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专题3.10 圆弧的中点模型
模块1：知识梳理
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率
模块2：核心模型与典例
模型1、与垂径定理相关的中点模型
如图，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．
例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点O作，证明是等边三角形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过点O作，如图所示，
∵点C是优弧的中点，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵的半径为8，∴，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到等边三角形的判定和证明，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】如图：连接交点H，由圆周角定理可得为的直径，在中运用勾股定理可得，则半径；然后由点点D为的中点可得，进而得到，在中运用勾股定理可得，进而得到，最后在中，运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，连接交点H
∵即∴为的直径
在中，，则∴
∵点D为的中点∴∴
在中，，则∴
在中，，则．故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理和垂径定理是解答本题的关键．
例3．（2023陕西中考数学试卷）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．
设的半径为，则．在中，，
，，，即的半径为．故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
例4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．
【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，
∴，，∴，∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
例5．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上的一点，且，①求扇形的面积为 ；②若，则的长是 ．
【答案】
【分析】①利用圆周角定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解；
②延长交于点E，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：①∵，∴，
∵点A是劣弧的中点，∴，
∵半径为，∴扇形的面积为；
②延长交于点E，
∵点A是劣弧的中点，∴，
∵，∴，∴，
∵半径为，∴，∵是的直径，∴，
∴，∴，故答案为：，．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，圆周角定理，垂径定理，扇形的面积公式，掌握圆周角定理是解题的关键．
模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．
2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．
3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．
可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．
注意：涉及相似的问题建议大家学习完第4章再完成对应的模型
例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：点是的中点，，．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；
(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；
(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，
【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为点；（2）根据，证得，进而证明∽，对应线段成比例，从而推出结论；
（3）连接，因为为半圆中点，则为等腰直角三角形，已知斜边可求出的长，可证明∽，得到，求解关于的方程即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点为所作点：
（2）证明：∵点D是劣弧的中点，∴ ，∴，
∵，∴∽ ∴，∴
（3）解：连结BD，∵点D是的中点，∴，∵是的直径，∴
∴为等腰直角三角形，∴
由（1）得∽，，即，
∴，∴，解得或（负值舍去）∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，数量掌握垂径定理和相似三角形的性质是求解的关键．
例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点
(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）
(3)若，且，求的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)108．
【分析】（1）过作于，连接，根据点为弧的中点，可得，进而得出，再根据圆的半径为，即可得到，从而得解；
（2）先判定，从而根据相似三角形的性质即可求解；（3）连接，，，并延长至点，依据，，判定，即可得到，设，再根据，得即，再利用勾股定理求出，可得，从而即可得解．
【详解】（1）解∶如图，过作于，连接，则，
∵是圆的直径，∴，
∵点为弧的中点，∴弧弧，∴，
∴，∴，∴，
∵圆的半径为，即，∴，∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，
由可知，∴；
（3）解：如图，连接，，，并延长至点，
∵是圆的直径，∴，
∵，，∴垂直平分，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴即，
设，则，∴，，∴，，
∵，∴，∵，∴，，
∴，即，解，
∴，∴的面积．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．
以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法：
甲：若添加条件，则； 乙：若添加条件是劣弧的中点，则．
下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲、乙两人都对 D．甲、乙两人都不对
【答案】C
【分析】甲：由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理得，等量代换得，可证；
乙：连接．由垂径定理可证，由圆周角定理可证，等量代换得，可证．
【详解】甲：∵，∴．
∵，∴，∴，∴．故甲的说法正确；
乙：连接．∵，∴，∴．
∵是劣弧的中点，∴，∴，
