2023--2024学年浙教版八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识单元测试卷（2）（含答案）

第1章《三角形的初步知识》单元测试卷（2）
本卷满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的3根小木棒，不能搭成三角形的是(　 　)
A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，4 cm，5 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
2．如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射线AN是∠BAC的平分线的过程中，错误的是(　 　)
A．由作弧可知AE＝AF
B．由作弧可知FP＝EP
C．由SAS证明△AFP≌△AEP
D．由△AFP≌△AEP得到∠FAP＝∠EAP
3．小桐把一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠1＝60°，则∠2的度数为(　 　)
A．140° B．150°
C．160° D．170°
4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G.若∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，则∠1的度数为(　 　)
A．50° B．55°
C．60° D．65°
5．如图，在△ABC中，BC边上的高为h1，在△DEF中，DE边上的高为h2.下列结论中，正确的是(　 　)
A．h1>h2 B．h1C．h1＝h2 D．无法确定
6．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为(　 　)
A．14 B．21
C．28 D．32
7．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA.若∠A＝30°，∠CGF＝85°，则∠E的度数为(　 　)
A．35° B．40°
C．45° D．50°
8．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是(　 　)
A．AC⊥BD B．AO＝CO＝AC
C．△ABD≌△CBD D．AO＋DO＝BO
9．在如图所示的七角星形中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝(　 　)
A．180° B．90°
C．270° D．360°
10．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　 　）
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，已知△ACF≌△DBE，AD＝9 cm，BC＝5 cm，则AB的长为________cm.
12．一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2.若∠3＝100°，则∠1的度数为________°.
13．将一副三角尺按如图所示的方式放置．若∠1＝90°，则∠2的度数为________°.
14．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE，CF相交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为__________°.
15．如图，已知四边形ABCD是长方形，依据尺规作图的痕迹，可知∠α＝_________°.
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝8 cm，CD＝14 cm，∠B＝∠C，E为线段AB的中点．点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为_______________cm/s时，有一个时刻能够使△BPE与以C，P，Q三点为顶点的三角形全等．
二、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（本题6分）如图，AC与BD相交于点O，AD＝BC，∠D＝∠C，求证：BD＝AC.
18．（本题6分）一个零件的形状如图所示，已知∠B和∠C应分别是19°和23°，按规定∠A应等于70°这个零件才合格，而某质检员测得∠BDC＝111°，就断定这个零件不合格．这是怎么回事呢？聪明的小东想到了原因：延长CD，与AB相交于点E……
请你运用三角形的有关知识帮小东补充完整说理过程．
19．（本题6分）如图，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知△ACD的周长是14，AB－AC＝2，求AB和AC的长．
20．（本题8分）已知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC.
21．（本题8分）如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AD∥BC，E是线段AC上的一点，AE＝BC且DE⊥AB于点F，交AC于点E，连结DC.
(1)求证：AB＝DE.
(2)若BC＝4，CE＝3，求AD的长．
22．（本题10分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD.
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
23．（本题10分）(1)如图1，A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE.求证：DE＝BD＋CE.
(2)若点A在ED的延长线上，其余条件与(1)相同，如图2，线段DE，BD，CE 之间又有怎样的数量关系？请说明理由．
24．（本题12分）已知在四边形ABCD中，∠DAB＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝BC，点E，F分别在射线DA，DC上，满足EF＝AE＋CF.
(1)如图1，若点E，F分别在线段DA，DC上，求证：∠EBF＝90°－∠ADC.
(2)如图2，若点E，F分别在线段DA，DC的延长线上，请直接写出∠EBF与∠ADC的数量关系．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．选A.
2．选C.
3．选B.
4．选C.
【解析】 ∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠AED＝105°，
∠D＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝180°－∠ACB＝75°.
∵∠1＋∠D＝∠AFG＝∠CAD＋∠ACF，
即∠1＋30°＝15°＋75°，
∴∠1＝60°.
5．选C.
【解析】 如答图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥DE，交DE的延长线于点N，则AM＝h1，FN＝h2.
　
在△AMC和△FNE中，
∵AM⊥BC，FN⊥DE，
∴∠AMC＝∠FNE＝90°.
∵∠FED＝115°，
∴∠FEN＝180°－∠FED＝65°＝∠ACM.
又∵AC＝2.4＝FE，
∴△AMC≌△FNE(AAS)，
∴AM＝FN，即h1＝h2.
6．选C.
7．选B.
【解析】 ∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，
∴∠BCD＝∠CGF－∠D＝55°.
又∵CD平分∠BCA，
∴∠BCA＝2∠BCD＝110°，
∴∠E＝∠B＝180°－∠A－∠BCA＝40°.
8．选D.
9．选A.
【解析】 如答图，设BE，CF，DG相交于点H，AE，BF，DG相交于点P.
由三角形的外角性质，得∠DPE＝∠A＋∠D，∠EHF＝∠B＋∠F，∠FHG＝∠C＋∠G.
又∵∠DPE＋∠EHF＋∠FHG＋∠E＝∠HPE＋∠EHP＋∠E＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°.
10．选D.
【解析】解：①在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即BE＝CD，
在△EBM和△DCM中，
，
∴△EBM≌△DCM（AAS），
故①正确；
②∵AF⊥CE，AG⊥BD，
∴∠AFM＝∠AGM＝90°，
∴∠FAG+∠FMG＝180°，
∵∠FMG+∠EMB＝180°，
∴∠EMB＝∠FAG，
故②正确；
③由①知：△EBM≌△DCM，
∴EM＝DM，
在△AEM和△ADM中，
，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，
∴MA平分∠EMD；
故③正确；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEN和△BEM中，
，
∴△AEN≌△BEM（SAS），
∴AN＝BM，
由①知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
△ACN中，AC+AN＞CN，
∴BM+AC＞BD+EM，
故④正确；
⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，
∴S△ADM＝S△CDM，
∴AD＝CDAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AEAB，
∴E是AB的中点；
故⑤正确；
本题正确的有5个；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．答案：2cm.
