第3章 圆的基本性质单元测试卷（困难 含解析）

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浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》单元测试卷
考试范围：第三章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在正方形中，点是上一动点不与、重合，对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、下列结论：
≌；
；
；
∽；
点在、两点的连线上．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，线段绕点旋转到，连，为的中点，连，则的长不可能是( )
A. B. C. D.
5. 如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点不与重合，点为的中点，若在运动过程中的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 如图，边长为的正方形内接于，点是上的一动点不与，重合，点是上的一点，连接，，分别与，交于点，，且，有以下结论：；是等腰三角形；四边形的面积随着点位置的变化而变化；周长的最小值为其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，、、，点在直角坐标系中， 且，则线段的长的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是( )
A. B. 四边形内接于
C. D.
9. 已知正方形和正六边形的边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转在这样连续次旋转的过程中，点，间的距离可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图是一个半径为的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是 ( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图．在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______．
14. 如图，已知是等腰直角三角形，，点是的中点，作正方形，连接，若，将正方形绕点逆时针方向旋转，在旋转过程中，当为最大值时，则的值______．
15. 如图，在中，，分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
16. 如图，边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点运动的路径长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图所示，已知，两点的坐标分别为，，点是外接圆上一点，且，与交于点．
求的度数；
求及的长；
求的长及点的坐标．
18. 本小题分
如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转的度数不变，若与垂直时如图所示，易证．
如图，若与不垂直时，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
如图，若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明．
19. 本小题分
某工厂准备翻建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱型曲线．已知厂门的最大宽度，最大高度，工厂的特种运输卡车的高度是，宽度是现设计了两种方案：方案一：建成抛物线形状；方案二：建成圆弧形状如图为确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由．
20. 本小题分
定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形．

如图，，，，是上的四个点，，延长到，使求证：四边形是准平行四边形；
如图，准平行四边形内接于，，，若的半径为，，求的长；
如图，在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值．
21. 本小题分
如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接．
求的度数；
连接，求证：．
22. 本小题分
定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角．
如图，在的条件下，连结，，若是的直径．
求的度数；
若，，求的面积．
23. 本小题分
如图，在正五边形中，连结，，，交于点．
求的度数．
已知，求的长．
24. 本小题分
定义：、分别是两条线段和上任意一点，线段长度的最小值叫做线段与线段的“冰雪距离”已知，，，是平面直角坐标系中四点．
根据上述定义，完成下面的问题：
当，时，如图，线段与线段的“冰雪距离”是____．
当时，线段与线段的“冰雪距离”是，则的取值范围是____．
如图，若点落在圆心为，半径为的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为，结合图象，求的最小值；
当的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为，线段的中点为求点随线段运动所走过的路径长．
25. 本小题分
如图是一纸杯，它的母线和延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图是扇形，经测量，纸杯上开口圆的直径为，下底面的直径为，母线长求扇形的圆心角及这个纸杯的全面积．面积计算结果用表示
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
依据正方形的性质以及等腰直角三角形、矩形的判定方法即可判断和以及、都是等腰直角三角形，四边形是矩形，从而作出判断．
本题考查正方形的性质、矩形的判定、等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与外心．
【解答】
解：四边形是正方形
，
在和中，
，
≌，故正确；
，