∴，∴．故乙的说法正确．故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答本题的关键．
例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ．
【答案】/
【分析】延长交于点G，连接、，先由同弧或等弧所对的圆周角相等得，得，由直径所对的圆周角等于得，勾股定理得，则，再由勾股定理求出，则，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：延长交于点G，连接、，如图所示：
∵点D是弧的中点，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，
∵是的直径，的半径为2，∴，
∴，，∴，
∵∴，∴；即：，
∵，∴，∴，
设，则，在中，由勾股定理得：
，解得：，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
例3．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理可证选项；根据垂径地理，中位线的性质可证选项；根据圆周角的性质可证，由此即可求解．
【详解】解：点是弧的中点，是半径，，∴正确；连接交于，
点是弧的中点，，，，是的中位线，
，即，且，∴错误，正确；
连接，点是弧的中点，，，
，，∴正确．故选：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，垂径定理，中位线的性质等知识是解题的关键．
例4．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再运用同弧（等弧）所对的圆周角相等可得出，再利用同角的余角相等可推出，进而得出，利用三角函数可求得，由勾股定理可求得：，，再根据三角形的内心判定和性质可得出，运用等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵为直径，∴，∵，∴，
而，∴，∵，∴，
而，∴，∴，∴，
在和中，∵，∴，
∴，，∴，
∵P为下面半圆弧的中点，∴，∴，
∴点H是的内心，∴平分，∴，
∵，∴， ∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内心，三角函数定义，等腰三角形和等腰直角三角形性质，勾股定理等，熟练掌握勾股定理、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
例5．（2023·天津河西·校考三模）如图，为的直径，点，为直径同侧圆上的点，且点为的中点，过点作于点，延长，交于点，与交于点．
(1)如图①，若点为的中点，求的度数；(2)如图②，若，，求的半径．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意可推得，根据圆心角、弧、弦之间的关系可求得，根据圆周角定理可求得，根据三角形内角和定理求解；
（2）根据垂径定理可得，根据圆心角、弧、弦之间的关系可推得，求得，设的半径为，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接，，如图：
∵点为的中点，点为的中点，∴，，
∴，∴，
又∵为的直径，∴，
∴，在中，，∴．
（2）连接，如图：∵点为的中点，∴，
∵，为的直径，∴，∴，
∴，即，∴，设的半径为，则，
在中，，即，解得，故的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
例6．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．
(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)的比值不会发生改变，
【分析】（1）根据垂径定理得出，推出，即可证明；
（2）连接交于点，设的半径为，利用勾股定理求出，再证明，利用平行线分线段成比例得出，计算即可得出结论；（3）分三种情况：当点与点重合时，当点与点重合时，当点与点、不重合时，分别求出的比值即可．
【详解】（1）∵直径于点F，∴．
∵点C为弧的中点，∴．∴．∴．
（2）如图2，连接交于点，设的半径为，则，
由（1）知∵直径于点F，∴．
在中，∵，∴．解得：，
∵点C为弧的中点，∴，．∴．
∵是的切线，∴．∴．∴，即．∴．
（3）的比值不会发生改变，，理由如下：
由（2）知，，，，
①当点与点重合时，；
②当点与点重合时，；
③当点与点、不重合时，如图3，连接，
∵，，∴．
又∵，∴．∴．∴的比值不会发生改变．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质等知识，熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
模型4、与托勒密定理相关的中点模型
图1 图2
1）同侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD+CD=AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD+CD=AD
2）异侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD-CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD-CD=AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD-CD=AD
例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；
(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；
(2)如图2、若、平分，，求的长度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）如图：绕B逆时针旋转交于E,即，先说明是等边三角形可得；再说明是等边三角形可得 ，进而证明可得，最后根据即可证明结论；（2）如图：连接,交于E，先说明为直径,即，再运用圆周角定理和勾股定理可得，进而求得、，最后运用勾股定理即可解答
【详解】（1）解：如图：绕B逆时针旋转交于E，即，
∵，∴，∴是等边三角形，∴ ,
∵点D为的中点∴，∵，∴是等边三角形，
∴ ，∴,即,
∴，∴,∴,即．
（2）解：如图：连接，交于E，
∵，∴为直径,即
∵点D为的中点，∴，
∴,即,解得：,
∵平分，∴,
又∵,∴垂直平分,即，∴,
∵．∴是的中位线，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．
例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，证明，得出，求出，过点B作于点H，根据三角函数求出，得出，即可证明结论．
【详解】证明：在上截取，连接，如图3，
∵点B为弧的中点，，∴，
∴，，
∵与同对弧，∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，∴，∴，
过点B作于点H，∴，∴，
在中，，∴，∴，
又∵，，∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判断和性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．
例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.
