专题1.3二次函数的图像性质（二）【八大题型】2023~2024学年九年级上册数学第1章二次函数（浙教版）
一、利用二次函数图像性质判断函数值大小
1．（2022九上·北京市开学考）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·舟山期中）若二次函数的图象经过A、B、C三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·富阳期末）已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
二、利用二次函数图像性质求参数特定值或取值范围
5．（2022九上·渝中开学考）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
6．（2023九上·富阳期末）已知二次函数的图象经过点和.
（1）求，满足的关系式；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围.
7．（2023九上·滨江期末）已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·诸暨期末）二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
三、根据分段函数最值求参数的值
9．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2022九上·北仑期中）当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
11．（2022九上·嘉兴期中）已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（ ）
A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5
12．（2023·平阴模拟）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．1或
13．（2023九上·诸暨期末）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
四、根据分段函数的最值求参数取值范围
14．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023九上·沭阳期末）已知函数在的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是 .
五、利用二次函数图像性质求最值
16．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
17．（2023·陕西）在平面直角坐标系中，二次函数为常数的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
18．（2023·慈溪模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
19．（2023·南湖模拟）已知二次函数的图象经过点，且满足.当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
六、二次函数对称性的运用
20．（2022九上·渝中开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与x轴重合，顶点 A、D在抛物线上．若抛物线的顶点到x轴的距离比长4，则c的值为 ．
21．（2023·榆树模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是 ．
22．（2023·长春模拟）如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上．若点O是边的中点，则正方形的边长为 ．
23．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
七、二次函数与一次函数图像共存问题
24．（2022九上·临淄期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022九上·京山期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2022九上·温州月考）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
八、二次函数图像与系数关系的一般性结论
28．（2022九上·翁源期末）如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2021九上·玄武期末）二次函数 （a、b、c是常数，且 ）的图象如图所示，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（2022九上·北京市开学考）已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图象上，则；④．其中一定正确的结论的序号是 ．
31．（2023九上·福州开学考）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：方法一、把A，B ，C分别代入得：，∴故C正确，A、B、D错误；
方法二、抛物线的对称轴是直线x=-1，所以点A（-2，y1）在抛物线上的对称点是（0，y1），
又a=2>0，∵-1<0<1，∴y2故答案为：C.
【分析】方法一、因为二次函数解析式已知，且三个点的横坐标已知，所以代入法求函数值，进而比较三个函数值的大小。
方法二、利用二次函数的对称性，把不在对称轴同侧的点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性判断函数值的大小。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-6x+c=（x-3）2+c-9，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，当x＜3时y随x的增大而减小，开口向上，
∴点C关于直线x=3的对称点为（，y3），
∴-1＜＜2，
∴y1＞y3＞y2即y2＜y3＜y1.
故答案为：C
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知抛物线的对称轴为直线x=3，当x＜3时y随x的增大而减小，开口向上，可得到点C关于直线x=3的对称点为（，y3），由此可得到y1、y3、y2的大小关系.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，据此判断.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： 二次函数的图像与 轴无交点，
∴
答案为：A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系及根与判别式的关系，求判别式小于0时的k解集。
6．【答案】（1）解：把和分别代入函数式，
得方程组.
由这个方程组得.
所以，满足的关系式为
（2）解：∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且，
∴.
∵，
∴，解得.
所以的取值范围是
（3）解：由（1）得，，
又∵函数图象与轴无交点，
∴，解得.
∵，
∴当时，的最小值为，当时，.
∴的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，1）、B（2，4）代入y=ax2+bx+c中并化简可得a+b的值；
（2）由题意可得≤-1，结合b=1-a可得a的范围；
（3）由（1）得c=1-a+b=2-2a，根据函数图象与x轴无交点可得△=b2-4ac<0，求出a的范围，易得a2+b2=2a2-2a+1，然后根据二次函数的性质进行解答.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故答案为：B.
【分析】由题意可得：抛物线开口向上，则m-2>0，求解可得m的范围.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向上，再根据当x＞1时y随x的增大而增大，可得到抛物线的对称轴x≤2，据此可得到关于b的不等式，然后求出不等式的解集.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当m＜-2，x＝-2时，y最大＝-（-2-m）2+m2+1＝4，解得m＝-（舍），
当-2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝-；
当m＞1，x＝1时，y最大＝-（1-m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为-或2，
故答案为：B.
