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浙教版2023-2024学年七上数学第3章实数 尖子生测试卷 2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．（﹣3）2的平方根是﹣3
C．1的立方根是±1 D．﹣4的平方根是±2
【答案】A
【解析】A、0的平方根是0，正确，
B、（-3）2的平方根是±3，原命题错误；
C、1的立方根是1，原命题错误；
D、-4没有平方根，原命题错误，
故答案为：A.
2．在下列结论中，正确的是（ ）．
A． B． 的算术平方根是
C． 一定没有平方根 D． 的平方根是
【答案】D
【解析】【解答】A. ， A不符合题意.
B. 的算术平方根是 |， B不符合题意.
C. 如果a取0，就有平方根.C不符合题意.
D. 的平方根是 ，D符合题意.
故答案为：D.
3．比较数 ， ， ， 的共同点，它们都是（ ）．
A．分数 B．有理数 C．无理数 D．正数
【答案】D
【解析】A. 不是分数，不符合题意；
B. 和 是无理数，不是有理数，不符合题意；
C.227， 是有理数，不是无理数，不符合题意；
D. ， ， ， 的共同点时都是正数，符合题意；
故答案为：D.
4．有下列说法：
①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；④ 是分数，它是有理数； ⑤ 的算术平方根是9. 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①无理数是无限不循环小数，则命题正确；
②实数与数轴上的点有一一对应关系，命题错误；
③在数轴上，在原点两旁，且到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，命题错误；
④ 是无理数，不是分数，则命题错误；
⑤ ，算术平方根是3，故命题错误．
则正确的有①．
故答案为：A．
5．下列说法：
①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数。其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①两个无理数的和不一定是无理数，如互为相反数的两个无理数的和为0；②两个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数.
故正确的序号为：③，
故答案为：B.
6．已知n是正整数，并且n-1<3+ A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】∵<<， 即5<<6，
∴8<3+<9，
∴n=9.
故答案为：C.
7．如果 ≈1.333， ≈2.872，那么 约等于（ ）
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
【答案】C
【解析】 .
故答案为：C.
8．下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】 ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[－2.5]=－3．现对82进行如下操作： 这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故答案为：C
10．若2m－4与3m－1是同一个正数的平方根，则m为（ ）
A．－3 B．1 C．－1 D．－3或1
【答案】D
【解析】由题意得：2m-4=3m-1或2m-4=-(3m-1)
解之：m=-3或m=1
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： ； ．
【答案】4；8
【解析】（1） ；（2）
故答案是：(1)4；(2)8.
12．如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，则图中阴影正方形的边长是 。
【答案】2
【解析】由图可知：
图中阴影正方形的边长为：，
故答案为：2.
13．在下列说法中，正确的是 （写明相应说法的编号即可）．
①若两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数；②平方根等于它本身的数是 和 ；③有理数和数轴上的点有一一对应的关系；④倒数等于它本身的数是 ；⑤ 是 的一个平方根．
【答案】①⑤
【解析】②平方根等于它本身的数是 ，错误. ③数轴上有无理数，所以有理数和数轴上的点不是一一对应的关系，错误. ④倒数等于它本身的数是 ，错误.
所以选①⑤.
14．若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为 .
【答案】
【解析】由题意可得
， ， ，∴
，
，
的平方根为 。
故答案为： 。
15．若 与 是同一个数的平方根，则 ．
【答案】 或
【解析】由题可得： 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
16．水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，用两个相同的管子在容器的 高度处连通（即管子底端离容器底 ）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高 ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水 分钟，乙的水位上升 ，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 ．
【答案】 ， ，
【解析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器，底面半径之比为 ，
∴水面上升比例为 ，
∵注水 分钟，乙的水位上升 ，
∴注水 分钟，丙的水位上升 ，
设开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为 ．
三种情况
①当乙的水位低于甲的水位时，
有 ，∴ 分钟．
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵ ，∴ 分钟，
当 时，乙水位为 ，丙水位为 ，
∴丙向乙溢，∵ ， ，
即经过 分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升 ，
若甲乙高度之差为 ，则 ，∴ ，
∴用时为 分钟，
③当乙的水位到达管子底端时，丙，乙均溢向甲，
， ，
∴ 后，乙，丙均流向甲，
，∴ ，
∴ 分钟．故答案为： ， ， .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式= =
（4）解：原式
18．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①﹣17；②π；③﹣|﹣ |；④ ；⑤ ；⑥﹣0.92；⑦ ；⑧﹣0. ；⑨1.2020020002；
（1）正实数{ }
负有理数{ }
无理数{ }
（2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算.