同理，，
正方形中，，
又，，
，且中，
四边形是矩形，
，
，
又，，，
，故正确；
四边形是矩形，
，
在直角中，，
，故正确
是等腰直角三角形，而不一定是，故错误；
垂直平分线段，垂直平分线段，
，，
，
点是的外接圆的圆心，
，
是直径，
，，三点共线，故正确．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，当点是线段延长线与圆的交点时，最大，再根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图，
点为平面直角坐标系内一点，，
点在上，且半径为，
取，连接，
为中点，
，，
是的中位线，
．
当最大时，即最大，而当，，三点共线，即在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理以及旋转图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接先求得，，再证明≌，从而有，，进而得点、、三点共线，从而证明，利用勾股定理即可得解．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接，，
四边形和四边形均为正方形，点为的中点，
，，，，
，即，
，，
将绕点顺时针旋转得，使得与重合，
，，，，
，
，
≌，
，，，
，，
点、、三点共线，
，，
，
，，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：作的中点，连接，如图：
由题意知：，
点为的中点，点为中点，
，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当点在延长线上时，最大，
而由，，可得，
点为中点，
，
最大为，
的长度不能是，
故选：．
作的中点，连接，根据为的中点，为中点，可得，从而知点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，可求得最大值为，即可得到答案．
本题考查直角三角形中的旋转问题，解题的关键是作的中点，从而由已知得出点的轨迹．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：连接、，取的中点，连接和，设的半径为，
点为的中点，
，
点是上的动点不与重合，点为顶点，
点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上，
则，
当点、、三点共线时，有最大值，此时，
，
，
，
点为的中点，
，
，解得：，
，
在中，；
故选：．
首先根据题意取的中点，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长．
本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，圆的有关概念和性质等知识．连接、、、，先证，由即可证明结论；
只要证明≌即可解决问题
只要证明是定值即可
推出当时，的值最小，的值最小，此时，，求出的周长的最小值即可．
【解答】
解：连接、、、，
在正方形中，，，，，
，，
，
，
，
，
，故正确；
在和中，
，
，
是等腰三角形，故正确；
，
，
是定值，故错误；
，
，
的周长，
当时，的值最小，的值最小，此时，，
的周长的最小值为，故错误．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点在线段的延长线与的交点上时最长．作圆，求出半径和的长度，判出只有点在线段的延长线与的交点上时，最长，求解．
【解答】
解：如图，
设圆心为，连结、、，于，
、，
又因为，
圆心角所对的角等于圆周角的二倍，
，，
，
，
，
又，
只有点在线段的延长线与的交点上时，最长点在别的位置时构成，
最大值为：．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，圆内接四边形，三角形内角和定理的有关知识，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于交于，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故C错误；根据三角形内角和得到，，推出，故A错误；由点，，在上，而点在圆心，得到四边形不内接于，故B错误；根据余角的性质得到，故D正确；
【解答】
解：过作于交于，
则，
，，
，
，
，
，
，故C错误；
，
，
，
，故A错误；
点，，在上，而点在圆心，
四边形不内接于，故B错误；
，
，
，故D正确；
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的弧线，分别对次旋转过程进行分析，可知，由此即可判断．
【解答】
解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的弧线，
观察图象可知：在第一次旋转过程中，
在第二次旋转过程中，点的位置不变，
在第三次旋转过程中，的长由逐渐变小为；
在第四次旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，的长由逐渐变小为，然后逐渐变大为；
在第五次旋转过程中，的长由逐渐变大为；
在第六次旋转过程中，点的位置不变，．
显然连续六次旋转的过程中，．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：连接Ⅰ，，
正八边形，，
，，
四边形为正方形，
四边形的面积为，
当最大时，四边形的面积最大，
即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大，
如图，连接，交于点，连接，交于点，
则为等腰直角三角形，为正八边形的中心，
，垂直平分，
，
设，
则，
，
在中，，
即，
解得：负值不合题意，舍去，
，
四边形的最大面积为，
故选：．
易得四边形为正方形，得到四边形的面积为，进而得到当最大时，四边形的面积最大，即即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大，即可得解．
本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接、、，延长交于点，如图所示：
是的内接三角形，的半径为，
，，
，
，
，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
，
故选：．
