专题1.2二次函数的图像性质（一）【八大题型】2023~2024学年九年级上册数学第1章二次函数（浙教版）
一、二次函数的解析式互化
1．（2022九上·广宗期末）二次函数化为的形式，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·太谷模拟）将抛物线化成顶点式为 ．
3．（2022九上·徐汇期中）将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
二、根据二次函数解析式判断图像性质
4．（2023九上·福州开学考）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
5．（2023九上·余姚期末）抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为（ ）
A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=2 D．直线x=7
6．（2023九上·靖江期末）下列对于二次函数图象描述中，正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
7．（2023八下·长沙期末）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 6 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最小值为
B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点
D．当时，y的值随x值的增大而增大
三、五点作图法绘“函数图像”
8．（2023·松江模拟）已知二次函数．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图象；
（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．
9．（2023八下·海淀期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，的取值范围为 ．
10．（2023·奉贤模拟）已知抛物线，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．
11．（2021九上·乌苏期末）一班数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 0 -4 -3 -4 -3 0 …
（1）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值见表：其中， .
（2）根据表中数据，在所示的平面坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.
（3）观察函数 图象，回答下列问题：
①函数图象的对称性是： .
②当 时，写出 随 的变化规律： .
③进一步探究图象发现：方程 的根为 .
四、待定系数法求二次函数解析式
12．（2022·威海模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
则这条抛物线的解析式为 ．
13．（2021九上·温州月考）已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， ）
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，－ ）是否落在抛物线上，请说明理由.
14．（2022九上·定南期中）在如图所示的直角坐标系中，已知正方形的边长为，且，
（1）求图像经过，，三点的二次函数的表达式；
（2）求（1）中二次函数图象的顶点坐标．
15．（2023·杭州）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
五、二次函数的平移变换
16．（2023九上·诸暨期末）要得到二次函数图象，需将的图象（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
17．（2023九上·韩城期末）将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
18．（2023九下·长沙月考）将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为 .
19．（2023·鹿城模拟）如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点B.
（1）求h的值及点B的坐标.
（2）将该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，若，求m的值.
20．（2023九上·澄城期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴的正半轴交于点 ，它的对称轴与抛物线 交于点 ．若四边形 是正方形，则 的值是 ．
六、二次函数的对称变化
21．（2020九上·青岛月考）二次函数y=2x2 -12x+5关于x轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为 .
22．（2023·阎良模拟）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．4
23．（2023·济阳模拟）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
七、利用二次函数对称轴、最值求参数值
25．（2023·宿州模拟）若拋物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·温州模拟）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．（2023九上·海曙期末）已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 .
28．（2023九上·靖江期末）已知抛物线的顶点在y轴上，则k的值是 .
29．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
八、利用二次函数增减性求参数范围
30．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
31．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2023九上·温州期末）已知抛物线、、是常数，经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023九上·沭阳期末）已知函数在的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+4=(x-1)2+3
故答案为：B．
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可。
2．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：由抛物线可化为顶点式为；
故答案为：．
【分析】利用配方法将其化为顶点式即可.
3．【答案】解：，
，
，
∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴开口向下，错误；
B、抛物线的顶点坐标是，错误；
C、对称轴为直线，正确；
D、当时，，错误.
故答案为：C.
【分析】由二次函数顶点式可得到抛物线的开口方向，对称轴即及顶点坐标，再将代入抛物线，即可知道是否大于0.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为直线x=3.