【分析】二次函数的对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1和m＞1三种情况，然后根据二次函数的增减性及最大值为4分布建立方程并解之即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把代入，得；把代入，得，
当，即时，，，
，
，即，
解得，，
当，即时，，，
，
，即，
解得，舍去，
当时，实数的值为-3或-1或5.
故答案为：A.
【分析】把x=2a、x=2a+2分别代入二次函数解析式中可得y=5，y=4a+9，当2a≤a，即a≤0时，y1=5，y2=4a+9，结合y1-y2=a2-1可得a的值；当2a>a，即a>0时，y1=4a+9，y2=5，结合y1-y2=a2-1可得a的值.
12．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，
∵对称轴为，
当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为，
∴．
∴，
当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为，
∴，
∴．
综上，a的值为．
故答案为：B．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再结合最值分别求出a的值即可。
13．【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意.
综上，.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将（0，3）、（6，3）代入y=x2+bx+c中进行计算可得b、c的值；
（2）根据b、c的值可得二次函数的解析式，则顶点坐标为（3，-6），开口向上，当x=3时，y取得最小值；当x=0时，y取得最大值，然后求差即可；
（3）根据二次函数的解析式可得当x≤3时，y随x的增大而减小；当x≥3时，y随x的增大而增大，①当k-4≤3≤k，即3≤k≤7时，在x=3处取得最小值，在x=k处取得最大值，然后根据最大值与最小值之差为8就可求出k的值；①当3≤k-4，即k≥7时，在x=k-4处取得最小值，在x=k处取得最大值，同理求解即可.
14．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分015．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
∵
∴当时，函数有最小值为：，
当时：，
由抛物线的对称性可知：当时，，
∵函数在的最大值是1，最小值是，
∴；
故答案为：.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向以及对称轴、最小值，令x=1，求出y的值，由抛物线的对称性可知：当x=-2时，y=1，然后结合题意可得m的范围.
16．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
17．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把 代入 ，得
，
，，
二次函数对称轴在轴左侧，
，
，
，
，
当时，有最小值，
故答案为：D.
【分析】先用待定系数法解出函数解析式，再将一般式化为顶点式，得到函数的最值.
18．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y2=ax2+2bx+1有最小值，
∴a>0.
∵y1=x2+2bx+a=(x+b)2-b2+a，y2=ax2+2bx+1=a(x+)2-+1，
∴y1的最小值为m=a-b2，y2的最小值为n=-+1=.
∵m+n=0，
∴(a-b2)+=0，
∴(a-b2)(1+)=0，
∴a=b2，
∴m=0，n=0，
∴mn=0.
故答案为：A.
【分析】根据y2有最小值可得a>0，将y1、y2化为顶点式，可得最小值m、n，由m+n=0可得a=b2，据此可得m、n的值，进而不难求出mn的值.
19．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴交于两点，
图象开口向下，对称轴为直线，
，
，
当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，
，，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=c，图象开口向下，则当-1≤x≤1时，函数的最大值是x=c时所对应的的函数值，函数的最小值是x=-1时所对应的的函数值，分别表示出m、n，据此解答.