【答案】（1）解：正实数{②④⑤⑨}
负有理数{①③⑥⑧}
无理数{②④⑦}
（2）解：[ ﹣1﹣（﹣2+ ）+（﹣17）]÷（﹣|﹣ |）＝(-16) ÷(- )=10
19．已知2a-1的算术平方根是，a- 4b的立方根是-4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a+b的平方根．
【答案】（1）解：∵2a-1的算术平方根是，
2a-1=()2=7，
∴a=4
∵a-4b的立方根是-4
∴a-4b=(-4)3=-64，
即4-4b=-64，
∴b=17
（2）解：∵2a+b=2×4+ 17=25
∴2a+b的平方根为±=±5
20．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么 ＞ ．”然后讲了下面的一个例题：比较 和 的大小．
方法一： = = ， = = ，
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
方法二： = ×200=8， =4×3=12．
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较 和 的大小；
（2）比较 ﹣1与 ﹣ 的大小．
【答案】（1）解：（﹣5 ）2=150，（﹣6 ）2=180，150＜180，
∴
（2）解：（ ﹣1）2=8﹣2 ，（ ）2=8﹣2 ，
∵ ，
∴
21．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
22．观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）图中阴影部分的面积是多少？阴影部分正方形的边长是多少？
（2）估计边长的值在哪两个相邻整数之间？
（3）请你利用图1在数轴上用刻度尺和圆规表示阴影部分正方形边长所表示的数．
（4）请你利用图2在5×5的方格内作出边长为 的正方形．
【答案】（1）解：阴影部分面积=4×4﹣4× ×1×3=16﹣6=10，
阴影部分正方形的边长=
（2）解：∵9＜10＜16，
∴3＜ ＜4，
即边长的值在整数3和4之间
（3）解：如图，点P表示数 的点．
（4）解：如图所示，正方形ABCD即为所求．
23．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： （p， q是正整数，且 ），在n的所有这种分解中，如果p， q两因数之差的绝对值最小，我们就称 是n的最佳分解，并规定： ．
例如12可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是12的最佳分解，所以 ．
（1）求出 的值．（1）根据定义新运算，找出16的所有分解方法，然后两因数之差的绝对值最小找出最佳分解，即可求出答案；
（2）如果一个两位正整数t， （ ， x， y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数t为“文澜数”，求所有“文澜数”并写出所有“文澜数”中 的最小值．
【答案】（1）解： 分解为 ， ， ，
∵ ，∴ 是 的最佳分解，
∴
（2）解：设交换 的个位上数与十位上的数得到的新数为 ，则 ，∵ 是“文澜数”，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， 均为自然数，
∴满足“文澜数”的有 ， ， ， ，
， ， ， ，∴ 的最小值为
24．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225
（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075
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浙教版2023-2024学年七上数学第3章实数 尖子生测试卷 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．（﹣3）2的平方根是﹣3
C．1的立方根是±1 D．﹣4的平方根是±2
2．在下列结论中，正确的是（ ）．
A． B． 的算术平方根是
C． 一定没有平方根 D． 的平方根是
3．比较数 ， ， ， 的共同点，它们都是（ ）．
A．分数 B．有理数 C．无理数 D．正数
4．有下列说法：
①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；④ 是分数，它是有理数； ⑤ 的算术平方根是9. 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列说法：
①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数。其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知n是正整数，并且n-1<3+ A．7 B．8 C．9 D．10
7．如果 ≈1.333， ≈2.872，那么 约等于（ ）
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
8．下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[－2.5]=－3．现对82进行如下操作： 这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若2m－4与3m－1是同一个正数的平方根，则m为（ ）
A．－3 B．1 C．－1 D．－3或1
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： ； ．
12．如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，则图中阴影正方形的边长是 。
13．在下列说法中，正确的是 （写明相应说法的编号即可）．
①若两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数；②平方根等于它本身的数是 和 ；③有理数和数轴上的点有一一对应的关系；④倒数等于它本身的数是 ；⑤ 是 的一个平方根．
14．若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为 .
15．若 与 是同一个数的平方根，则 ．
16．水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，用两个相同的管子在容器的 高度处连通（即管子底端离容器底 ）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高 ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水 分钟，乙的水位上升 ，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） ． （2） ．
（3） ． （4） ．
18．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①﹣17；②π；③﹣|﹣ |；④ ；⑤ ；⑥﹣0.92；⑦ ；⑧﹣0. ；⑨1.2020020002；
（1）正实数{ }
负有理数{ } 无理数{ }
（2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算.
19．已知2a-1的算术平方根是，a- 4b的立方根是-4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a+b的平方根．
20．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么 ＞ ．”然后讲了下面的一个例题：比较 和 的大小．
方法一： = = ， = = ，
又∵8＜12，∴ ＜ ．
方法二： = ×200=8， =4×3=12．
又∵8＜12，∴ ＜ ．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较 和 的大小；
（2）比较 ﹣1与 ﹣ 的大小．
21．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数 ∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴ ∴ ∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
22．观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）图中阴影部分的面积是多少？阴影部分正方形的边长是多少？
（2）估计边长的值在哪两个相邻整数之间？
（3）请你利用图1在数轴上用刻度尺和圆规表示阴影部分正方形边长所表示的数．
（4）请你利用图2在5×5的方格内作出边长为 的正方形．
23．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： （p， q是正整数，且 ），在n的所有这种分解中，如果p， q两因数之差的绝对值最小，我们就称 是n的最佳分解，并规定： ．
例如12可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是12的最佳分解，所以 ．
（1）求出 的值．（1）根据定义新运算，找出16的所有分解方法，然后两因数之差的绝对值最小找出最佳分解，即可求出答案；
（2）如果一个两位正整数t， （ ， x， y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数t为“文澜数”，求所有“文澜数”并写出所有“文澜数”中 的最小值．
24．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
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