【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似（2）勾股定理（3） AC =
【分析】（1）根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；
（2）根据矩形的性质和托勒密定理，即可得到答案；
（3）连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．由四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，可得 BCD是底角为30°的等腰三角形，进而得BD=2 DE=CD，结合托勒密定理，列出方程，即可求解．
【详解】（1）依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；
依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似 ．
故答案是：同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）∵当圆内接四边形ABCD是矩形时，∴AC=BD，BC=AD，AB=CD，
∵由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+BC·AD，∴．故答案是：勾股定理；
（3）如图，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD =180°，∵∠BAD=60°， ∴∠BCD =120°，
∵点C是弧BD的中点，∴ 弧BC=弧CD，∴ BC =CD，∴∠CBD =30°.
在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°，∴DE=CD ，∴ BD=2 DE=CD．
由托勒密定理得： AC·BD=AB·CD+BC·AD．∴AC·CD=3CD+5CD．∴AC =．
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质与相似三角形的综合，添加辅助线，构造底角为30°的等腰三角形，是解题的关键．
例4．（2023·九年级北京市校考阶段练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB CD+BC AD＝AC BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ ∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD∴
∴AB CD＝AC BE
∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD BC＝AC ED
∴AB CD+AD BC＝AC （BE+ED）
∴AB CD+AD BC＝AC BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
【答案】（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似;(2) 勾股定理;(3) .
【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．
（2）利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断．（3）连接BD，作CE⊥BD于E．首先证明BD＝2DE＝CD，由托勒密定理，构建方程求出AC即可．
【详解】（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．
“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，
∵AB CD+AD BC＝AC BD，∴AB2+AD2＝BD2，
托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，故答案为勾股定理．
（3）连接BD，作CE⊥BD于E．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°，
∵，∴CD＝CB，∴∠CDB＝30°，
在Rt△CDE中，cos30°＝，∴DE＝CD，
∴BD＝2DE＝CD，由托勒密定理：AC BD＝AD BC+CD AB，
∴AC CD＝3CD+5CD，∴AC＝，答：AC的长为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
模块3：同步培优题库
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，先求得，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，∴，
∵，∴，∴，
∵点是的中点，∴，
∵，∴即，解得，故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．
2．（2023·广东九年级期中）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接，
∵点C为的中点，，∴，
∵为的直径，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
3．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理可得，再由弧、弦、圆心角的关系可得答案．
【详解】解：在中，，，
是劣弧的中点，．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、，则，可得，再证，由“等边对等角”的性质求即可．
【详解】解：连接、，
∵，∴，∵，∴，
∵是的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
点在上，为的中点，，，，
根据圆周角定理可知，，故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
6．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，是半圆O的直径，点D是弧的中点，若．则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用圆周角定理和弧与圆心角的关系求解即可．
【详解】解：连接，，
∵点D是弧的中点，∴，
又，∴，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、弧与圆心角的关系，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．
7．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算正六边形的中心角，再用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接，∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，∴，故选Ｃ．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
8．（2023·山西晋中·校考模拟预测）如图，是的直径，点、在上，点为弧的中点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据是的直径，点为弧的中点，求出的度数，圆周角定理，得到，再利用，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，点为弧的中点，
∴的度数为，的度数为，∴，
∵，∴，
∵（8字型图），∴；故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
9．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（ ）
A．若点是的中点，则 B．若，则
C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】由圆的性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：点是的中点，，
，故选项A是真命题，不符合题意；
为的直径，，即，
若，则，，故选项B是真命题，不符合题意；
若，则是等腰三角形，
，，故选项C是真命题，不符合题意；
由半径平分弦，不能证明四边形是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假、圆的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
【详解】解：∵点是的内心，∴平分，∴，故①正确；
如图，连接，，∵点是的内心，∴，，
∵，∴，∴，
∴，故②不正确；
∵，∴，∴，
∵点为的中点，∴，∴，故③正确；
如图，连接，∵点是的内心，∴平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，故④正确，∴一定正确的是①③④，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心是解题的关键．
11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．5
【答案】D
【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值
∵的度数为，点是弧的中点，∴的度数为，
又，∴是等边三角形，∵∴，故选：D．
【点睛】本题考查轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
