴△PAB≌△EAC（SAS），∴PB＝EC＝2，
∵PE＝PA＝3，∴PC＝PE＋CE＝3＋2＝5．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
14．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
(1)求∠E的度数；(2)当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
【答案】(1)30°(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠A=30°，再根据圆周角定理，即可求解；
（2）连接CM，CE，根据直径所对的圆周角是直角可得CM∥BE，从而得到∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，再由∠ACB=75°，可得∠CBF=15°，从而得到∠BAM=∠DCM=15°，进而得到∠CAM=∠BAM，再根据垂径定理可得BD=CD，进而证得△BDG≌△CDM，即可求证．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠ACB＝75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，∵∠E=∠A，∴∠E=30°；
（2）证明：如图，连接CM，CE，
∵AM是圆O的直径，∴∠ACM=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=∠ACM=90°，
∴CM∥BE，∴∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，
∵∠ACB=75°，∴∠CBF=15°，∴∠DCM=15°，∴∠BAM=∠DCM=15°，
∵∠BAC=30°，∴∠CAM=15°，∴∠CAM=∠BAM，∴ ，∴BD=CD，
在△BDG和△CDM中，∵∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，BD=CD，
∴△BDG≌△CDM，∴DG=DM，即D为GM中点．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．
【答案】8
【分析】连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，然后证明△ABD≌△CED，得出四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠A=∠DCE，
∵AB=CE,AD=DC，∴△ABD≌△CED，∴BD=DE，
∴四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，
∵DF⊥BC，∴BF=EF=(BC+CE)=BE=×8=4，∴FC=EF-CE=4-2=2，
在Rt△DEC中，DF=，
∴=×8×2=8．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
17．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点．
（1）试说明：；（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知证明△CED≌△CFB，根据全等三角形的性质就可以题目的结论；
（2）由于AB是直径，可以得到∠ACB=90°，而∠DAB=60°，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接着求出CF，BF，根据已知条件容易证明△CAE≌△CAF，所以S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB，根据这个等式就可以求出△ACD的面积．
【详解】解：（1）证明：∵弧CB=弧CD，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB，
又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL）∴DE=BF；
（2）∵CE=CF，∠CAE=∠CAB，∴△CAE≌△CAF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠DAB=60°，∴∠CAB=30°，AB=6，∴BC=3，
∵CF⊥AB于点F，∴∠FCB=30°，∴CF＝，BF=，
∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=（AF-BF） CF=（AB-2BF） CF=.
【点睛】此题把角平分线，全等三角形放在圆的背景中，利用圆的有关性质和角平分线的性质来证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质解决题目的问题．
18．（2022·四川德阳·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．(1)求证：△BOQ≌△POQ；(2)若直径AB的长为12．当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)6，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明全等即可；（2）当四边形对角线互相垂直且平分时，四边形AEOP为菱形，利用勾股定理即可求得PE的长．
【详解】（1）证明：∵PA∥OQ，∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，
而OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，
在△BOQ和△POQ中，∴△BOQ≌△POQ（SAS）．
（2）6 ∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，
∵OC＝OA＝＝AB=3，∴PC＝＝3，
∴PE＝2PC＝6．故答案为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、平行线的性质、直角三角形勾股定理的运算及菱形的判定定理，这是个综合题，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使，则有，然后过圆心分别作弦、的垂线，垂足分别为，，然后通过三角形全等证明弦心距；
（2）过点作，，垂足分别为、，结合（1）的结论证明，利用全等三角形的性质得到．
【详解】（1）已知：，于点，于点．
求证：．
证明：∵，∴．
∵，，∴，，∴．
在和中，，
∴（HL），∴．
（2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接．
由（1）可知，当时，．
在和中，，
∵∴（HL），
∴，即平分．
【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．
20．（2023·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，从而得到，计算出，即可证明；
（2）延长到点，使，如图，先证明得到，，再证明为等边三角形，则，运算可判断，同理可得当点在劣弧上时，当点在劣弧上时的线段关系；（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，从而将四边形的周长转化为，从而得到最大时周长最大，利用等边三角形的性质得到和的长，结合半径可得结果．
【详解】（1）解：等边三角形，理由是：
∵，∴，，
∴，，∴是等边三角形；
（2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使，
为等边三角形，，，
，，，
在和中，，，
，，，
为等边三角形，，；
同理：当点在劣弧上时，；
当点在劣弧上时，；
（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，
∴四边形周长为，
由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大，
连接并延长，交于E，则，
∵是等边三角形，∴， ∴，
∴，∴，
则四边形周长的最大值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，知识点较多，属于圆和三角形的综合问题，解题时要注意前问的结论要能合理运用，产生关联．
21．（2023·贵州遵义·统考三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；
拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)推理过程如下(2)(3)
【分析】（1）根据旋转的性质，得，可得：，，，根据勾股定理，即可；（2）将绕点点顺时针得到，根据全等三角形的判定和性质，得，得到，推出，得是等腰直角三角形，根据勾股定理，等量代换，即可．（3）将绕点点顺时针得到，沿翻折得到，则，得，根据全等三角形的判定和性质，勾股定理，即可．
【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，∴，，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴．
（2）绕点点顺时针得到，∴，
∴，，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴．
（3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴，
∵沿翻折得到，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵是圆的直径，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形，旋转和折叠的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，旋转和折叠的性质，勾股定理的运用．
22．（2022·山东德州·统考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
【答案】(1)；(2)没有，理由见详解；
【分析】（1）当△ABC是等边三角形时，延长PB到点D，使得，连接DA，借助等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，证明，进而证明，为等边三角形，再推导出即可；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，延长PB到点E，使得，连接AE，借助等腰直角三角形的性质及圆内接四边形的性质，证明，进而证明，也为等腰直角三角形，再推导出，可知三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；
【详解】（1）解：，
证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA，
∵为等边三角形， ∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，∴（SAS）∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，∴；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，
∴（SAS）∴，，
∵，又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论、全等三角形等知识，综合性强，难度大，解题关键是通过延长线段或截取线段构造全等三角形或相似三角形．
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专题3.9 圆中的全等三角形模型
模块1：知识储备
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型等。
模块2：核心模型与典例
模型1. 燕尾模型
条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．
(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．
例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．
(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．
模型2. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．
例2．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．
例4．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
模型3. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
例1．（2023·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
例3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，(1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证：
例4．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
模块3：同步培优题库
1．（2023·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则∠DOE+∠FOG的度数是 ．
4．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
5．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长．
6．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
7．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长
8．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
9．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：
10．（2023·江苏·九年级假期作业）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：．
11．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．
(1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________；②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．
(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．
12．（2022·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点．(1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________；
(2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：．
13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．
(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．
14．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．(1)求∠E的度数；(2)当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
16．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．
17．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点．
（1）试说明：；（2）若，，求的面积．
18．（2022·四川德阳·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．(1)求证：△BOQ≌△POQ；(2)若直径AB的长为12．当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形，并说明理由．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
20．（2023·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
21．（2023·贵州遵义·统考三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；
拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
22．（2022·山东德州·统考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
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