故答案为：A.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k中其对称轴直线是x=h可直接得出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A.∵，
∴抛物线开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，
∴当时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得a=-1<0，图象开口向下，有最大值，据此判断A、C；根据顶点式可得对称轴，据此判断B；根据开口方向以及对称轴可得增减性，据此判断D.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
由题意得，
解得，
∴，
∴这个函数的最小值为，A不符合题意；
∵a=1＞0，
∴这个函数图象是开口向上的，B不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个交点，C不符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
故答案为：D
【分析】先运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而根据二次函数的性质与图像结合题意即可求解。
8．【答案】（1）解：
∴二次函数的顶点坐标；
（2）解：当时，，
当时，，
经过点，，
顶点坐标为：
图像如图所示：
（3）解：这个二次函数图象在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求出顶点坐标即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）根据函数图象直接求解即可。
9．【答案】（1）
（2）解：如图所示：
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：1、设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c代入（0，-3），（1，0）（-1，-4）三点坐标
得
解得a=1，b=2，c=-3
故填：y=x2+2x-3
2、根据描点法画二次函数的图象。
3、图象开口向上，有最小值。
当
有最小值
，y最小值是-4
根据函数性质，，y随x增大而减小，
当x=-4时，y有最大值
故填：
【分析】（1）已知二次函数经过的三点，可以用待定系数法求出解析式；（2）题中给出函数图象的5个点坐标，可以用描点法画出图象；（3）在给定x的范围内，找y的范围，要根据函数的性质，看最值是否在x的取值范围内，然后根据函数的增减性，找到取值范围。
10．【答案】（1）解：，
将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后函数关系式为：
所以其开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（2）解：
【知识点】二次函数图象的几何变换；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先利用配方法求出函数的顶点式，再求解即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可。
11．【答案】（1）-3
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示.
（3）关于 轴对称；当 时 随 的增大而减小，当 时 随 的增大而增大；-2，0，2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-2时，y=（-2）2-2×|-2|-3=-3，
∴m=-3，
故答案为：-3.
（3）观察函数图象，可得出：①关于y轴对称，②当0＜x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大.
故答案为：①关于y轴对称，②当0＜x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）观察函数图象可知：函数y=x2-2|x|-3的图象与y=-3只有3个交点.交点坐标为（-2，-3），（-3，0），（2，-3）
∴方程 的根为-2，0，2.
故答案为：-2，0，2.
【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象即可求得；②当x＞0时，根据图象即可得到y随x的变化规律；（4）根据y=x2-2|x|-3的图象与直线y=-3的交点，即可得到结论.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据表格可得到点（-1，0）、（0，3）、（3，0）
设抛物线的解析式为
将（0，3）代入解析式得
解得
解析式为
故答案为：．
【分析】根据待定系数法求解析式即可.
13．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（－1，2），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+2，
将（0， ）代入得，a=- ，
∴抛物线的解析式为y=- （x+1）2+2；
（2）解：将P的横坐标x=2代入抛物线，则y=- ，
所以P点落在抛物线上.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+2，将点（0，）代入可得a，据此可得抛物线的解析式；
（2）将x=2代入抛物线中求出y，据此判断.
14．【答案】（1）解：已知正方形的边长为，且，
∴，，，
设二次函数的表达式，
∴，解方程组得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：已知二次函数的表达式为，
∴将二次函数的一般式配方为顶点式得，
∴二次函数的顶点坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出点E、F、B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标。
15．【答案】（1）解：把（-1，4），（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
解得：，
∴；
（2）解：∵（0，1），（2，1）在y=ax2+bx+1图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当a＞0时，则x＜1时，y随x的增大而减小，
当a＜0时，则x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）解：把（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
∴
∴，
把（-1，m）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（1，n）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（3，p）代入y=ax2-2ax+1得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（-1，4），（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴直线为x=1，进而分a＞0与a＜0两种情况，由函数的增减性作答即可；
（3）把点（2，1）代入y=ax2+bx+1，得b=-2a，从而得抛物线的解析式为y=ax2-2ax+1，然后分别把（-1，m）、（1，n）、（3，p）代入y=ax2-2ax+1算出m、n、p的值，可得m=p，进而再由m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，可得关于字母a的不等式组，求解即可得出a的取值范围.
16．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，
∴将抛物线y=-x2向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=-x2+2x-2.
故答案为：D
【分析】先将抛物线y=-x2+2x-2转化为顶点坐标，再利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可得答案.
17．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：依题意得抛物线为：
，
为“平衡点”，
既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
解得或，
，
，
故答案为：A.
【分析】依题意得抛物线C2为：y=(x-1-m)2-3，（3，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，代入求解可得m、n的值.
