第2章特殊三角形专题05 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训（解析版）

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专题05 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训
【题型目录】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】
【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）

A．3 B．4 C．6 D．7
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
3．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为___________．
4．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在中，，点是边上一点，．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
5.如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：
(1)经过后，此时______，______；
(2)在（1）的条件下，证明：；
(3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为
【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D．或
【变式训练】
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，点P、Q分别是边长为的等边的边上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，下列结论：①；②的度数等于；③当为直角三角形时，秒．其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
（1）经过___________秒，为等边三角形；
（2）经过___________秒，为直角三角形．
3．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒．
（知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）．
(1)当时，求证：是直角三角形．
(2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值．
(3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？
5．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．
(1)当_____时，是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【重难点训练】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）已知等腰为边上的高，且，则等腰的底角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．以上都不对
2．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考阶段练习）如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
4．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
5．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（ ）
A．或 B．或
C．，或 D．，或
6．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，平分交于点D，当为等腰三角形时，线段的值为 ．

7．（2022秋·江西宜春·八年级统考期中）如图，已知点O是等边内一点，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，α的度数是 ．
8．（2022春·七年级单元测试）如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为 ．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是 ．
11．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．

(1)求证：；
(2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形
(3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形；
(4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间．
12．（2023春·江苏淮安·七年级统考期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线；

【应用概念】：
（3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________．
13．（2023春·吉林长春·七年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．

(1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________；
(3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示；
(4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值．
14．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在中，，是的中点．

(1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．
①根据以上作图，你能得出什么结论？
②若的面积是6，点、分别为、上的点，求长度的最小值；
(2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为，
①当时，求的长；
②若，当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数．
15．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点．点在线段上，点在边上，且．连接，．

(1)聪聪研究发现．
理由如下：因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以点是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，可得．
填空：上述证明过程中，①、②两处的理由分别为________和________．（填选项前的字母）
a．“三线合一” b．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
c．等腰三角形两个底角相等
(2)判断和的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（ ）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在等边三角形中，，．如果点M，N都以1cm/s的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市周南梅溪湖中学校考阶段练习）如图．是等边内的一点，连接，，以为边作等边，连接若，为直角三角形．则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．

（1）当 时，为等腰三角形；
（2）当 时，为直角三角形．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．
6．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，等边的边长是2，点D在等边的边BC所在直线上，以AD为一边作等边，顶点A、D、E逆时针排序．若是直角三角形时，则CD的长度是 ．
7．（2022秋·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，BC＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为＝2cm/s，＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts
（1）当t= 时，△PBQ为等边三角形
（2）当t= 时，△PBQ为直角三角形
8．（2021秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点M， N分别是边AB， BC上的点（异于两端点），将△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，且DM， DN分别交AC于点E， F． 若△DEF是直角三角形，则∠BMN的度数为 ．
9．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．
(1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．
① 试求当为何值时，为等边三角形？
② 若为直角三角形，试求的值．
(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
10．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
(1)当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
(2)当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
(3)当为直角三角形时，运动时间t的值是
专题05 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训
【题型目录】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】
【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）

A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置．
【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，；
②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，；
③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰，
∴符合条件的点C共7个，
故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．
【详解】解：如图：
在中，，，
，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有8个．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定．
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
【答案】 4 8
【分析】(1)首先可求得，根据直角三角形的性质可求得，再根据等边三角形的性质，即可求得的长；
(2)分别以点O、A为圆心，以的长为半径画弧，以及作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：(1)是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，且，
，
，
，
故答案为：4；
(2)如图所示，以O为圆心，以长为半径，所作的圆与坐标轴有4个交点；以A为圆心，以为半径，所作的圆与坐标轴有2个交点；作的垂直平分线，与坐标轴有2个点，
故满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
3．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为___________．
【答案】或
【分析】根据题意，由尺规作图知是的中垂线，再结合等腰三角形性质，设，得到，从而分类讨论，结合三角形外角性质及内角和定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，尺规作图为中垂线，即是的中垂线，
，
，
在中，，则，设，
，
若为等腰三角形，则分三种情况讨论：
①在中，，则，
是的一个外角，
，
由三角形内角和定理可知，，解得，即；
②在中，，则，
是的一个外角，
，
由三角形内角和定理可知，，解得，即；
③在中，，则，
是的一个外角，
，
与互相矛盾，故此种情况不存在；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查尺规作图及等腰三角形性质与判定，读懂题意，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．
4．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在中，，点是边上一点，．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②当时，或当时，．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，推得，根据等腰三角形的判定即可证明；
（2）①根据三角形内角和可推得，设，则，推得，，即可得到；
②根据等腰三角形的性质进行分类讨论：当时，，推得，，即可求得；
当时，，推得，即可求得；
当时，， ，故不存在．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵，∴，
∵，∴
设，则．
∴．
∵，
∴，
∴．
②∵是等腰三角形，
∴ⅰ）；ⅱ）；ⅲ），
ⅰ）当时，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
ⅱ）当时，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
ⅲ）当时，，
∵，
∴不存在．
综上所述，当时，或当时，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2022秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：

