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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有种不同的剪法；
乙：若，则有种不同的剪法；
丙：若，则有种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
2．如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．1：9 B．9：61 C．9：110 D．7：49
【答案】B
【解析】连接CF， ∵，∴设，则
∴
∵ABCD是平行四边形，AD=BC ∴BE：BC=BE：(BE+EC)=3：7
即：BE：AD=3：7 ∴BF：DF=3：7
∴
∴
∴
故答案为：B
3．如图，AD是的中线，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于点F，则AF： FC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 过点D作DG//BF交AC于G，
∵AD是△ABC的中线，
∴DG是中位线，
∴BD=DC，FG=GC，
∵DG//BF，AE：ED=1：3，
∴，
∴AF：FC=1：6.
故答案是D.
4．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵， ∴，
又∵，
∴，∴，
∴.
故答案为：B.
5．如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
【答案】D
【解析】由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
6．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
7．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图示，连接，交于F，
∵D是的中点，∴，，
∴，
∵，，∴，
∵是直径，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
即，
在中，，
.
故答案为：D.
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结AC，CP，记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】和的底分别为和，高为h，
则，
∴求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，
作轴，交的延长线于点F，
设，则点F的纵坐标为，
对于，
令，则，解得，
令，则，∴，
设直线的解析式为，
代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，∴，
∴，，
∵轴，∴，
∴，
∵，∴有最大值为，
∴有最小值为.
故答案为：C.
9．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设MD=x，AI=y，则OG=MD=x，过M作BC的垂线，分别交FG、BC于O、P，
∴四边形MOGD是矩形，四边形OGCP是矩形，
∵，∴DG=2x，∴MO=DG=2x，
∵四边形HLGD与四边形JKJB是相同的长方形，
∴HL=DG=IB=KJ=2x.
∵四边形AHEI与四边形FGCJ是相同的正方形，
∴HE=FJ=IE=AI=y.
∵四边形LFKE是正方形，
∴EK=FK，∠EFK=45°，
∵∠GFK=90°，∠EFK+∠GFK+∠MFG=180°，
∴45°+90°+∠MFG=180°，解得∠MFG=45°.
∴FO=MO=2x.
∴FG=FO+OG=2x+x=3x.
∴LF=EK=FK=LE=HE-HL=y-2x.
∴BJ=IK=IE+EK=y+y-2x=2y-2x.
LG=FL+FG=y-2x+3x.
∵BJ=LG，
∴2y-2x=y-2x+3x，即y=3x.
∴
故答案为：A.
10．如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵点是边的三等分点，点是边的中点，
∴，，
设，则，，，，，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
同理可得：，
∵，，，
设，则，，，
∴，，
∴，，故③④正确；
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 .
【答案】
【解析】设AD与MN交于点H，
易证四边形MEDH是矩形，∴DH=ME，
设正方形EFNM的边长为x，则AH=8-x，
∵正方形EFNM，∴MN∥BC，MN=ME，
∴△AMN∽△ABC，∴即
解之：.
故答案为：
12．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
【答案】2
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，，∴，
∴，，
∵，∴，∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2.
13．如图，内接于，，，连接并延长至点E，使.
（1） 的半径为 .
（2）若，则的长为 .
【答案】（1）4
（2）
【解析】（1）连接 ，过点O作 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ 的半径为4；
（2）连接 ，过点O作 ， 过点E作 ，如图所示：
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：①4；② .
14．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
【答案】或
【解析】∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴===
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
∴
②当在的延长线上时，如图
设，∴，
∵，
∴，∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴===
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
15．如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
【答案】
【解析】如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
16．如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是
【答案】2.8
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∵CF=2，CD=6，
∴DF=DC-CF=6-2=4，
由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，
∴∠FHJ=∠B，∠G=∠C
∵∠FHC+∠FHJ+∠JHB=180°，∠JHB+∠B+∠BJH=180°，
∴∠FHC=∠BJH=∠EJG，
∴△CFH∽△GEJ，
∴，即，
∴EJ=2.8.