18．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为.
故答案为：.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，进而根据将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，即可得出答案.
19．【答案】（1）解：将代入抛物线中，
得：，解得：，
即：抛物线为：，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵抛物线向右平移个单位长度，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，
∴平移后抛物线，，
当时，，则
∵，
∴，整理得
解得：或（舍去）
∴.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（6，0）代入 抛物线 可求出h的值，从而得到抛物线的解析式，进而将x=0代入抛物线的解析式算出对应的y的值，可得点B的坐标；
（2）根据平移规律“左加右减”可得抛物线平移后的解析式为 ，根据点的坐标的平移规律“左减右加”可得点D（6+m，0），令解析式中的x=0算出对应的函数值可表示出点C的坐标为 ，根据OD=OC，建立方程求解可得m的值.
20．【答案】-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=ax2+bx，当y=0时，ax2+bx=0，
解之：x1=0，x2=，
∴点A（，0）
∵四边形ABOC是正方形，
∴点B（），
∵抛物线y=ax2经过点B，
，
解之：b1=0（舍去），b2=-2
∴b=-2.
故答案为：-2
【分析】利用抛物线y=ax2+bx，当y=0时，可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，利用正方形的对角线互相垂直平分，可求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线y=ax2，可求出b的值.
21．【答案】y= -2（x-3）2+13
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：根据题意，所求的抛物线是-y=2x2-12x+5，化简得：y=-2x2+12x-5，
化为顶点式为：y= -2（x-3）2+13.
故答案为：y= -2（x-3）2+13.
【分析】已知函数关于x轴对称的解析式为-y=2x2-12x+5，整理后化为顶点式即可.
22．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于抛物线，
当时，，
对于抛物线，
当时，，
抛物线与抛物线关于直线对称，
与关于直线对称，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由轴对称的性质可知，两抛物线上的点也关于直线x=2对称，先求得两抛物线上关于x=2对称的一对点的坐标，再利用轴对称的性质可知两点的纵坐标相等，进而求得b-c的值.
23．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵关于y轴对称的图象的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标是，
∴原函数解析式为，
∴，即．
当时，，
∴，
∴，
即，
∴m的最小整数值为4．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出抛物线的顶点坐标是，再求出，最后求解即可。
24．【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
25．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：由得，
，
抛物线的顶点坐标为，
顶点在第二象限，
，
解得：，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再根据顶点在第二象限，求解即可。
26．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=ax2-8ax+2=a（x-4）2+2-16a，
∵将其图象向左平移m个单位后过点（5，2），
∴平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，
∴a（5-4+m）2+2-16a=2，
解之：m1=3，m2=-5（舍去）.
∴m的值为3.
故答案为：B
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，然后将点（5，2）代入可求出符合题意的m的值.
27．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：把代入，则
∴
∵
∴当时，有最大值，最大值为
故答案为：.
【分析】将P（m，n）代入y=x2+4中可得n=m2+4，则m-n=-(m-)2-，然后根据二次函数的性质可得最大值.
28．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据顶点在y轴上可得x==0，代入求解可得k的值.
29．【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
30．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
31．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分032．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（1，0）和点（0， 3），
∴c＝ 3，a＋b＋c＝0，
即b＝3 a，
∵顶点在第三象限，经过点A（1，0）和点B（0， 3），
∴a＞0，，
∴b＞0，
∴b＝3 a＞0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3
∵m＝2a b＋c＝2a （3 a）＋（ 3）＝3a 6，
∵0＜a＜3，
∴0＜3a＜9
∴ 6＜3a 6＜3，
∴ 6＜m＜3．
故答案为：B.
【分析】将A、B两点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得c＝ 3，b＝3 a，由顶点在第三象限，经过点A（1，0）和点B（0， 3），可得出：a＞0，，即可推出0＜a＜3，进而用含a的式子表示出m，再根据不等式的性质求出3a 6的范围即可．
33．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
∵
∴当时，函数有最小值为：，
当时：，
由抛物线的对称性可知：当时，，
∵函数在的最大值是1，最小值是，
∴；
故答案为：.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向以及对称轴、最小值，令x=1，求出y的值，由抛物线的对称性可知：当x=-2时，y=1，然后结合题意可得m的范围.