(1)经过后，此时______，______；
(2)在（1）的条件下，证明：；
(3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为
【答案】(1)4，4
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）由题意得出，则，求出；
（2）由，得出，证明，得出，由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）设当两点同时出发运动t秒时，有，由题意得出，要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别得出方程，解方程，再进行判断即可．
【详解】（1）当两点分别从两点同时出发运动2秒时，有，
∴，
故答案为：4，4；
（2）由（1）得：，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴；

（3）设经过t秒后，为等腰三角形，
由题意可得：，，，
∵的周长为，
∴，
①当时，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以，
综上，当或或时，为等腰三角形且周长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D．或
【答案】A
【分析】先证明，，由时间相同，速度相等，证明，可得，利用全等三角形的性质得出，根据，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，它们的速度都是，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在、运动的过程中，不变，，
∵，
∴不可能是直角，
∴只能是是直角，
当是直角，即，
∵，
∴，
∴，
∴当运动时间为5秒时，是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明．
【变式训练】
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，点P、Q分别是边长为的等边的边上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，下列结论：①；②的度数等于；③当为直角三角形时，秒．其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得出，证明可得出，由三角形的外角可得出，故①，②正确，当为直角三角形时，分两种情况，得出t的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
根据题意得：，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，，
综合以上可得为直角三角形时，或，故③不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质解题的关键．
2．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．

（1）经过___________秒，为等边三角形；
（2）经过___________秒，为直角三角形．
【答案】 10 6或15
【分析】（1）设经过秒，为等边三角形，先求出，再根据等边三角形的判定可得当时，为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；
（2）设经过秒，为直角三角形，分两种情况：①和②，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，
（1）设经过秒，为等边三角形，
由题意得：，
，
，
要使为等边三角形，则，
，
解得，符合题意，
故答案为：10．
（2）设经过秒，为直角三角形，
由题意得：，
，
①当时，为直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意；
②当时，为直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意；
故答案为：6或15．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
3．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____．
【答案】或
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，再分两种情况：；；进行讨论即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
，
则：；
当时，
．
故的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线，注意分类思想的应用．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒．
（知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）．
(1)当时，求证：是直角三角形．
(2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值．
(3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)线段的长度不变，为定值，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）分两种情况：①当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可；②当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可；
（3）过点作，交的延长线于，先证，得，再证，得，进而得出答案．
【详解】（1）证明∵是等边三角形，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：分两种情况：
①当时，如图所示：
则，
∴，
由题意可得：，则，
∴，
解得；
②当时，如图所示：
则，
∴，
∴，
解得：；
综上，当或时，△PAQ是直角三角形；
（3）解：线段DE的长度不变化，理由如下：
过点作Q，交的延长线于，如图3所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即线段的长度不变，为定值．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的性质以及动点问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．
(1)当_____时，是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【答案】(1)3
(2)2或4
(3)线段长度不变，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，是直角三角形，据此求解即可；
（2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可；
（3）过作，进而证明，可得，问题得解．
【详解】（1）解：依题意，，
当是直角三角形时，，
是等边三角形，
则此时为的中点，
，
，
故答案为：3；
（2）解：依题意，，，
①当时，如图，
是等边三角形，
，，
，则，
在中，，
，
，
即，
解得；
②当时，如图，
同理可得，
即，
解得；
综上所述，当t为或时，是直角三角形；
（3）线段长度不变，理由如下：
如图，过点作，交于点F，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
，，
的速度相等，
，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
【重难点训练】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）已知等腰为边上的高，且，则等腰的底角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．以上都不对
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据求出底角的度数，当时，求出底角．
【详解】解：①当时，如图，
则；

