第4章 相似三角形单元测试卷（困难 含解析）

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浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，，，是成比例的线段，其中，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
2. 已知，则下列等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，正六边形外作正方形，连接交于点，则等于( )
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在矩形中，，，将矩形绕着点逆时针旋转，得矩形，其中交于点，延长交于点，连接，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，是边上的点，，：：，则与的面积比是( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列命题：如图，正方形中，、分别为、上的点，，、交于，交于，为的中点，交于，连
下列结论中：
；；；
其中正确的命题有( )
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D.
9. 在中，，，，以点为顶点作三角形阴影部分，使这个三角形与相似，且相似比为：，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件( )
A. 四边形和四边形的面积之差
B. 四边形和四边形的面积之差
C. 四边形和四边形的面积之差
D. 四边形和四边形的面积之差
11. 将一张纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是 ( )
A. B.
C. 或 D. 或或
12. 如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心若，四边形的周长是，则四边形的周长是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，点把线段的黄金分割点，且如果，那么 结果保留小数．
14. 如图所示，正方形边长是，，，线段的端点、分别在、上滑动，当____时，∽．
15. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点若，，，则的长为
16. 如图，已知矩形中，，在矩形内作正方形，若四边形与矩形相似，且，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知线段，，，且．
求的值．
若线段，，满足，求的值．
18. 本小题分
如图，已知点在上，且：：，点是延长线上一点，：：，连接与交于点，求：的值．
19. 本小题分
如图，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，求的长．
20. 本小题分
如图，是的直径，弦交于点．
求证：∽．
如果，求证：．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线：上，过点作的垂线，过原点作直线的垂线，两垂线相交于点．
如图，点，分别在第三、二象限内，与相交于点．
若，求证：．
若，求四边形的面积．
是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．
解决问题：
当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
23. 本小题分
如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，轴、轴上分别有点，，连接．
按要求在图中继续画图：
将绕点顺时针旋转得；
以为位似中心，在第一象限内把按相似比放大得即与的相似比为；
将绕点顺时针旋转得．
连接、，试探究与之间存在怎样的数量关系；
在整个旋转过程中，设直线与直线交于点，求点的横坐标的最大值．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
以原点为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的倍后的．
画出绕点顺时针旋转后得到的．
直接写出点所经过的路径长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：线段、、、是成比例线段，
，
，
，，
，
负值舍去．
故选：．
根据线段、、、是成比例线段，得出，利用比例的基本性质得到，再把，代入计算即可．
此题考查了考查了比例线段的定义，注意、、、是成比例线段即，要理解各个字母的顺序．
2.【答案】
【解析】解：、，故选项正确；
B、，故选项正确；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：．
根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
考查了比例的定义和性质．用到了反比性质，、用到了和比性质．
3.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，
设正六边形的边长为，则，
在中，，，
，
，
故选：．
连接，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，设正六边形的边长为，则，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】解：，
，
即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据旋转的性质及已知条件证明，为等腰直角三角形，从而得到，可得，然后证明∽，继而证明可得，由勾股定理求得长，由求得即可长．
【解答】
解：四边形是矩形，，，
，
矩形绕着点逆时针旋转，得矩形，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
同理为等腰直角三角形，
，
，
，
又，，，，
∽，
．，
．．，
．．，
，
，
在中，，
，
故C．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接，设交于证明∽，推出，由，可得，，由：：，推出：：，设，，证明四边形是平行四边形，推出，根据，构建方程求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，设交于．
四边形，四边形都是正方形，
，
，，
，
，，共线，，，共线，
，
，
，
∽，
，
，
，，
：：，
：：，设，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
负根已经舍弃，
，，
，
，
，
，
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
可证≌得到∽，所以得证；
由题意正方形中，由知，证得≌，得到即得证；
由≌，所以，只有是的中点时，等于的一半，所以错误；
过点作垂直，交于点，由题意可证得≌故GC，且是等腰直角三角形，，所以式成立．
【解答】
解：四边形为正方形，
则，，
，
≌，
，
又
∽，
，
即，正确；
四边形是正方形，
，即，，
由题意正方形中，
由知，
，
≌，
，即正确；
≌，
，
因为，
所以只有当为的中点时，，
但由于点是运动的，不恒为中点
故错误；
过点作垂直，交于点，
，
故，即，
在与中，
故≌，
则，，
，
是等腰直角三角形，
则，
故，
所以式成立．
综上所述，正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，
∽，且：：；
B.由勾股定理得，，
，，
∽，
C.∽，相似比是，
D.相似比不是：，故D符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，分别过点，作的平行线交于点，交于点，
四边形四边形，相似比，
，，，相似比，
则，，
，
，选项C符合题意，
故选：．
