第2章简单事件的概率专题2.1 概率【十一大题型】（（解析版）
文档属性
| 名称 | 第2章简单事件的概率专题2.1 概率【十一大题型】（（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-28 16:56:43 | ||
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文档简介
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概率11大常考考点题型总结
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的判断】
【例1】（2022秋 安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【变式1-1】（2022秋 安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【变式1-2】（2022 武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖
【变式1-3】（2022 兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【知识点2 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、
【题型2 概率公式的计算】
【例2】（2022 花溪区模拟）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-1】（2022 成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【变式2-2】（2022春 肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【变式2-3】（2022 文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【知识点3 用列表法求概率】
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。
【知识点4 用树状图求概率】
当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【例3】（2022 兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022 肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022 宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【变式3-3】（2022 新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【例4】（2022 海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022 安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022 盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．
【变式4-3】（2022 沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【例3】（2022 武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022 沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【变式5-2】（2022秋 中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022 泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
【例6】（2022 同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022 宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022 西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022春 郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，蓝球有1个．小明从盒子里随机摸出1个小球，然后放回摇匀，再随机摸出1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【例7】（2022 武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022 海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022 烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4、S5中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【变式7-3】（2022 商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【例8】（2022秋 恩施市期末）从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-1】（2022 常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022 港北区二模）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2022春 浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【例9】（2022 武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2022 海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2022 安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中长跑设定为必考项目，考生可以在余下六个项目中自主选择2个不同的项目进行考试，则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2022 青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型10 利用频率估计概率】
【例10】（2022春 广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a＝ ；b＝ ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【变式10-1】（2022春 顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
【变式10-2】（2022秋 溧水区期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是： ．
【变式10-3】（2022春 淮安区期中）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加是多少度？
【题型11 统计概率综合】
【例11】（2022 平邑县一模）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【变式11-1】（2022 凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【变式11-2】（2022 永安市模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ ，b＝ ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【变式11-3】（2022 岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
概率【十一大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc16884" 【题型1 事件的判断】 1
HYPERLINK \l "_Toc16350" 【题型2 概率公式的计算】 3
HYPERLINK \l "_Toc31867" 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 6
HYPERLINK \l "_Toc21701" 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 8
HYPERLINK \l "_Toc19959" 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 11
HYPERLINK \l "_Toc5859" 【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 13
HYPERLINK \l "_Toc11910" 【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】 15
HYPERLINK \l "_Toc8347" 【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】 18
HYPERLINK \l "_Toc11987" 【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 20
HYPERLINK \l "_Toc26737" 【题型10 利用频率估计概率】 23
HYPERLINK \l "_Toc6581" 【题型11 统计概率综合】 26
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的判断】
【例1】（2022秋 安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为其他性质不一定相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意．
B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的质量可能性不一定相同．不符合题意．
C、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意
D、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋 安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然不发生，故本选项错误；
B、生活中，如果一个事件可能发生，那么它是随机事件，故本选项错误；
C、生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生，故本选项正确；
D、生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-2】（2022 武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是可能事件；
B、通常温度降到0℃以下，纯净水结冰，是必然事件；
C、度量一个三角形的内角的度数，其和为360°，是不可能事件；
D、某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖，是可能事件．
故选：C．
【变式1-3】（2022 兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、“任意画一个矩形是轴对称图形”是必然事件，故A不符合题意；
B、“一名射击运动员射击一次正中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C、“明天会下雨”是随机事件，故C符合题意；
D、“两个整数的和一定大于0”是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【知识点2 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、
【题型2 概率公式的计算】
【例2】（2022 花溪区模拟）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
故选：B．
【变式2-1】（2022 成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【分析】将原方程整理可得ax＝4，从而得出当a＝1、4时，方程的解为正整数，再根据概率公示拟求解可得．
【解答】解：将原方程整理可得ax＝4，
∴当a＝1、4时，方程的解为正整数，