∵为边上的高，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
而这四个角和为，
∴底角为；
②当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
③当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
故选：D．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
2．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形；
②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形；
③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形；
④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形．
⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
3．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考阶段练习）如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【分析】分点M在O点下方或点M在O点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：当点M在O点下方时，
∵，
∴当时，
∴，
解得，
当点M在点A上方时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
解得，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键．
4．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形
【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；；
④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有7个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
5．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（ ）
A．或 B．或
C．，或 D．，或
【答案】D
【分析】由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得．
【详解】解：，，
，
分三种情况讨论：
①当时，如图：
，
；
②当时，如图：
，
；
③当时，如图：
，
；
综上所述，为或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．
6．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，平分交于点D，当为等腰三角形时，线段的值为 ．

【答案】或
【分析】对为等腰三角形进行分类讨论，即：①；②；③，三种情况，再利用等腰三角形的性质，解直角三角形进行计算即可解答．
【详解】解：，平分，
，
①当时，如图所示：

此时，
，
，
，
，
可得，
；
②当时，过点作的垂线段交于点，如图所示：

此时，
，
设，
，
则，，，
，
，
故可得，
解得，
；
③当时，，
此时
，
故无法构成，故此种情况不存在，
综上所述，为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含有角的直角三角形三边关系，正确地进行分类讨论，熟练画出对应图形是解题的关键．
7．（2022秋·江西宜春·八年级统考期中）如图，已知点O是等边内一点，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，α的度数是 ．
【答案】110°或125°或140°
【分析】利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数．
【详解】解：，
，
是等边三角形，
，即，
，又，
是等边三角形，
；
，
，
，
若，则，
解得：；
若，则，
解得：；
若，则，
解得：；
综上所述，当α为125或110或140时，
故答案为：110°或125°或140°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
8．（2022春·七年级单元测试）如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
【答案】或或或
【分析】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：①当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
②当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
③当点P在上，时，
连接，过点D作于点M，于点N，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
④当点P在上，时，
由③可得，，
∴，
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】解：由题意知与均为等腰三角形，
对于可能有①，此时，
∴，
故对于只有
∴，
②，此时，
∴，
故对于只有
∴，
③，此时，，
∴，
故对于只有
∴，
综上所述，度数可以为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：①是等边三角形，；②是一般，；从而得到答案．
【详解】解：根据题意，若，如图所示：
此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
为等腰三角形，，
，
在长方形中，，，则，
，，
，
是等边三角形，即；
②如图所示：
为等腰三角形，
，
，是的一个外角，
，即，
在长方形中，，，则，
，，
，
在中，利用三角形内角和定理可知：
；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形中求角度问题，涉及等腰三角形性质、长方形性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等，读懂题意，找到临界状态，作出图形，分类讨论是解决问题的关键．
11．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．

(1)求证：；
(2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形
(3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形；
(4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间．
【答案】(1)见解析
(2)秒
(3)1或2；
(4)秒
【分析】由“”可证；
由全等三角形的性质可求，可得，即可求解；
分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可；
证明，推出，可得结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴．
∵点P，Q的速度相同，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴．
当是等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴，，
∴当运动时间为秒时，是等腰三角形；
（3）设运动时间为t秒，则，
①当时，
∵，
∴．
，即
解得；　
②当时，
∵，
∴，
，即，
解得；
∴当点运动到第秒或第秒时，为直角三角形．
故答案为：或；
（4）∵是等边三角形，
∴．
与（1）同理可得，
∴
又∵，
∴，
∴．
当为直角三角形时，若，
∵，
∴，此时不成立；
若，则．
∵，
∴，
∴B，
∴，
即是直角三角形时，点P的运动时间为6秒．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
12．（2023春·江苏淮安·七年级统考期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线；