故答案为：2.8.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
【答案】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，
所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示
（2）解：所画三角形的各边长为，2，，如下图所示：
；
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，
有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为，
故答案为：.
18．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
19．如图，是的中线，，过点作，垂足为点.
（1）求证：.
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵ 是 的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
20．如图，菱形边长为4，对角线交于点，点为上一点，，过作交于点，交于点，取中点，连接并延长交于点.
（1）求的长度；
（2）求.
【答案】（1）解：连接FO并延长交AB于点P，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=DA=DC=4，AC⊥BD，OD=OB，CD∥AB，
∴∠FDO=∠PBO，∠DFO=∠BPO，
在△FDO和△PBO中
∴△FDO≌△PBO（AAS），
∴DF=BP
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠DAC，∠DFE=∠DCA，
∵∠DAC=∠DCA，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=BP=4-3=1，
∴DG⊥EF，EG=FG，
∵点H是OE的中点，
∴GH是△EFO的中位线，
∴GH∥FO，
，
∴，
∴
∴，
∴
（2）解：设GM交AC于点Q，
∵AP=AB-BP=4-1=3，
∴AE=AP，
在△AOE和△AOP中
∴△AOE≌△AOP（SAS）
∴OE=OP，
设OE=OP=x，
∵QM∥OP，
∴△AQM∽△AOP，
∴，
∴，
∵∠OGE=90°，EG=OH，
∴GH=HE=HO=OE=m，
∵∠HEG=∠HOQ，EH=OH，∠EHG=∠OHQ，
∴△EHG≌△OHQ（ASA），
∴QH=GH=m，
∴，
∴
21．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.
（1）当F为BE中点时，求证：AM＝CE；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明：当F为BE中点时，如图1，
则有BF＝EF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF.
在△BMF和△ECF中，
∵ ，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM＝EC.
∵E为CD的中点，
∴EC＝DC，
∴BM＝EC＝DC＝AB，
∴AM＝BM＝EC；
（2）解： 如图2所示：设MB＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴EC：BM=EF：BF＝2，
∴EC＝2a，
∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB﹣MB＝3a.
∵AB：BC＝2，
∴BC＝AD＝2a.
∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°.
∵∠A＝90°，
∴∠ANM+∠AMN＝90°，
∴∠BMC＝∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴AN：BM=AM：BC，
∴AN：a=3a：2a，
∴AN＝a，ND＝AD﹣AN＝2a﹣a＝a，
∴＝ ＝3.
22．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
23．如图：
（1）[基础巩固]如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；
（2）[尝试应用]如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；
（3）[拓展提高]如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值.
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
24．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且.
（1）求证：.
（2）若的半径为4，，求的长.
（3）设.
①若点为中点，求.
②若，求与的函数表达式.
【答案】（1）证明：连接 ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①连接 ，
∵点 为 中点， 与 互相垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，由对称性知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 交 于 ，设 ，则 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有种不同的剪法；
乙：若，则有种不同的剪法；
丙：若，则有种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
2．如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．1：9 B．9：61 C．9：110 D．7：49
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，AD是的中线，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于点F，则AF： FC=（ ）
A． B． C． D．
4．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
6．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结AC，CP，记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
9．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 .
12．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
13．如图，内接于，，，连接并延长至点E，使.
（1） 的半径为 . （2）若，则的长为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
15．如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
16．如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
18．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
19．如图，是的中线，，过点作，垂足为点.
（1）求证：. （2）若，，求的长.
20．如图，菱形边长为4，对角线交于点，点为上一点，，过作交于点，交于点，取中点，连接并延长交于点.
（1）求的长度； （2）求.
21．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.
（1）当F为BE中点时，求证：AM＝CE；（2）若，求的值.
22．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
23．如图：
（1）[基础巩固]如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；
（2）[尝试应用]如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；
（3）[拓展提高]如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值.
24．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且.
（1）求证：. （2）若的半径为4，，求的长.
（3）设.
①若点为中点，求.
②若，求与的函数表达式.
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