1 / 1专题1.2二次函数的图像性质（一）【八大题型】2023~2024学年九年级上册数学第1章二次函数（浙教版）
一、二次函数的解析式互化
1．（2022九上·广宗期末）二次函数化为的形式，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+4=(x-1)2+3
故答案为：B．
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可。
2．（2023·太谷模拟）将抛物线化成顶点式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：由抛物线可化为顶点式为；
故答案为：．
【分析】利用配方法将其化为顶点式即可.
3．（2022九上·徐汇期中）将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【答案】解：，
，
，
∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可。
二、根据二次函数解析式判断图像性质
4．（2023九上·福州开学考）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴开口向下，错误；
B、抛物线的顶点坐标是，错误；
C、对称轴为直线，正确；
D、当时，，错误.
故答案为：C.
【分析】由二次函数顶点式可得到抛物线的开口方向，对称轴即及顶点坐标，再将代入抛物线，即可知道是否大于0.
5．（2023九上·余姚期末）抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为（ ）
A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=2 D．直线x=7
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为直线x=3.
故答案为：A.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k中其对称轴直线是x=h可直接得出答案.
6．（2023九上·靖江期末）下列对于二次函数图象描述中，正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A.∵，
∴抛物线开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，
∴当时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得a=-1<0，图象开口向下，有最大值，据此判断A、C；根据顶点式可得对称轴，据此判断B；根据开口方向以及对称轴可得增减性，据此判断D.
7．（2023八下·长沙期末）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 6 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最小值为
B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
由题意得，
解得，
∴，
∴这个函数的最小值为，A不符合题意；
∵a=1＞0，
∴这个函数图象是开口向上的，B不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个交点，C不符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
故答案为：D
【分析】先运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而根据二次函数的性质与图像结合题意即可求解。
三、五点作图法绘“函数图像”
8．（2023·松江模拟）已知二次函数．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图象；
（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．
【答案】（1）解：
∴二次函数的顶点坐标；
（2）解：当时，，
当时，，
经过点，，
顶点坐标为：
图像如图所示：
（3）解：这个二次函数图象在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求出顶点坐标即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）根据函数图象直接求解即可。
9．（2023八下·海淀期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）解：如图所示：
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：1、设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c代入（0，-3），（1，0）（-1，-4）三点坐标
得
解得a=1，b=2，c=-3
故填：y=x2+2x-3
2、根据描点法画二次函数的图象。
3、图象开口向上，有最小值。
当
有最小值
，y最小值是-4
根据函数性质，，y随x增大而减小，
当x=-4时，y有最大值
故填：
【分析】（1）已知二次函数经过的三点，可以用待定系数法求出解析式；（2）题中给出函数图象的5个点坐标，可以用描点法画出图象；（3）在给定x的范围内，找y的范围，要根据函数的性质，看最值是否在x的取值范围内，然后根据函数的增减性，找到取值范围。
10．（2023·奉贤模拟）已知抛物线，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．
【答案】（1）解：，
将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后函数关系式为：
所以其开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（2）解：
【知识点】二次函数图象的几何变换；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先利用配方法求出函数的顶点式，再求解即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可。
11．（2021九上·乌苏期末）一班数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 0 -4 -3 -4 -3 0 …
（1）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值见表：其中， .
（2）根据表中数据，在所示的平面坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.
（3）观察函数 图象，回答下列问题：
①函数图象的对称性是： .
②当 时，写出 随 的变化规律： .
③进一步探究图象发现：方程 的根为 .
【答案】（1）-3
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示.
（3）关于 轴对称；当 时 随 的增大而减小，当 时 随 的增大而增大；-2，0，2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-2时，y=（-2）2-2×|-2|-3=-3，
∴m=-3，
故答案为：-3.
（3）观察函数图象，可得出：①关于y轴对称，②当0＜x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大.