分别过点，作的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形的性质，相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的概念与性质，平行四边形的概念与性质，相似多边形的性质，解答本题的关键是理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想；根据题意分两种情况画出图形，结合图形，利用菱形的性质，相似多边形的性质进行解答，即可求解．
【解答】解：分两种：
如图，四边形和四边形都是菱形，，
则，，，
四边形是平行四边形，
，，
设，，则，，
，，
由可得，，
，
，舍去，
；
如图，四边形和四边形都是菱形，，
则，，，
四边形是平行四边形，
，，
设，，则，，
，，
由可得，，
，
，舍去，
；
综上所述，的相邻两边与的比值是或．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
，四边形与四边形相似，
，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
故选：．
先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
13.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义得，即可得出答案．
本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．【解答】
解：正方形边长是，
，，
在中，，
当∽时，：：，即：：，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
过点作于点，延长，交于点，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：过点作于点，延长，交于点，如图所示：
则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
，
即，
解得：．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：四边形与矩形相似，
，
，
即，
是的黄金分割点，
，又，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质得到是的黄金分割点，根据黄金比值计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
17.【答案】【小题】
，，
．
【小题】
设，则，，．
，，，
，，，．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】解：过点作，交于点，
，
：：，
，
，
即，
：：，
，
，
．
即：：．
证法二、连接、，
：：，：：，
，
，
∽，
，，
，
∽，
．
【解析】过点作，交于点，求出，得出，根据已知推出，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
19.【答案】解：，
．
，
，
．
，，，
设的长为，则长为．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
若∽，则：：，即：：，
解得；
若∽，则：：，即：：，
解得或．
所以 或或．
【解析】由，，易得，又由，，，设的长为，则长为，然后分别从∽与∽去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．
20.【答案】【小题】
证明：与是所对的圆周角，B.又，∽．
【小题】
，又，∽，．是的直径，，，，，．
21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过作于，过作轴于，如图：
在直线：上，设，
，，
而，
，
∽，
，
设，则，
中，，
又的坐标为，
，
，
解得舍去，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
等腰直角三角形中，，
等腰直角三角形中，，
，，
；
解：存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
过作于，
当点位于线段上，如图：
由可知：，，
设，则，，
，，，
，，
∽，
，即，
，
中，，
，
以，，为顶点的三角形与相似，分两种情况：
若，则，
解得，
此时；
若，则，
解得，，
此时或；
当点位于线段延长线上，如图，
设，则，，
与类似，可得，
中，，
，
以，，为顶点的三角形与相似，分情况讨论：
若，则，
此时，无解；
若，则，
解得，舍去，
此时；
点位于线段延长线上，如图：
设，则，，
类似的，可得，
中，，
，
以，，为顶点的三角形与相似，分情况讨论：
若，则，
此时，无解；
若，则，
解得舍去，6，
此时．
综上所述，以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为：或或或或．
【解析】本题考查一次函数综合，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度，中要注意分情况讨论，避免漏解．
由，，可得，而根据已知有，故，从而可得，于是有；
过作于，过作轴于，设，可得∽，，设，则，利用勾股定理求出，，由可知是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而有，，，，即可求出；
过作于，
当点位于线段上，设，则，，
由∽，对应边成比例可得，中，，
以，，为顶点的三角形与相似，
分两种情况：
若，则，可得；
若，则，解得或；
当点位于线段延长线上；
点位于线段延长线上时，可类似求解．
22.【答案】解：存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为．
设“加倍”矩形的一边长为，则它的另一边长为．
由题意，得，解得，．
所以，．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为，宽为．
不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，则它们的面积比必定是．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
23.【答案】证明；，
四边形为矩形．
四边形为正方形，
平分．
又，，
．
四边形为正方形．
四边形与四边形相似．
【解析】由正方形的性质可知；平分，然后由角平分线的性质可知，从而可证明四边形为正方形，故此四边形与四边形相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形为正方形是解题的关键．
24.【答案】解：将绕点顺时针旋转得如图所示；
以为位似中心，在第一象限内把按相似比放大得如图所示；
如图，由旋转的性质可得∽，
，
即．
如图，
由旋转的性质可知在整个旋转过程中，始终都有，
即始终保持为．
点在以为直径的圆上．
易得以为直径的圆的圆心的坐标为，
且的半径为，
当点满足轴，且点在点的右侧时，其横坐标取得最大值，为．
【解析】本题主要考查了坐标与图形的性质，旋转作图，位似作图及旋转的性质，相似三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
按照位似作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
根据性质的性质可知在旋转的过程中∽，则根据相似三角形的性质可得出与之间存在的数量关系；
根据旋转的性质知，由此可得始终保持为，所以点总是在以为直径的圆上，且圆心的坐标为，则当轴时可得的横坐标的最大值．
25.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
，
点所经过的路径长为：．
【解析】把点、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、，的对应点、、即可得到 ；
利用弧长公式求解即可．
本题考查了作图位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
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