20．【答案】6
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 抛物线
∴
∴顶点坐标（0，c）
∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4 ，ABCD是正方形
∴D的坐标可表示为（，c-4）
把D点坐标代入解析式
∴
解得c=6或c=2（不符题意舍去）
故答案为：6
【分析】根据抛物线上点的坐标性质，正确设出顶点坐标，根据题意表示出D点坐标，代入解析式即可求解。
21．【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，且A，B关于直线x=-2对称，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=2，
∴AB=4，DE=AB=2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=BC =OC=AB=4， EF=4+2=6，
∴A(0，-4)，E(-2，-6)，
∴由题意可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴是直线x=-2，且A，B关于直线x=-2对称，再利用正方形的性质求出OA=BC =OC=AB=4， EF=4+2=6，最后将点A，点E的坐标代入函数解析式计算求解即可。
22．【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】根据点O是BC的中点，设OB=OC=BC=m，且m＞0，
∵正方形ABCD，
∴DC=BC=2m，DC⊥BC，
∴D（-2m，-m），
将点D的坐标代入 ，
可得：-m=，
解得：，
设正方形CEFG的边长为n，且n＞0，
∴CE=EF=n，
∴OE=OC+CE=+n，
∴F（n，），
将点F的坐标代入，
可得，
解得：
故答案为：
【分析】设OB=OC=BC=m，先求出点D的坐标，设正方形CEFG的边长为n，再利用正方形的性质求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入解析式求出n的值即可。
23．【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
24．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，图象经过一、二、三象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，一致，故此选项符合题意；
B、由抛物线可知，图象经过一、二、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
C、由抛物线可知，图象经过二、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
D、由抛物线可知，图象经过一、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向下，对称轴在y轴的左侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一次函数、二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
25．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图象的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论。
26．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点（0，c），该选项符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于二次函数y=ax2+c（a≠0），由于一次项系数b=0，故对称轴一定是y轴，当a＞0，图象开口向上，当a＜0，图象开口向下；当c＞0，图象交y轴的正半轴，c=0，图象经过坐标原点，c＜0，图象交y轴的负半轴，
从而一一判断得出答案.
27．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、一次函数系数a＞0，二次函数系数a＜0，相互矛盾，不符合题意；
B、一次函数系数a＜0，b＞0，二次函数系数a＜0，b＞0，符合题意；
C、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意；
D、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数和二次函数图象可得出a和b符号是否相同，再进行判断，如A、C、D选项中一次函数和二次函数的系数a符号均不相同，即可排除，进而确定B选项符合题意.
28．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
当时，，
，错误；
抛物线与轴有两个交点，
，正确；
抛物线经过点， 对称轴为直线，
抛物线经过点，
，
，
，正确；
观察图象可得当时，有最大值，
，
，错误；
当时，，
当时，，
当时，有最大值，
，
，正确，
故答案为：C.
【分析】由抛物线图象的开口方向可得a<0，利用对称轴可得b>0，再根据抛物线图象与y轴的交点坐标得到c>0，从而证得错误；由抛物线图象与x轴有两个交点可得可判定正确；根据抛物线图象的对称性得到抛物线经过点，将点坐标代入函数解析式求得3a+c=0，判定正确；利用抛物线图象的增减性可判定错误；观察图象可得当x=1时，y有最大值，进而判定正确.
29．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误；
对称轴为x= - = - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a b+c ＞0，所以③ 正确；
由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确；
所以正确的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】由于抛物线开口向下得出a＜0，由对称轴在y轴的左侧，a、b同号，得出b＜0，由与y轴的交点在y轴的正半轴得出c＞0，据此判断①；由于对称轴为x= - = - 1，可得b=2a，据此判断②；由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，x=-3时，y=9a-3b+c＜0，据此判断③④.
30．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴y=a(x+2)(x-m)，
∵抛物线与y轴交于正半轴上一点，∴x=0时，y>0，∴-2ma>0，
∵2∵抛物线与x轴有两个交点，∴∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴直线
又∵当m=3时，对称轴直线x=，这时点 ， 关于对称轴对称，即y1=y2，故③错误；
∵抛物线过点A（-2，0），∴4a-2b+c=0，∴2b=4a+c，
又2∴∴ ，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】利用二次函数近似图像可以判定a的正负，也可以利用交点式准确的推理得出a<0；由抛物线与x轴有两个交点，可以判定，利用不等式的基本性质变形判定 ，通过举特例判定y1=y2，再由已知点A（-2，0）代入抛物线解析式可得a、b、c的数量关系，再由对称轴得b和a的不等关系，两者组合可得 ．
31．【答案】①②
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=c=-2，当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①正确；
∵x=-2时，y=t，
∴-2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴为直线，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②正确；
∵b=-a，c=-2，
∴二次函数解析式：y=ax2-ax-2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，抛物线对称轴为直线，
∴m=n=2a-2，
∴；③错误，
故答案为：①②.
【分析】根据表中数据可知a+b=0，抛物线对称轴为直线，根据题意可得在对称轴左侧，y随x增大而减小，推得a＞0，b＜0；根据x=-2时，y=t，结合抛物线的对称轴可得-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；结合a+b=0，可得二次函数解析式：y=ax2-ax-2，根据题意可得m+n=4a-4，即可得出结论.