∴使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为，
故答案为：．
【变式2-2】（2022春 肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
1、全部情况的总数；
2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）P（点数为2）；
（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，则P（点数为奇数）；
（3）点数大于2且小于6的有3种可能，即点数为3，4，5，
则P（点数大于2且小于6）．
【变式2-3】（2022 文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：D．
【知识点3 用列表法求概率】
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。
【知识点4 用树状图求概率】
当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【例3】（2022 兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为，
故选：B．
【变式3-1】（2022 肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2，
所以点P（m，n）在第二象限的概率；
故选：D．
【变式3-2】（2022 宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【变式3-3】（2022 新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，
∴这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是，
故选：C．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【例2】（2022 海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的结果情况，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下：
共有8种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
所以两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率为，
故选：C．
【变式4-1】（2022 安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，
∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为，
故选：C．
【变式4-2】（2022 盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．
【分析】（1）三个等可能的情况中出现3的情况有一种，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向3的概率为；
故答案为：；
（2）列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜），P（小华获胜），
∵，
∴该游戏不公平．
【变式4-3】（2022 沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
由表知，共有12种等可能结果，其中转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的有3种结果，
∴转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率为．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【例5】（2022 武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率，
故选：D．
【变式5-1】（2022 沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为：．
【变式5-2】（2022秋 中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
郑 州 加 油
郑 （州，郑） （加，郑） （油，郑）
州 （郑，州） （加，州） （油，州）
加 （郑，加） （州，加） （油，加）
油 （郑，油） （州，油） （加，油）
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为．
故选：B．
【变式5-3】（2022 泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
白 白 白 红 红 黑
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红）
红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红）
黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） （红，黑） （红，黑）
由表知，共有30种等可能结果，其中取出两个小球都是白色的有6种结果，
所以取出两个小球都是白色的概率为，
故选：A．
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
【例6】（2022 同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种，
∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是，
故选：D．
【变式6-1】（2022 宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球颜色相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
所有可能的结果有9种，两次摸出颜色相同球的结果有5种；
则两次摸出的球颜色相同的概率是；
故选：A．
【变式6-2】（2022 西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为，
故选：C．
【变式6-3】（2022春 郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，蓝球有1个．小明从盒子里随机摸出1个小球，然后放回摇匀，再随机摸出1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的小球颜色为一红一蓝的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的小球颜色为一红一蓝的结果数是4，
所以两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是；
故选：C．
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【例7】（2022 武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
∴能让灯泡L2发光的概率为：．
故选：D．
【变式7-1】（2022 海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为；
故选：B．
【变式7-2】（2022 烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4、S5中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把S1、S2、S3、S4、S55个开关分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
【变式7-3】（2022 商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有12种可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的有8种，
∴P（点亮灯泡），
故答案为：．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【例8】（2022秋 恩施市期末）从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，
∴该点在坐标轴上的概率为，
故选：D．
【变式8-1】（2022 常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概率．
【解答】解：画树状图如图：
∴共有20种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8种，
∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．
故选：B．
【变式8-2】（2022 港北区二模）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，再找出满足Δ＝16﹣4ac≤0的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中满足Δ＝16﹣4ac≤0，即ac≥4的结果有（2，3）、（3，2）这2种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为，
故选：B．
【变式8-3】（2022春 浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
3 4 5 6 7 8
3 （4，3） （5，3） （6，3） （7，3） （8，3）
4 （3，4） （5，4） （6，4） （7，4） （8，4）
5 （3，5） （4，5） （6，5） （7，5） （8，5）
6 （3，6） （4，6） （5，6） （7，6） （8，6）
7 （3，7） （4，7） （5，7） （6，7） （8，7）
8 （3，8） （4，8） （5，8） （6，8） （7，8）
由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有21种结果，
所以这2个数互素的概率为，
故答案为：．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【例9】（2022 武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是．
故选：C．
【变式9-1】（2022 海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【变式9-2】（2022 安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中长跑设定为必考项目，考生可以在余下六个项目中自主选择2个不同的项目进行考试，则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有30种等可能的结果，其中恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球六个项目分别记为①、②、③、④、⑤、⑥，
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的结果有2种，
∴恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率为，
故选：D．
【变式9-3】（2022 青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把三张风景图片用A、B、C来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案．
【解答】解：把三张风景图片用A、B、C来表示，
根据题意画如下的树形图：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有27种，这些结果出现的可能性相等．
其中恰好组成一张完整风景图片的有3种，
所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为；
故选：C．
【题型10 利用频率估计概率】
【例10】（2022春 广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a＝ 123 ；b＝ 0.404 ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 0.4 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 0.6 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 15 只．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【解答】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6；
