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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果不等式的解集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵的解集是，∴不等号改变
∴.
故答案为：C .
2．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将的水倒进一个容量为的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
【答案】C
【解析】根据题意，设一颗玻璃球的体积为，
则有：，
解得：，
∴一颗玻璃球的体积在30cm3以上，36cm3以下，
故答案为：C.
3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2x-6k=3x-3k+6
x=-3k-6
∵解是非负数，∴-3k-6≥0，∴k≤-2
故答案为：B
4．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4，如果，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据【a】的定义，可得，
解不等式可得5≤x＜7.
故答案为：A。
5．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故答案为：B.
6．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ）
A．3≤m<5 B．3【答案】A
【解析】∵
∴
解之：x＜2，，
∵ 关于x的不等式组 有2个整数解，
∴这两个整数解为1，0，
∴
解之：3≤m<5.
故答案为：A
7．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
【答案】B
【解析】解不等式组
解不等式①得： ，
解不等式②得：x＜4，
∴，
∵方程组恰有3个整数解，
∴，
∴-5＜m≤1；
又∵关于y的方程的解是非负数 ，
∴y=m+3≥0，
∴m≥-3，
∴-3≤m≤1，
∴所有符合条件的整数m有：-3，-2，-1，0，1。
∴-3-2-1+0+1=-5.
故答案为：B。
8．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若.则的最小值为；④若时，则；
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【解析】解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误；
③当时，M=2t+3，
∵，
∴，符合题意，故正确；
④当时，，即，
∴，不符合题意，故错误.
故答案为：B.
9．定义新运算“ ”如下：当a＞b时，a b＝ab+b；当a＜b时，a b＝ab﹣b，若3 （x+2）＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2
C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
【答案】C
【解析】 3 （x+2）＞0 ，当3＞x+2即x＜1时，
3（x+2）+（x+2）＞0，
解之：x＞-2，
∴x的取值范围是-2＜x＜1；
当3＜x+2即x＞1时
3（x+2）-（x+2）＞0，
解之：x＞-2，
∴x的取值范围为x＞1；
∴x的取值范围是﹣2＜x＜1或x＞1.
故答案为：C
10．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（ ）
A．90° B．105° C．130° D．120°
【答案】C
【解析】解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
因为(n 2)180°=2570°+x，
所以x=(n 2)180° 2570°=180°n 2930°，
∵0∴0<180°n 2930°<180°，
解得：16又n为正整数，
∴n=17，
所以多边形的内角和为(17 2)×180 =2700 ，即这个内角的度数是2700 2570 =130 ．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 个橘子．
【答案】37
【解析】设共x个孩子分橘子，则共有（4x+9）个橘子，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x=7，
∴4x+9=4×7+9=37，
∴共有37个橘子．
故答案为：37.
12．不等式组的整数解有 个.
【答案】5
【解析】，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解有：共5个.
故答案为：5.
13．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为 ．
【答案】8
【解析】分式方程的解为且，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于y的不等式组的解集为，
∴，
∴且，
又为整数，则的值为2，4，
符合条件的所有整数的积为，
故答案为：8
14．不等式组的解集是，那么的取值范围是
【答案】m≤4
【解析】
由①得x＞4，
∵该不等式组的解集为x＞4，
∴m的取值范围为m≤4.
故答案为：m≤4.
15．如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1. 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是 ．
【答案】18≤θ＜22.5
【解析】∵OA=AA1，∠BOC=θ，
∴∠BOC=∠OA1A=θ，
∵AA1=A1A2，
∴∠A1AA2=∠A1A2A=∠BOC+∠OA1A=2θ，
∵∵A2A3=A1A2，
∴∠A2A1A3=∠A1A3A2=∠BOC+∠A1A2A=θ+2θ=3θ，
同理可知∠A3A2A4=∠A3A4A2 =4θ；
∵恰好能摆放4根小棒，
∴4θ＜90°且5θ≥90°
解之：18≤θ＜22.5.
故答案为：18≤θ＜22.5
16．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
【答案】175
【解析】∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过20cm，求a的范围.
【答案】解：由题意得： ，
解得3＜a≤4.