故答案为：①关于y轴对称，②当0＜x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）观察函数图象可知：函数y=x2-2|x|-3的图象与y=-3只有3个交点.交点坐标为（-2，-3），（-3，0），（2，-3）
∴方程 的根为-2，0，2.
故答案为：-2，0，2.
【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象即可求得；②当x＞0时，根据图象即可得到y随x的变化规律；（4）根据y=x2-2|x|-3的图象与直线y=-3的交点，即可得到结论.
四、待定系数法求二次函数解析式
12．（2022·威海模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据表格可得到点（-1，0）、（0，3）、（3，0）
设抛物线的解析式为
将（0，3）代入解析式得
解得
解析式为
故答案为：．
【分析】根据待定系数法求解析式即可.
13．（2021九上·温州月考）已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， ）
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，－ ）是否落在抛物线上，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（－1，2），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+2，
将（0， ）代入得，a=- ，
∴抛物线的解析式为y=- （x+1）2+2；
（2）解：将P的横坐标x=2代入抛物线，则y=- ，
所以P点落在抛物线上.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+2，将点（0，）代入可得a，据此可得抛物线的解析式；
（2）将x=2代入抛物线中求出y，据此判断.
14．（2022九上·定南期中）在如图所示的直角坐标系中，已知正方形的边长为，且，
（1）求图像经过，，三点的二次函数的表达式；
（2）求（1）中二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：已知正方形的边长为，且，
∴，，，
设二次函数的表达式，
∴，解方程组得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：已知二次函数的表达式为，
∴将二次函数的一般式配方为顶点式得，
∴二次函数的顶点坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出点E、F、B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标。
15．（2023·杭州）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】（1）解：把（-1，4），（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
解得：，
∴；
（2）解：∵（0，1），（2，1）在y=ax2+bx+1图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当a＞0时，则x＜1时，y随x的增大而减小，
当a＜0时，则x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）解：把（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
∴
∴，
把（-1，m）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（1，n）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（3，p）代入y=ax2-2ax+1得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（-1，4），（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴直线为x=1，进而分a＞0与a＜0两种情况，由函数的增减性作答即可；
（3）把点（2，1）代入y=ax2+bx+1，得b=-2a，从而得抛物线的解析式为y=ax2-2ax+1，然后分别把（-1，m）、（1，n）、（3，p）代入y=ax2-2ax+1算出m、n、p的值，可得m=p，进而再由m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，可得关于字母a的不等式组，求解即可得出a的取值范围.
五、二次函数的平移变换
16．（2023九上·诸暨期末）要得到二次函数图象，需将的图象（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，
∴将抛物线y=-x2向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=-x2+2x-2.
故答案为：D
【分析】先将抛物线y=-x2+2x-2转化为顶点坐标，再利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可得答案.
17．（2023九上·韩城期末）将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：依题意得抛物线为：
，
为“平衡点”，
既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
解得或，
，
，
故答案为：A.
【分析】依题意得抛物线C2为：y=(x-1-m)2-3，（3，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，代入求解可得m、n的值.
18．（2023九下·长沙月考）将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为.
故答案为：.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，进而根据将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，即可得出答案.
19．（2023·鹿城模拟）如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点B.
（1）求h的值及点B的坐标.
（2）将该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，若，求m的值.
【答案】（1）解：将代入抛物线中，
得：，解得：，
即：抛物线为：，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵抛物线向右平移个单位长度，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，
∴平移后抛物线，，
当时，，则
∵，
∴，整理得
解得：或（舍去）
∴.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（6，0）代入 抛物线 可求出h的值，从而得到抛物线的解析式，进而将x=0代入抛物线的解析式算出对应的y的值，可得点B的坐标；
（2）根据平移规律“左加右减”可得抛物线平移后的解析式为 ，根据点的坐标的平移规律“左减右加”可得点D（6+m，0），令解析式中的x=0算出对应的函数值可表示出点C的坐标为 ，根据OD=OC，建立方程求解可得m的值.