（4）设红球有x个，根据题意得：0.6，
解得：x＝15；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【变式10-1】（2022春 顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
【分析】（1）由共做了100次实验，“4点朝上”的次数为16，即可求得“4点朝上”的频率．
（2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）“4点朝上”的频率为0.16；
（2）小明的说法错误；
因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
（3）P（点数小于3）．
【变式10-2】（2022秋 溧水区期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 0.7 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 0.7 ，理由是： 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 ．
【分析】（1）根据频率的算法，频率，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可．
【解答】解：（1）填表如下：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704 0.698
（2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案为：0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【变式10-3】（2022春 淮安区期中）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格：a＝ 295 ；b＝ 0.745 ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 0.6 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是 0.6 ；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加是多少度？
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得a和b的值；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）根据扇形统计图和表格中的数据可以估计表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加的度数．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝500×0.59＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295，0.745；
（2）由表格中的数据可得，
当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6，
故答案为：0.6，0.6；
（3）由题意可得，
要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加：360°×0.5﹣360°×0.4＝36°，
即要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度．
【题型11 统计概率综合】
【例11】（2022 平邑县一模）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
解：
（1）由题意可得总人数为10÷20%＝50名；
（2）听音乐的人数为50﹣10﹣15﹣5﹣8＝12名，“体育活动C”所对应的圆心角度数＝360°108°，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率．
【变式11-1】（2022 凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51≤x＜56分数段；
（3）如图所示：将女生分别标记为A1，A2，男生标记为B1
A1 A2 B1
A1 （A1，A2） （A1，B1）
A2 （A2，A1） （A2，B1）
B1 （B1，A1） （B1，A2）
P（一男一女）．
【变式11-2】（2022 永安市模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ 7 ，b＝ 7 ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；
（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．
（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．
【解答】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案为：7，7；
（2）甲的平均数为：甲6.3分，众数是6分，
乙的平均数为：乙7分，众数为7分，
丙的平均数为：丙＝7分，众数为7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，
因此，综合考虑，选乙更合适．
（3）树状图如图所示：
∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P．
【变式11-3】（2022 岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 16 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
【分析】根据题意列表得出A、B、C、D四个队与第4名以后的球队进行比赛所有得分结果，由表格中体现的所有情况，选出符合题意C队获胜的情况的情况总数，从而估算出C队获胜的概率．
【解答】解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P（C队获胜）．
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概率11大常考考点题型总结
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的判断】
【例1】（2022秋 安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【变式1-1】（2022秋 安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【变式1-2】（2022 武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖
【变式1-3】（2022 兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【知识点2 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、
【题型2 概率公式的计算】
【例2】（2022 花溪区模拟）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-1】（2022 成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【变式2-2】（2022春 肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【变式2-3】（2022 文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【知识点3 用列表法求概率】
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。
【知识点4 用树状图求概率】
当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【例3】（2022 兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022 肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022 宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【变式3-3】（2022 新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【例4】（2022 海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022 安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022 盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．
【变式4-3】（2022 沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【例3】（2022 武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022 沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【变式5-2】（2022秋 中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022 泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
【例6】（2022 同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022 宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022 西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022春 郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，蓝球有1个．小明从盒子里随机摸出1个小球，然后放回摇匀，再随机摸出1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【例7】（2022 武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022 海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022 烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4、S5中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【变式7-3】（2022 商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【例8】（2022秋 恩施市期末）从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-1】（2022 常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022 港北区二模）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2022春 浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【例9】（2022 武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2022 海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2022 安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中长跑设定为必考项目，考生可以在余下六个项目中自主选择2个不同的项目进行考试，则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2022 青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型10 利用频率估计概率】