连接、、，延长交于点，由三角形的内接三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由垂径定理得出，结合图形得出阴影部分得面积即为的面积，计算三角形面积即可．
题目主要考查等边三角形及外接圆的性质，垂径定理及勾股定理解三角形，不规则图形的面积等，理解题意，结合图形求解是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了规律型：点的坐标，主要考查了从滚动中找出规律，根据规律确定坐标对应点是解本题的关键．
由点，，得到，，，根据弧长的计算公式得到的长度，得到，于是得到结论．
【解答】
解：点，，
，，，
的长度，
将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，
的长，
点，点，点，点，点，
，
的．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，
在中，，，
，
作于点，则，，
，，
，得，
，
即外接圆的直径是，
故答案为：．
根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得外接圆的直径，本题得以解决．
本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了三角形三边的关系、等腰直角三角形的性质．
连接，如图，利用等腰直角三角形的性质得，，再根据旋转的性质得到点在以点圆心，为半径的圆上，估计三角形三边的关系得到当且仅当过圆心时取等号，从而得到的最大值为，然后利用勾股定理计算出此时的长．
【解答】
解：连接，如图，
点为等腰直角三角形斜边的中点，
，，
正方形绕点逆时针方向旋转，
点在以点圆心，为半径的圆上，
当且仅当过圆心时取等号，
的最大值为，
此时．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是掌握求线段的最大值的思路与方法；首先根据等腰直角三角形的性质得出，，然后根据三角形的面积公式和勾股定理可得即可求出和面积之和；先证得、、三点在同一条直线上，设的中点为点，连接，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，以为圆心，以的长为半径画，则为的外接圆，为外接圆的直径，根据，得出，设与相交于点，连接、、，则四边形是的内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出，根据邻补角的概念得出，进一步求出，，，，，和都是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，取的中点为，连接、，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，根据，得出当、、三点共线时，有最大值，此时，最后利用勾股定理求出的长，通过即可求出的最大值．
【解答】
解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，，
根据勾股定理可得，，，，
，，，
，
；
和都是等腰直角三角形，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
设的中点为点，连接，如图：
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，
以为圆心，以的长为半径画，则为的外接圆，为外接圆的直径，
，
，
设与相交于点，连接、、，则四边形是的内接四边形，
，
又，
，
，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
，，
取的中点为，连接、，则，
则
，
当、、三点共线时，有最大值，此时，
在中，，，，
，
的最大值为．
故答案为：；．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
作辅助线，首先求出的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．
【解答】
解：如图，分别连接、、、、，
，
是等边三角形，
；
同理可证：，
；
，
，
由旋转变换的性质可知；
四边形为正方形，且边长为，
，，
当点第一次落在圆上时，点运动的路线长为：．
以或为圆心滚动时，每次点运动，
以做圆心滚动两次，以和做圆心滚动三次，所以总路径．
故答案为：．
17.【答案】解：，，
，，
；
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
由知：，
，，
，
，
，；
及的长分别为，；
作轴于，连接、，如图，
，
为外接圆的直径，
，
，，
，，
，
，
，
和都为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
在中，
，
，
整理得，解得，舍去，
，
；
点坐标为．
【解析】根据，，可得，，进而可以解决问题；
过点作轴于点，可得，，然后根据，求出的长，进而可以解决问题；
作轴于，连接、，根据圆周角定理由，得到为外接圆的直径，则，再利用勾股定理计算出，根据圆周角定理由得到，则可判断和都为等腰直角三角形，所以，，设，则，，在中，根据勾股定理得到的长和点坐标．
本题考查了三角形外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到和都为等腰直角三角形．
18.【答案】解：结论成立，理由如下：
过点作交于，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
是边的中点，
，
在和中，，
≌，
，
；
上述结论不成立，，，之间的数量关系为：；理由如下：
过点作交于，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，，
，
，
是边的中点，
，
在和中，，
≌，
，
，
．
【解析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
过点作交于，易证是等边三角形，，得出，，证明，由是边的中点，得出，由证得≌得出，即可得出结论；
过点作交于，易证是等边三角形，，得出，，，证明，由是边的中点得出，由证得≌得出，即可得出结果．
19.【答案】解：第一方案：设抛物线的表达式是，
因在抛物线的图象上，代入表达式，
得．
故抛物线的表达式是．
令得，，
解得，
当高度是时，最大宽度是．
第二方案：由垂径定理得：圆心在轴上原点的下方，