12．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
【答案】
【分析】连接，交于点，连接，根据题意得出，设，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接，
∵的内接正方形，∴经过点，
∵点是的中点，∴，∴
设，则∴
∵,∴
∵，∴∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，正方形的性质，相似三角形的性质，证明是解题的关键．
13．（2023·湖南长沙·校考模拟预测）如图，是⊙的弦，是的中点，交于点．若，，则⊙的半径为 ．
【答案】
【分析】连接，根据垂径定理，得，设，则，根据勾股定理，即可．
【详解】连接，∵是⊙的弦，是的中点，∴，
∵，∴，
设，则，∴，
∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理的运用，勾股定理的运用．
14．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，关于对称的经过所在圆的圆心，已知，点为上的点，则（1） ；（2）点到的最大距离是 ；
（3）若点、分别是的中点，则的长为 ．
【答案】 120
【分析】过作于，交于，根据垂径定理得到，，根据轴对称的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
当点为的中点时，点到的距离最大，即点与点重合时，点到的距离最大，根据垂径定理得到，求得，，于是得到结论；
连接，，，根据圆周角定理和弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】解：过作于，交于，
，，
∵关于对称的经过所在圆的圆心，
，，，
，故答案为：；
当点为的中点时，点到的距离最大，
即点与点重合时，点到的距离最大，
，，，，，
，故点到的最大距离是；故答案为：；
连接，，，点、分别是、的中点，
，，
，由知，
的长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．
(1)写出弦对的弧的度数；(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)60或120(2)菱形，见解析
【分析】（1）在优弧上取一点，连接、，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案；（2）证和都是等边三角形，则，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图所示：
，，
，；
弦对的弧的度数为或；
（2）菱形，理由：连接，
∵是弧的中点，∴，
又∵，∴和都是等边三角形，
∴，∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．
【答案】见解析
【分析】在上截取，连接，由为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，易得，得到，于是有，因此．
【详解】证明：在上截取，连接，如图，
∵为的中点，∴，，
在中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：
①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
【答案】(1)①②；③；理由见解析（答案不唯一）(2)
【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和定理进行证明即可；（2）结合条件可推出，从而结合弧长计算公式直接求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点为的中点，∴，，
情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：
∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，
∵，∴，
∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题；
情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：
∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，
∵，∴，
∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题；
情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下：
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵是圆上的弦，∴为直径，∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题；
故答案为：①②；③（答案不唯一）；
（2）解：由（1）可知，，如图所示，连接，∴，
∵的长为，设的半径为，∴，解得：，∴的半径为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长计算，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．
18．（2023·广东佛山·校考三模）如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，，．(1)求证：；(2)求线段的长；(3)延长至，连接，使的面积等于，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）由，可得，再利用“两角分别相等的两个三角形相似”进行证明；
（2）先利用相似三角形的性质求出，再用勾股定理求；
（3）连接，并求其长度，利用的面积求出的长，进而得到，，利用特殊角的三角函数求出与的度数，进而得到的度数．
【详解】（1）解：，，
又，．
（2）解：，，．
，，即，解得．
是的直径，．
在中，．
（3）解：连接，如图．
是的直径，．
由,得，解得．
，．
在中，．
在中，．
，．
，，
，，．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，利用特殊角的三角函数求角，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
19．（2023·广东惠州·统考一模）如图，在中，弦相交于点E，点B是劣弧中点，延长到点F，使，连接
(1)求证：；(2)若，求证：是的切线；(3)若，，求的长.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等可得，，然后结合已知条件，利用证得，则，结合等量代换即可证得结论；
（2）连接，由根据垂径定理的推论可得,再结合证得，然后根据切线的定义即可证得结论 （3）由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得,再结合证得,由相似三角形的性质求得的长度，再由即可求得答案
【详解】（1）∵点是劣弧的中点，，，
在和 中，，，，
，；
（2）连接，如图，
，，，，
是的半径，是的切线；
（3），，
，∴，，
，，
，，
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定，正确识别图形是解题关键．
20．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，．
(1)求证：；(2)若，求的半径；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，，进而求得，得出，即可证得结论；
（2）根据垂径定理和圆周角定理易求得，得出，解直角三角形求得，即可求得的半径；（3）根据求得即可．
【详解】（1）解：证明：连接，
，为的直径，，
点恰好为的中点，，，
，，，，；
（2）过点作弦垂直于直径于，
，，，，，
在中，，，的半径为2．
（3）连接，，，是等边三角形，
，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键．
21．（2023·江苏·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点C，D是的中点，连接、分别交于点E、F．
(1)求证：；(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由垂径定理的推论可得，由直径所对的圆周角为90度可得，由对顶角相等可得，即可证明；
（2）由相似三角形的性质可得，设，则，由三角形中位线的性质可得，再用勾股定理解和 ，求出x的值，进而求出圆的半径，即可求出的面积．
【详解】（1）证明：∵点D是的中点，∴，
∵是直径，∴，
又∵，∴；
（2）解：∵，∴，
设，则，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴的面积．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等，解题的关键是根据垂径定理的推论得出．
22．（2023·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．
(1)连接，求证：．(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)为定值．且为(3)的周长存在最小值，最小值为
【分析】（1）据圆周角定理由是的直径得，由M是的中点得，于是可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得，即可证明结论；（2）据圆周角定理得到，，则，所以；