【例10】（2022春 广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a＝ ；b＝ ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【变式10-1】（2022春 顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
【变式10-2】（2022秋 溧水区期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是： ．
【变式10-3】（2022春 淮安区期中）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加是多少度？
【题型11 统计概率综合】
【例11】（2022 平邑县一模）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【变式11-1】（2022 凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【变式11-2】（2022 永安市模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ ，b＝ ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【变式11-3】（2022 岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
概率【十一大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc16884" 【题型1 事件的判断】 1
HYPERLINK \l "_Toc16350" 【题型2 概率公式的计算】 3
HYPERLINK \l "_Toc31867" 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 6
HYPERLINK \l "_Toc21701" 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 8
HYPERLINK \l "_Toc19959" 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 11
HYPERLINK \l "_Toc5859" 【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 13
HYPERLINK \l "_Toc11910" 【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】 15
HYPERLINK \l "_Toc8347" 【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】 18
HYPERLINK \l "_Toc11987" 【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 20
HYPERLINK \l "_Toc26737" 【题型10 利用频率估计概率】 23
HYPERLINK \l "_Toc6581" 【题型11 统计概率综合】 26
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的判断】
【例1】（2022秋 安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为其他性质不一定相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意．
B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的质量可能性不一定相同．不符合题意．
C、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意
D、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋 安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然不发生，故本选项错误；
B、生活中，如果一个事件可能发生，那么它是随机事件，故本选项错误；
C、生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生，故本选项正确；
D、生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-2】（2022 武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是可能事件；
B、通常温度降到0℃以下，纯净水结冰，是必然事件；
C、度量一个三角形的内角的度数，其和为360°，是不可能事件；
D、某次抽奖活动中奖的概率为，小明买100张奖券，可能会中奖，是可能事件．
故选：C．
【变式1-3】（2022 兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、“任意画一个矩形是轴对称图形”是必然事件，故A不符合题意；
B、“一名射击运动员射击一次正中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C、“明天会下雨”是随机事件，故C符合题意；
D、“两个整数的和一定大于0”是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【知识点2 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、
【题型2 概率公式的计算】
【例2】（2022 花溪区模拟）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
故选：B．
【变式2-1】（2022 成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【分析】将原方程整理可得ax＝4，从而得出当a＝1、4时，方程的解为正整数，再根据概率公示拟求解可得．
【解答】解：将原方程整理可得ax＝4，
∴当a＝1、4时，方程的解为正整数，
∴使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为，
故答案为：．
【变式2-2】（2022春 肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
1、全部情况的总数；
2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）P（点数为2）；
（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，则P（点数为奇数）；
（3）点数大于2且小于6的有3种可能，即点数为3，4，5，
则P（点数大于2且小于6）．
【变式2-3】（2022 文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：D．
【知识点3 用列表法求概率】
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。
【知识点4 用树状图求概率】
当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【例3】（2022 兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为，
故选：B．
【变式3-1】（2022 肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2，
所以点P（m，n）在第二象限的概率；
故选：D．
【变式3-2】（2022 宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【变式3-3】（2022 新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，
∴这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是，
故选：C．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【例2】（2022 海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的结果情况，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下：
共有8种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
所以两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率为，
故选：C．
【变式4-1】（2022 安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，
∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为，
故选：C．
【变式4-2】（2022 盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．
【分析】（1）三个等可能的情况中出现3的情况有一种，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向3的概率为；
故答案为：；
（2）列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜），P（小华获胜），
∵，
∴该游戏不公平．
【变式4-3】（2022 沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
由表知，共有12种等可能结果，其中转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的有3种结果，
∴转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率为．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【例5】（2022 武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率，
故选：D．
【变式5-1】（2022 沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为：．
【变式5-2】（2022秋 中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
郑 州 加 油
郑 （州，郑） （加，郑） （油，郑）
州 （郑，州） （加，州） （油，州）
加 （郑，加） （州，加） （油，加）
油 （郑，油） （州，油） （加，油）
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为．
故选：B．
【变式5-3】（2022 泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
白 白 白 红 红 黑
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白）
红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红）
红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红）
黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） （红，黑） （红，黑）
由表知，共有30种等可能结果，其中取出两个小球都是白色的有6种结果，
所以取出两个小球都是白色的概率为，
故选：A．
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
【例6】（2022 同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种，
∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是，
故选：D．
【变式6-1】（2022 宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球颜色相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
所有可能的结果有9种，两次摸出颜色相同球的结果有5种；
则两次摸出的球颜色相同的概率是；
故选：A．
【变式6-2】（2022 西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为，
故选：C．
【变式6-3】（2022春 郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，蓝球有1个．小明从盒子里随机摸出1个小球，然后放回摇匀，再随机摸出1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的小球颜色为一红一蓝的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的小球颜色为一红一蓝的结果数是4，