设圆的半径是，那么在中，由勾股定理得：
解得，
当高度是时，最大宽度，
，
为了工厂的特种卡车通过厂门更安全，所以采用第二种方案更合理．
【解析】本题考查了二次函数的应用，垂径定理和勾股定理的应用．
求出方案一中抛物线的解析式，再令，求出最大宽度，然后根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，然后求出最大宽度，则宽度较大的设计方案能确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全．
20.【答案】证明：如图，
四边形内接于，
．
，
．
，
．
．
，，
．
，
，
．
四边形是准平行四边形．
解：如图，连接，过点作，交的延长线于点．
由题意，，可知
四边形是准平行四边形，
．
，

是的直径，
，

又，
在和中，
．
，
为等腰直角三角形，斜边．
根据勾股定理得，
．
长的最大值为．
【解析】【分析】
本题是圆的综合题，主要考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等．
根据准平行四边形的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理即可解答；
连接，过点作，交的延长线于点根据准平行四边形的定义得，
再证明 ，利用全等三角形的性质和勾股定理即可解答；
根据准平行四边形的定义和得，作三角形的外接圆圆，再根据两点之间线段最短和含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质即可解答．
【解答】
解：见答案；
见答案；
四边形是准平行四边形，且，
，
作三角形的外接圆圆，当、、在一条直线上时，最大．
过作于点，过作于点，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21.【答案】解：连接，
平分，
，
，，
≌，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
；
证明：延长交于，连接，，
是圆的直径，
，
，
由知，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，由条件推出≌，得到，由圆周角定理即可求出的度数；
延长交于，连接，，由圆周角定理得到，由勾股定理得到，由等腰直角三角形的性质，勾股定理得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，从而证明问题．
本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
22.【答案】解：平分，平分，
，
如图，延长到点，
四边形内接于，
，
又，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角．
如图，连接，
是中的遥望角，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
是的直径，
，
，
，
如图，过点作于点，过点作于点，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
设，，则有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由角平分线的定义可得出结论；
由圆内接四边形的性质得出，得出，证得，证出，则是的外角平分线，可得出结论；
连接，由条件得出，则，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则，得出，则可求出答案；
过点作于点，过点作于点，证得∽，得出，求出，设，，则有，解得，求出，的长，求出，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案．
23.【答案】解：五边形是正五边形，
，，，，，．
四边形是菱形，
，
同理可求：，
；
四边形是菱形，
．
，
同理，
∽，
，即，
设，则，
，即，
解得舍去负值．
的长是．
【解析】根据五边形是正五边形，判断出，，，，，即可得到；
证明∽，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长．
本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：
如图，为圆与轴的切点，满足．
当在右侧时，冰雪距离．
当在弧上时，冰雪距离为点到的距离，
结合图象可知，当且仅当处在点时，取最小值．
如图，当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为．
当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为．
当线段由图中向上平移到时，或由向上平移到时，线段与线段的“冰雪距离”始终为对应中点所走过的路线长为：．

【解析】【分析】
本题考查了坐标和图形性质，新定义等知识题中通过介绍“冰雪距离”来引出学生对动态图象理想距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能．在深度理解理想距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常值得学生锻炼的题目．
读懂题意，结合图形可判断极为冰雪距离注意到到的距离正好为，可知点到的垂足正好在线段上
结合图象观察点在移动时，的变化情况，判断出取最小值的点，再计算
找出运动的情况，注意到点运动的路径长与点、运动的路径长相同，转化为求或运动的路径长即可．
【解答】
解：当，时，，．
线段与线段的冰雪距离为
当时，点到直线的距离为．
若线段与线段的冰雪距离是，则点到的垂线的垂足在线段上，
，即
，见答案．
25.【答案】解：由题意可知，，
设，，则，
由题意得，，
解得
故扇形的圆心角是，
，
，
，
，
纸杯侧面积，
纸杯底面积，
纸杯表面积

【解析】本题主要考查圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系和扇环的面积的求法设，，则，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系列方程，并联立成方程组求解即可得出，；求纸杯的侧面积即为扇环的面积，需要用大扇形的面积减去小扇形的面积，纸杯表面积．
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