【应用概念】：
（3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________．
【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可；
（3）分是等腰三角形，和是等腰三角形，四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可分别求得
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，，
∴，
∴与，与，与是“等角三角形”；
（2）证明：∵在中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴为的等角分割线；
（3）解：当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
由题意得，，解得，
∴，
∴，
∴的度数为或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
13．（2023春·吉林长春·七年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．

(1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________；
(3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示；
(4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)的长度为或
(4)的值为或或
【分析】（1）观察图形用来求解；
（2）由等腰三角形的性质可知，表示出，即可列式求解；
（3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别求解即可；
（4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，，此时；当点在上时，，此时；当点在上时，，此时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，，
．
故答案为：．
（2）解：是以为腰的等腰三角形时，

，
，
（秒），
故答案为：秒．
（3）解：当点在上时，，
；
当点在上时，
．
综上所述，的长度为或．
（4）解：，，，，
的周长为，
点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为，
当点在上时，，此时，

，
（秒），
当点在上时，，此时，

，
（秒），
当点在上时，，此时，

，
秒），
综上所述，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
14．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在中，，是的中点．

(1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．
①根据以上作图，你能得出什么结论？
②若的面积是6，点、分别为、上的点，求长度的最小值；
(2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为，
①当时，求的长；
②若，当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)①平分；②3
(2)①2；②或
【分析】（1）①由角平分线的作法，即可得到答案；②过点作，垂足为，由三角形的面积可计算出，由角平分线的性质可得，通过证明，可得，通过证明得到，从而得到，根据垂线段最短即可得到当三点共线，且与垂直，即与线段重合时，长度最小，为；
（2）①由折叠的性质可得，得到，，通过证明得到，通过证明得到，从而得到四边形为菱形，即可得到答案；②分两种情况：或，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：①根据作法描述，所作的是的平分线，
故结论是平分；
②如图，过点作，垂足为，
，
则，
，
由①知，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
当三点共线，且与垂直，即与线段重合时，长度最小，为，
长度的最小值为3；
（2）解：①如图，连接，交于点，
，
由题意可得，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
；
②满足条件的情况有以下两种：
. ，
若，
则；
. ，
若，
则，
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查尺规作图—角平分线的作法，折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键．
15．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点．点在线段上，点在边上，且．连接，．

(1)聪聪研究发现．
理由如下：因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以点是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，可得．
填空：上述证明过程中，①、②两处的理由分别为________和________．（填选项前的字母）
a．“三线合一” b．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
c．等腰三角形两个底角相等
(2)判断和的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，以及中垂线的性质，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行作答即可；
（2）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质三线合一，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以点是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得．
故答案为：，
（2），理由见解析；
是等边三角形，
，，
，是的平分线，
，，即．
又，
，即．
由（1）得，
在与中，
，
，
即．
（3）当点在线段上时，

∵，
∴，
∴，
∴当为等腰三角形时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时：如图，当为等腰三角形时，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上：的度数为或.
【点睛】本题考查等边三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质，并灵活运用是解题的关键．
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（ ）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
【答案】D
【分析】由条件可求得，再求出点从点运动到点所需的时间为6秒，然后根据和两种情况，根据当为直角三角形时，只有或，利用含角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：在中，，，，，
∴，
∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动，
点从点运动到点所需的时间为秒，
则分以下两种情况：
①当时，，，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
②当时，，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，不符合题设，舍去；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
综上，的值为2或5或7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键．
2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在等边三角形中，，．如果点M，N都以1cm/s的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意，用含t的式子表示出，分两种情况讨论，当时，，求出t的值；当时，，求出t的值．
【详解】解：∵是等边三角形，cm，
∴cm，
∵点M、N都以1cm/s的速度运动，
设，，
则，
当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
综上所述：t的值为或时，是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了有关三角形的动点问题，涉及到了等边三角形的性质、直角三角形的性质，灵活运用各个性质定理和分类讨论思想是解题的关键．
3．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市周南梅溪湖中学校考阶段练习）如图．是等边内的一点，连接，，以为边作等边，连接若，为直角三角形．则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】证明得，设，，；首先证明，再分两种情形解决问题即可．
【详解】解：是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，
，
设，，，
为等边三角形，
，
由知，，
由知，，
，
故，，
为直角三角形，
，
当时，，
当时，，
综上所述或．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的判定及其性质等的应用问题；解题的关键是准确判断出图形中隐含的一对全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．