所以两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是；
故选：C．
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【例7】（2022 武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
∴能让灯泡L2发光的概率为：．
故选：D．
【变式7-1】（2022 海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为；
故选：B．
【变式7-2】（2022 烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4、S5中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把S1、S2、S3、S4、S55个开关分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
【变式7-3】（2022 商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有12种可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的有8种，
∴P（点亮灯泡），
故答案为：．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【例8】（2022秋 恩施市期末）从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，
∴该点在坐标轴上的概率为，
故选：D．
【变式8-1】（2022 常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概率．
【解答】解：画树状图如图：
∴共有20种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8种，
∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．
故选：B．
【变式8-2】（2022 港北区二模）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，再找出满足Δ＝16﹣4ac≤0的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中满足Δ＝16﹣4ac≤0，即ac≥4的结果有（2，3）、（3，2）这2种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为，
故选：B．
【变式8-3】（2022春 浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
3 4 5 6 7 8
3 （4，3） （5，3） （6，3） （7，3） （8，3）
4 （3，4） （5，4） （6，4） （7，4） （8，4）
5 （3，5） （4，5） （6，5） （7，5） （8，5）
6 （3，6） （4，6） （5，6） （7，6） （8，6）
7 （3，7） （4，7） （5，7） （6，7） （8，7）
8 （3，8） （4，8） （5，8） （6，8） （7，8）
由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有21种结果，
所以这2个数互素的概率为，
故答案为：．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【例9】（2022 武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是．
故选：C．
【变式9-1】（2022 海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【变式9-2】（2022 安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中长跑设定为必考项目，考生可以在余下六个项目中自主选择2个不同的项目进行考试，则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有30种等可能的结果，其中恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球六个项目分别记为①、②、③、④、⑤、⑥，
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的结果有2种，
∴恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率为，
故选：D．
【变式9-3】（2022 青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把三张风景图片用A、B、C来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案．
【解答】解：把三张风景图片用A、B、C来表示，
根据题意画如下的树形图：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有27种，这些结果出现的可能性相等．
其中恰好组成一张完整风景图片的有3种，
所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为；
故选：C．
【题型10 利用频率估计概率】
【例10】（2022春 广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a＝ 123 ；b＝ 0.404 ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 0.4 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 0.6 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 15 只．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【解答】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6；
（4）设红球有x个，根据题意得：0.6，
解得：x＝15；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【变式10-1】（2022春 顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
【分析】（1）由共做了100次实验，“4点朝上”的次数为16，即可求得“4点朝上”的频率．
（2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）“4点朝上”的频率为0.16；
（2）小明的说法错误；
因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
（3）P（点数小于3）．
【变式10-2】（2022秋 溧水区期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 0.7 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 0.7 ，理由是： 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 ．
【分析】（1）根据频率的算法，频率，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可．
【解答】解：（1）填表如下：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
落在“铅笔”的频率 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704 0.698
（2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案为：0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【变式10-3】（2022春 淮安区期中）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格：a＝ 295 ；b＝ 0.745 ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 0.6 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是 0.6 ；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加是多少度？
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得a和b的值；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）根据扇形统计图和表格中的数据可以估计表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加的度数．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝500×0.59＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295，0.745；
（2）由表格中的数据可得，
当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6，
故答案为：0.6，0.6；
（3）由题意可得，
要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加：360°×0.5﹣360°×0.4＝36°，
即要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度．
【题型11 统计概率综合】
【例11】（2022 平邑县一模）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
解：
（1）由题意可得总人数为10÷20%＝50名；
（2）听音乐的人数为50﹣10﹣15﹣5﹣8＝12名，“体育活动C”所对应的圆心角度数＝360°108°，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率．
【变式11-1】（2022 凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51≤x＜56分数段；
（3）如图所示：将女生分别标记为A1，A2，男生标记为B1
A1 A2 B1
A1 （A1，A2） （A1，B1）
A2 （A2，A1） （A2，B1）
B1 （B1，A1） （B1，A2）
P（一男一女）．
【变式11-2】（2022 永安市模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ 7 ，b＝ 7 ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；
（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．
（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．
【解答】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案为：7，7；
（2）甲的平均数为：甲6.3分，众数是6分，
乙的平均数为：乙7分，众数为7分，
丙的平均数为：丙＝7分，众数为7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，
因此，综合考虑，选乙更合适．
（3）树状图如图所示：
∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P．
【变式11-3】（2022 岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 16 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
【分析】根据题意列表得出A、B、C、D四个队与第4名以后的球队进行比赛所有得分结果，由表格中体现的所有情况，选出符合题意C队获胜的情况的情况总数，从而估算出C队获胜的概率．
【解答】解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P（C队获胜）．
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