1 / 1专题1.3二次函数的图像性质（二）【八大题型】2023~2024学年九年级上册数学第1章二次函数（浙教版）
一、利用二次函数图像性质判断函数值大小
1．（2022九上·北京市开学考）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：方法一、把A，B ，C分别代入得：，∴故C正确，A、B、D错误；
方法二、抛物线的对称轴是直线x=-1，所以点A（-2，y1）在抛物线上的对称点是（0，y1），
又a=2>0，∵-1<0<1，∴y2故答案为：C.
【分析】方法一、因为二次函数解析式已知，且三个点的横坐标已知，所以代入法求函数值，进而比较三个函数值的大小。
方法二、利用二次函数的对称性，把不在对称轴同侧的点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性判断函数值的大小。
2．（2022九上·舟山期中）若二次函数的图象经过A、B、C三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-6x+c=（x-3）2+c-9，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，当x＜3时y随x的增大而减小，开口向上，
∴点C关于直线x=3的对称点为（，y3），
∴-1＜＜2，
∴y1＞y3＞y2即y2＜y3＜y1.
故答案为：C
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知抛物线的对称轴为直线x=3，当x＜3时y随x的增大而减小，开口向上，可得到点C关于直线x=3的对称点为（，y3），由此可得到y1、y3、y2的大小关系.
3．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
4．（2023九上·富阳期末）已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，据此判断.
二、利用二次函数图像性质求参数特定值或取值范围
5．（2022九上·渝中开学考）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： 二次函数的图像与 轴无交点，
∴
答案为：A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系及根与判别式的关系，求判别式小于0时的k解集。
6．（2023九上·富阳期末）已知二次函数的图象经过点和.
（1）求，满足的关系式；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围.
【答案】（1）解：把和分别代入函数式，
得方程组.
由这个方程组得.
所以，满足的关系式为
（2）解：∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且，
∴.
∵，
∴，解得.
所以的取值范围是
（3）解：由（1）得，，
又∵函数图象与轴无交点，
∴，解得.
∵，
∴当时，的最小值为，当时，.
∴的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，1）、B（2，4）代入y=ax2+bx+c中并化简可得a+b的值；
（2）由题意可得≤-1，结合b=1-a可得a的范围；
（3）由（1）得c=1-a+b=2-2a，根据函数图象与x轴无交点可得△=b2-4ac<0，求出a的范围，易得a2+b2=2a2-2a+1，然后根据二次函数的性质进行解答.
7．（2023九上·滨江期末）已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故答案为：B.
【分析】由题意可得：抛物线开口向上，则m-2>0，求解可得m的范围.
8．（2023九上·诸暨期末）二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向上，再根据当x＞1时y随x的增大而增大，可得到抛物线的对称轴x≤2，据此可得到关于b的不等式，然后求出不等式的解集.
三、根据分段函数最值求参数的值
9．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
10．（2022九上·北仑期中）当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当m＜-2，x＝-2时，y最大＝-（-2-m）2+m2+1＝4，解得m＝-（舍），
当-2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝-；
当m＞1，x＝1时，y最大＝-（1-m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为-或2，
故答案为：B.
【分析】二次函数的对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1和m＞1三种情况，然后根据二次函数的增减性及最大值为4分布建立方程并解之即可.
11．（2022九上·嘉兴期中）已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（ ）
A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把代入，得；把代入，得，
当，即时，，，
，
，即，
解得，，
当，即时，，，
，
，即，
解得，舍去，
当时，实数的值为-3或-1或5.
故答案为：A.
【分析】把x=2a、x=2a+2分别代入二次函数解析式中可得y=5，y=4a+9，当2a≤a，即a≤0时，y1=5，y2=4a+9，结合y1-y2=a2-1可得a的值；当2a>a，即a>0时，y1=4a+9，y2=5，结合y1-y2=a2-1可得a的值.
12．（2023·平阴模拟）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．1或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，
∵对称轴为，
当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为，
∴．
∴，
当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为，
∴，
∴．
综上，a的值为．
故答案为：B．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再结合最值分别求出a的值即可。
13．（2023九上·诸暨期末）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意.