12．答案：50°.
13．答案：75°.
14．答案：80°.
【解析】 如答图，连结BC.
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABE＝∠DBE，∠ACF＝∠DCF.
又∵∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，
∴∠DBC＋∠DCB＝180°－∠BDC＝40°，∠GBC＋∠GCB＝180°－∠BGC＝70°，
∴∠ABE＋∠ACF＝∠DBE＋∠DCF＝∠GBC－∠DBC＋∠GCB－∠DCB＝30°，
∴∠ABE＋∠ACF＋∠GBC＋∠GCB＝100°，即∠ABC＋∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.
15．答案：56°.
【解析】 如答图所示标注字母．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°.
由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°.
由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝180°－∠AEF－∠EAF＝56°，
∴∠α＝∠AFE＝56°.
16．答案：或3cm/s．
【解析】 ∵E为线段AB的中点，AB＝12 cm，
∴BE＝AB＝6 cm.
设运动时间为t(s)，点Q的运动速度为v(cm/s)，则BP＝3t(cm)，CQ＝vt(cm)．
∵BC＝8 cm，
∴CP＝(8－3t)cm.
又∵∠B＝∠C，
∴可分两种情况讨论：
①当△BEP≌△CQP时，
BE＝CQ，BP＝CP，
∴
解得t＝，v＝，此时BE＝CQ＝6 cm，BP＝CP＝4 cm，符合题意；
②当△BEP≌△CPQ时，
BE＝CP，BP＝CQ，
∴
解得t＝，v＝3，此时BE＝CP＝6 cm，BP＝CQ＝2 cm，符合题意．
综上所述，当点Q的运动速度为 cm/s 或3 cm/s时，有一个时刻能够使△BPE与以C，P，Q三点为顶点的三角形全等．
二、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（本题6分）
证明：在△OAD和△OBC中，
∵
∴△OAD≌△OBC(AAS)，
∴OD＝OC，OA＝OB，
∴OB＋OD＝OA＋OC，即BD＝AC.
18．（本题6分）
解：如答图，延长CD，与AB相交于点E.
∵∠CDB＝111°，∠B＝19°，∴∠CEB＝∠CDB－∠B＝111°－19°＝92°.
又∵∠C＝23°，∴∠A＝∠CEB－∠C＝92°－23°＝69°≠70°，
∴这个零件不合格．
19．（本题6分）
解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB＝DC.
∵△ACD的周长是14，
∴AD＋AC＋CD＝14，即AC＋AB＝14，
则
解得AB＝8，AC＝6.
20．（本题8分）
证明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∵
∴△DFC≌△DEB(AAS)，
∴DB＝DC.
21．（本题8分）
解：(1)∵∠ACB＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝180°－∠ACB＝90°＝∠ACB，
∴∠CAB＋∠DAB＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，
∴∠ADE＋∠DAB＝180°－∠AFD＝90°，
∴∠CAB＝∠ADE.
又∵CB＝AE，∴△ABC≌△DEA(AAS)，
∴AB＝DE.
(2)∵△ABC≌△DEA，
∴CA＝AD.
∵AE＝BC＝4，CE＝3，
∴CA＝CE＋AE＝7，
∴AD＝7.
22．（本题10分）
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝180°－∠ABC＝90°.
在△ABE和△CBD中，
∵
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)如答图，在△ABC中，作AC边上的中线BF，易证△CBF≌△ABF(SSS)，
∴∠BCF＝∠BAF＝＝45°.　
又∵△ABE≌△CBD，∠CAE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEA＝∠CAE＋∠BCF＝75°.
23．（本题10分）
解：(1)∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠DBA＋∠DAB＝180°－∠D＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＋∠EAC＝180°－∠BAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC.
在△ADB和△CEA中，
∵
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)DE＝BD－CE.理由如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝180°－∠ADB＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∵
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE－AD＝BD－CE.
24．（本题12分）
解：(1)如答图1，延长DA至点H，使AH＝CF，连结BH.
∵∠DAB＋∠BCD＝180°，
∠DAB＋∠BAH＝180°，
∴∠BCD＝∠BAH，即∠BCF＝∠BAH.
又∵AB＝CB，AH＝CF，
∴△HAB≌△FCB(SAS)，
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF.
又∵EF＝AE＋CF，
∴EF＝AE＋AH＝EH.
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△BEH≌△BEF(SSS)，
∴∠EBH＝∠EBF，
∴∠EBA＋∠CBF＝∠EBF，
∴∠EBF＝∠ABC＝(180°－∠ADC)＝90°－∠ADC.
(2)∠EBF＝90°＋∠ADC.
如答图2，延长CD至点H，使CH＝AE，连结BH.
∵∠DAB＋∠BCD＝180°，
∠DAB＋∠BAE＝180°，
∴∠BCD＝∠BAE，即∠BCH＝∠BAE.
又∵AB＝CB，AE＝CH，
∴△AEB≌△CHB(SAS)，
∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC.
又∵EF＝AE＋CF，
∴EF＝CH＋CF＝HF.
又∵BF＝BF，BE＝BH，
∴△EBF≌△HBF(SSS)，
∴∠EBF＝∠HBF.
∵∠EBF＋∠HBF＋∠EBA＋∠ABH＝360°，
∴2∠EBF＋∠HBC＋∠ABH＝360°，
∴2∠EBF＋∠ABC＝360°，
∴2∠EBF＋180°－∠ADC＝360°，
∴∠EBF＝90°＋∠ADC.