20．（2023九上·澄城期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴的正半轴交于点 ，它的对称轴与抛物线 交于点 ．若四边形 是正方形，则 的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=ax2+bx，当y=0时，ax2+bx=0，
解之：x1=0，x2=，
∴点A（，0）
∵四边形ABOC是正方形，
∴点B（），
∵抛物线y=ax2经过点B，
，
解之：b1=0（舍去），b2=-2
∴b=-2.
故答案为：-2
【分析】利用抛物线y=ax2+bx，当y=0时，可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，利用正方形的对角线互相垂直平分，可求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线y=ax2，可求出b的值.
六、二次函数的对称变化
21．（2020九上·青岛月考）二次函数y=2x2 -12x+5关于x轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为 .
【答案】y= -2（x-3）2+13
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：根据题意，所求的抛物线是-y=2x2-12x+5，化简得：y=-2x2+12x-5，
化为顶点式为：y= -2（x-3）2+13.
故答案为：y= -2（x-3）2+13.
【分析】已知函数关于x轴对称的解析式为-y=2x2-12x+5，整理后化为顶点式即可.
22．（2023·阎良模拟）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于抛物线，
当时，，
对于抛物线，
当时，，
抛物线与抛物线关于直线对称，
与关于直线对称，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由轴对称的性质可知，两抛物线上的点也关于直线x=2对称，先求得两抛物线上关于x=2对称的一对点的坐标，再利用轴对称的性质可知两点的纵坐标相等，进而求得b-c的值.
23．（2023·济阳模拟）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵关于y轴对称的图象的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标是，
∴原函数解析式为，
∴，即．
当时，，
∴，
∴，
即，
∴m的最小整数值为4．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出抛物线的顶点坐标是，再求出，最后求解即可。
24．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
七、利用二次函数对称轴、最值求参数值
25．（2023·宿州模拟）若拋物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：由得，
，
抛物线的顶点坐标为，
顶点在第二象限，
，
解得：，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再根据顶点在第二象限，求解即可。
26．（2023·温州模拟）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=ax2-8ax+2=a（x-4）2+2-16a，
∵将其图象向左平移m个单位后过点（5，2），
∴平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，
∴a（5-4+m）2+2-16a=2，
解之：m1=3，m2=-5（舍去）.
∴m的值为3.
故答案为：B
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，然后将点（5，2）代入可求出符合题意的m的值.
27．（2023九上·海曙期末）已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：把代入，则
∴
∵
∴当时，有最大值，最大值为
故答案为：.
【分析】将P（m，n）代入y=x2+4中可得n=m2+4，则m-n=-(m-)2-，然后根据二次函数的性质可得最大值.
28．（2023九上·靖江期末）已知抛物线的顶点在y轴上，则k的值是 .
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据顶点在y轴上可得x==0，代入求解可得k的值.
29．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
八、利用二次函数增减性求参数范围
30．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
31．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分032．（2023九上·温州期末）已知抛物线、、是常数，经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（1，0）和点（0， 3），
∴c＝ 3，a＋b＋c＝0，
即b＝3 a，
∵顶点在第三象限，经过点A（1，0）和点B（0， 3），
∴a＞0，，
∴b＞0，
∴b＝3 a＞0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3
∵m＝2a b＋c＝2a （3 a）＋（ 3）＝3a 6，
∵0＜a＜3，
∴0＜3a＜9
∴ 6＜3a 6＜3，
∴ 6＜m＜3．
故答案为：B.
【分析】将A、B两点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得c＝ 3，b＝3 a，由顶点在第三象限，经过点A（1，0）和点B（0， 3），可得出：a＞0，，即可推出0＜a＜3，进而用含a的式子表示出m，再根据不等式的性质求出3a 6的范围即可．
33．（2023九上·沭阳期末）已知函数在的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
∵
∴当时，函数有最小值为：，
当时：，
由抛物线的对称性可知：当时，，
∵函数在的最大值是1，最小值是，
∴；
故答案为：.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向以及对称轴、最小值，令x=1，求出y的值，由抛物线的对称性可知：当x=-2时，y=1，然后结合题意可得m的范围.
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