综上，.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将（0，3）、（6，3）代入y=x2+bx+c中进行计算可得b、c的值；
（2）根据b、c的值可得二次函数的解析式，则顶点坐标为（3，-6），开口向上，当x=3时，y取得最小值；当x=0时，y取得最大值，然后求差即可；
（3）根据二次函数的解析式可得当x≤3时，y随x的增大而减小；当x≥3时，y随x的增大而增大，①当k-4≤3≤k，即3≤k≤7时，在x=3处取得最小值，在x=k处取得最大值，然后根据最大值与最小值之差为8就可求出k的值；①当3≤k-4，即k≥7时，在x=k-4处取得最小值，在x=k处取得最大值，同理求解即可.
四、根据分段函数的最值求参数取值范围
14．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分015．（2023九上·沭阳期末）已知函数在的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
∵
∴当时，函数有最小值为：，
当时：，
由抛物线的对称性可知：当时，，
∵函数在的最大值是1，最小值是，
∴；
故答案为：.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向以及对称轴、最小值，令x=1，求出y的值，由抛物线的对称性可知：当x=-2时，y=1，然后结合题意可得m的范围.
五、利用二次函数图像性质求最值
16．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
17．（2023·陕西）在平面直角坐标系中，二次函数为常数的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把 代入 ，得
，
，，
二次函数对称轴在轴左侧，
，
，
，
，
当时，有最小值，
故答案为：D.
【分析】先用待定系数法解出函数解析式，再将一般式化为顶点式，得到函数的最值.
18．（2023·慈溪模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y2=ax2+2bx+1有最小值，
∴a>0.
∵y1=x2+2bx+a=(x+b)2-b2+a，y2=ax2+2bx+1=a(x+)2-+1，
∴y1的最小值为m=a-b2，y2的最小值为n=-+1=.
∵m+n=0，
∴(a-b2)+=0，
∴(a-b2)(1+)=0，
∴a=b2，
∴m=0，n=0，
∴mn=0.
故答案为：A.
【分析】根据y2有最小值可得a>0，将y1、y2化为顶点式，可得最小值m、n，由m+n=0可得a=b2，据此可得m、n的值，进而不难求出mn的值.
19．（2023·南湖模拟）已知二次函数的图象经过点，且满足.当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴交于两点，
图象开口向下，对称轴为直线，
，
，
当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，
，，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=c，图象开口向下，则当-1≤x≤1时，函数的最大值是x=c时所对应的的函数值，函数的最小值是x=-1时所对应的的函数值，分别表示出m、n，据此解答.
六、二次函数对称性的运用
20．（2022九上·渝中开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与x轴重合，顶点 A、D在抛物线上．若抛物线的顶点到x轴的距离比长4，则c的值为 ．
【答案】6
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 抛物线
∴
∴顶点坐标（0，c）
∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4 ，ABCD是正方形
∴D的坐标可表示为（，c-4）
把D点坐标代入解析式
∴
解得c=6或c=2（不符题意舍去）
故答案为：6
【分析】根据抛物线上点的坐标性质，正确设出顶点坐标，根据题意表示出D点坐标，代入解析式即可求解。
21．（2023·榆树模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，且A，B关于直线x=-2对称，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=2，
∴AB=4，DE=AB=2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=BC =OC=AB=4， EF=4+2=6，
∴A(0，-4)，E(-2，-6)，
∴由题意可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴是直线x=-2，且A，B关于直线x=-2对称，再利用正方形的性质求出OA=BC =OC=AB=4， EF=4+2=6，最后将点A，点E的坐标代入函数解析式计算求解即可。
22．（2023·长春模拟）如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上．若点O是边的中点，则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】根据点O是BC的中点，设OB=OC=BC=m，且m＞0，
∵正方形ABCD，
∴DC=BC=2m，DC⊥BC，
∴D（-2m，-m），
将点D的坐标代入 ，
可得：-m=，
解得：，
设正方形CEFG的边长为n，且n＞0，
∴CE=EF=n，
∴OE=OC+CE=+n，
∴F（n，），
将点F的坐标代入，
可得，
解得：
故答案为：
【分析】设OB=OC=BC=m，先求出点D的坐标，设正方形CEFG的边长为n，再利用正方形的性质求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入解析式求出n的值即可。
23．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
七、二次函数与一次函数图像共存问题
24．（2022九上·临淄期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，图象经过一、二、三象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，一致，故此选项符合题意；
B、由抛物线可知，图象经过一、二、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
C、由抛物线可知，图象经过二、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
D、由抛物线可知，图象经过一、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向下，对称轴在y轴的左侧，，，不一致，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一次函数、二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
25．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图象的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论。
26．（2022九上·京山期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点（0，c），该选项符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，矛盾，该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于二次函数y=ax2+c（a≠0），由于一次项系数b=0，故对称轴一定是y轴，当a＞0，图象开口向上，当a＜0，图象开口向下；当c＞0，图象交y轴的正半轴，c=0，图象经过坐标原点，c＜0，图象交y轴的负半轴，
从而一一判断得出答案.