∴a的取值范围为3＜a≤4
19．阅读材料：解分式不等式 ＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或②
解①得：无解；
解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列不等式：
（1）
（2）（x+2）（2x﹣6）＞0．
【答案】（1）解：原不等式可转化为：① 或②
解①得无解，
解②得﹣ ＜x≤2，
所以原不等式的解集是﹣ ＜x≤2
（2）解：原不等式可转化为：① 或②
解①得x＞3，
解②得x＜﹣2，
所以原不等式的解集是x＞3或x＜﹣2．
20．一群女生住 间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含 的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于 的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【答案】（1）解：由题意可得女生人数为：（ ）人.
（2）解：依题意可得 ，解得： .
（3）解：由（2）知 ，
∵ 为正整数，
∴ 或 ，
时，女生人数为 （人），
时，女生人数为 （人），
∴可能有10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍，女生62人.
21．【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【答案】解：∵x y= 3，
∴x=y 3.
又∵x< 1，
∴y 3< 1，
∴y<2.
又∵y>1，
∴1同理得 2由①+②得1 2∴x+y的取值范围是 122．深化理解：
新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+ ，则＜x＞=n；
反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣ ≤x＜n+ ．
例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）； ②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为 ．
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围．
（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数x的值．
【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5
（2）解：解不等式组得：﹣1≤x＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a≤2.5
（3）解：∵x≥0， x为整数，
设 x=k，k为整数，则x= k，
∴＜ k＞=k，
∴k﹣ ≤ k＜k+ ，k≥o，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0， ，
【解析】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x﹣1＞=3，
∴2.5≤x﹣1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
23．若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1） 是 阶不等式；是 阶不等式组；
（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中
如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
【答案】（1）0；1
（2）解：解不等式组得： ，
由题意得： 有4个正整数解，为：1，2，3，4，
，
解得： ；
（3）解：由题意得， 是正整数，且 有 个正整数解，
， ，
．
【解析】（1） 没有正整数解，
是 阶不等式；
由 得 ，
有1个正整数解，
是1阶不等式组，
故答案为：0，1；
24．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ ；
（3）活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）θ3＝4θ
（4）解：由题意得： ，
∴15°≤θ＜18°．
【解析】（1）∵∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），小棒两端分别落在射线AB、AC上，
∴小棒能无限摆下去.
故答案为：能
（2）∵AA1＝A1A2＝A2A3，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，∠A1A2A3=90°，
∴∠A=∠AA1A2，∠A2A1A3=∠A2A3A1=45°，
∵∠A2A1A3=∠A+∠AA1A2=2θ=45°，
∴θ=22.5°.
故答案为：22.5°
（3）∵从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，
∴AA1＝A1A2＝A2A3=A3A4，
∴∠A=∠AA1A2=θ，∠A2A1A3=∠A2A3A1=θ1=2θ，∠A3A2A4=∠A3A4A2=θ2=3θ，
∵θ1=∠A+∠AA1A2=2θ，θ2=∠A+∠A2A3A1=θ+θ1=3θ，θ3=∠A+∠A3A4A2=θ+θ2=4θ，
∴θ3=4θ.
故答案为：θ3＝4θ
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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果不等式的解集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将的水倒进一个容量为的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4，如果，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ）
A．3≤m<5 B．37．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
8．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若.则的最小值为；④若时，则；
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
9．定义新运算“ ”如下：当a＞b时，a b＝ab+b；当a＜b时，a b＝ab﹣b，若3 （x+2）＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2
C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
10．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（ ）
A．90° B．105° C．130° D．120°
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 个橘子．
12．不等式组的整数解有 个.
13．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为 ．
14．不等式组的解集是，那么的取值范围是
15．如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1. 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是 ．
16．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）； （2）．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过20cm，求a的范围.
19．阅读材料：解分式不等式 ＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或②
解①得：无解；
解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列不等式：
（1）
（2）（x+2）（2x﹣6）＞0．
20．一群女生住 间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含 的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于 的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
21．【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
22．深化理解：
新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+ ，则＜x＞=n；
反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣ ≤x＜n+ ．
例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）； ②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为 ．
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围．
（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数x的值．
23．若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1） 是 阶不等式；是 阶不等式组；
（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中
如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
24．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ ；
（3）活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
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