（1）当 时，为等腰三角形；
（2）当 时，为直角三角形．
【答案】 2或
【分析】（1）先求出，；则当为等腰三角形，为等边三角形，由等边三角形的性质得到，由此建立方程进行求解；
（2）当为直角三角形可分当时和当时两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
当为等腰三角形时，由于，则为等边三角形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）当时，则，
∴，
∴，
解得；
当时，则，
∴，
则，
解得；
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】由等边三角形的性质可得，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求的长．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，
∵沿所在直线折叠成，
∴，
若，且
∴，且
∴，
∴，
∴，
若，
∴，
且
∴
∴
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是解本题的关键．
6．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，等边的边长是2，点D在等边的边BC所在直线上，以AD为一边作等边，顶点A、D、E逆时针排序．若是直角三角形时，则CD的长度是 ．
【答案】或/2或1
【分析】根据等边三角形的性质，结合，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而得出，再根据线段之间的数量关系，得出，同理得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而得出，再根据线段之间的数量关系，得出，综合即可得出结果．
【详解】解：如图，当时，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
同理，可得：，
∴，，
又∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或时，是直角三角形．
故答案为：或
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
7．（2022秋·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，BC＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为＝2cm/s，＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts
（1）当t= 时，△PBQ为等边三角形
（2）当t= 时，△PBQ为直角三角形
【答案】 / 2或
【分析】（1）由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，BP=AB AP=（8 2t）cm，再由等边三角形的性质得到PB=BQ，即8 2t=t，解方程即可；
（2）讨论∠PQB=90°或∠BPQ=90°时，利用PB与BQ之间的关系，建立方程求解即可．
【详解】（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，a＝4cm，
∴∠B=60°，AB=8cm，
∴当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，
由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，
∴BP=AB AP=（8 2t）cm，
∴8 2t=t，
解得，
∴当时，△PBQ为等边三角形；
故答案为：．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B=60°，
∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，
当∠PQB=90°时，如图，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=BP，
∵BP=（8 2t）cm，BQ=tcm，
∴t=（8 2t），
解得t=2；
当∠BPQ=90°时，如图，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2BP，
∴t=2（8 2t），
解得，
综上所述，当t=2或时△PBQ为直角三角形．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质、解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
8．（2021秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点M， N分别是边AB， BC上的点（异于两端点），将△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，且DM， DN分别交AC于点E， F． 若△DEF是直角三角形，则∠BMN的度数为 ．
【答案】45°或75°/75°或45°
【分析】根据△DEF是直角三角形，分两种情况进行讨论：①当；②当；分别求解即可．
【详解】解：若△DEF是直角三角形，
∵△ABC是等边三角形，△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，
∴，，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上：∠BMN的度数为45°或75°，
故答案为：45°或75°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠后的对应边相等和对应角相等是解本题的关键，注意分类讨论．
9．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．
(1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．
① 试求当为何值时，为等边三角形？
② 若为直角三角形，试求的值．
(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①秒；②秒或秒
(2)不变，
【分析】（1）①由题意得：，，．根据题意当时，为等边三角形，解方程即可求解；
②根据题意分类讨论，分， ，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）延长至，使，连接，证明，进而证明 ，得出，即可求解．
【详解】（1）解：① 由题意得：，，．
当时，为等边三角形．
即．
解得：．即秒时，为等边三角形．
②是边长为的等边三角形，
，．
．若，则．
，即 （），
解得．
．若 ，则 ．
，即，
解得．
经验证，和均符合题意．
故若为直角三角形时，的值为秒或秒．
（2）的周长不发生变化．理由如下：
延长至，使，连接．
，，
．
是等边三角形，
．
．
又 ，，
．
，．
，，
．
．
即．
．
又，，
．
．
．
的周长不发生变化，为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
(1)当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
(2)当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
(3)当为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】(1)线段的中点，6
(2)存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形
(3)，，，9
【分析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；
（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：当点 N 第一次到达 B 点时，，
此时运动了，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，
解得：，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
（2）当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
（3）当点N在上运动时，如图3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如图4，当，
同理可得：由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在上运动时，
如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．
如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
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