27．（2022九上·温州月考）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、一次函数系数a＞0，二次函数系数a＜0，相互矛盾，不符合题意；
B、一次函数系数a＜0，b＞0，二次函数系数a＜0，b＞0，符合题意；
C、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意；
D、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数和二次函数图象可得出a和b符号是否相同，再进行判断，如A、C、D选项中一次函数和二次函数的系数a符号均不相同，即可排除，进而确定B选项符合题意.
八、二次函数图像与系数关系的一般性结论
28．（2022九上·翁源期末）如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
当时，，
，错误；
抛物线与轴有两个交点，
，正确；
抛物线经过点， 对称轴为直线，
抛物线经过点，
，
，
，正确；
观察图象可得当时，有最大值，
，
，错误；
当时，，
当时，，
当时，有最大值，
，
，正确，
故答案为：C.
【分析】由抛物线图象的开口方向可得a<0，利用对称轴可得b>0，再根据抛物线图象与y轴的交点坐标得到c>0，从而证得错误；由抛物线图象与x轴有两个交点可得可判定正确；根据抛物线图象的对称性得到抛物线经过点，将点坐标代入函数解析式求得3a+c=0，判定正确；利用抛物线图象的增减性可判定错误；观察图象可得当x=1时，y有最大值，进而判定正确.
29．（2021九上·玄武期末）二次函数 （a、b、c是常数，且 ）的图象如图所示，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误；
对称轴为x= - = - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a b+c ＞0，所以③ 正确；
由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确；
所以正确的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】由于抛物线开口向下得出a＜0，由对称轴在y轴的左侧，a、b同号，得出b＜0，由与y轴的交点在y轴的正半轴得出c＞0，据此判断①；由于对称轴为x= - = - 1，可得b=2a，据此判断②；由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，x=-3时，y=9a-3b+c＜0，据此判断③④.
30．（2022九上·北京市开学考）已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图象上，则；④．其中一定正确的结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴y=a(x+2)(x-m)，
∵抛物线与y轴交于正半轴上一点，∴x=0时，y>0，∴-2ma>0，
∵2∵抛物线与x轴有两个交点，∴∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴直线
又∵当m=3时，对称轴直线x=，这时点 ， 关于对称轴对称，即y1=y2，故③错误；
∵抛物线过点A（-2，0），∴4a-2b+c=0，∴2b=4a+c，
又2∴∴ ，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】利用二次函数近似图像可以判定a的正负，也可以利用交点式准确的推理得出a<0；由抛物线与x轴有两个交点，可以判定，利用不等式的基本性质变形判定 ，通过举特例判定y1=y2，再由已知点A（-2，0）代入抛物线解析式可得a、b、c的数量关系，再由对称轴得b和a的不等关系，两者组合可得 ．
31．（2023九上·福州开学考）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=c=-2，当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①正确；
∵x=-2时，y=t，
∴-2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴为直线，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②正确；
∵b=-a，c=-2，
∴二次函数解析式：y=ax2-ax-2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，抛物线对称轴为直线，
∴m=n=2a-2，
∴；③错误，
故答案为：①②.
【分析】根据表中数据可知a+b=0，抛物线对称轴为直线，根据题意可得在对称轴左侧，y随x增大而减小，推得a＞0，b＜0；根据x=-2时，y=t，结合抛物线的对称轴可得-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；结合a+b=0，可得二次函数解析式：y=ax2-ax-2，根据题意可得m+n=4a-4，即可得出结论.
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