（3）易得为等腰直角三角形，则，再由得，所以的周长=，根据垂线段最短得当时，最小，此时，此时的周长存在最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，
，是的中点，，
，为等腰直角三角形，
，，，；，
，，，
在和中，，．
（2）解：为定值．且为
，，，
，，，
．
（3）解：的周长有最小值，理由如下：
∵ ∴，
为等腰直角三角形，，
的周长，
当时，最小，此时，此时的周长的最小值．
的周长的最小值为．
【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定解决线段相等是解题的关键．
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专题3.10 圆弧的中点模型
模块1：知识梳理
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率
模块2：核心模型与典例
模型1、与垂径定理相关的中点模型
如图，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．
例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（ ）
A．8 B．4 C． D．
例2．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
例3．（2023陕西中考数学试卷）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
例4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
例5．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上的一点，且，①求扇形的面积为 ；②若，则的长是 ．
模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．
2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．
3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．
可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．
注意：涉及相似的问题建议大家学习完第4章再完成对应的模型
例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；
(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；
(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．
例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点
(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）
(3)若，且，求的面积．
模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．
以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法：
甲：若添加条件，则； 乙：若添加条件是劣弧的中点，则．
下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲、乙两人都对 D．甲、乙两人都不对
例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ．
例3．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
例5．（2023·天津河西·校考三模）如图，为的直径，点，为直径同侧圆上的点，且点为的中点，过点作于点，延长，交于点，与交于点．
(1)如图①，若点为的中点，求的度数；(2)如图②，若，，求的半径．
例6．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．
(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
模型4、与托勒密定理相关的中点模型
图1 图2
1）同侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD+CD=AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD+CD=AD
2）异侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD-CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD-CD=AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD-CD=AD
例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；
(2)如图2、若、平分，，求的长度．
例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．求证：．
例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.
例4．（2023·九年级北京市校考阶段练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB CD+BC AD＝AC BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ ∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD∴
∴AB CD＝AC BE
∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD BC＝AC ED
∴AB CD+AD BC＝AC （BE+ED）
∴AB CD+AD BC＝AC BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
模块3：同步培优题库
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
2．（2023·广东九年级期中）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是（ ）
A．或 B． C． D．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，是半圆O的直径，点D是弧的中点，若．则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山西晋中·校考模拟预测）如图，是的直径，点、在上，点为弧的中点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（ ）
A．若点是的中点，则 B．若，则
C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
10．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．5
12．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
13．（2023·湖南长沙·校考模拟预测）如图，是⊙的弦，是的中点，交于点．若，，则⊙的半径为 ．
14．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，关于对称的经过所在圆的圆心，已知，点为上的点，则（1） ；（2）点到的最大距离是 ；
（3）若点、分别是的中点，则的长为 ．
15．（2023·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．(1)写出弦对的弧的度数；(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
18．（2023·广东佛山·校考三模）如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，，．(1)求证：；(2)求线段的长；(3)延长至，连接，使的面积等于，求的度数．
19．（2023·广东惠州·统考一模）如图，在中，弦相交于点E，点B是劣弧中点，延长到点F，使，连接
(1)求证：；(2)若，求证：是的切线；(3)若，，求的长.
20．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，．
(1)求证：；(2)若，求的半径；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
21．（2023·江苏·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点C，D是的中点，连接、分别交于点E、F．(1)求证：；(2)若，求的面积．
22．（2023·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．(1)连接，求证：．(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
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