第2章特殊三角形专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训（解析版）

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专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训
【题型目录】
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)

A． B．4 C． D．5
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30 ，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6 B．12 C．16 D．20
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．

(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【重难点训练】
1．（2021春·四川达州·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（2023春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级期末）如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·全国·八年级期末）如图，，在直线上方作等腰，，，连接，当最大时， ．
7．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．
8．（2022秋·海南海口·八年级海南中学校考期中）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点E，F使的周长最小．此时的大小是 ．
9．（2022秋·天津和平·八年级耀华中学校考期末）如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ．
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 ．
12．（2023春·全国·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时 ．
13．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则 °．
14．（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市丹徒区高资中学校联考阶段练习）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1．点A、B、C都是格点

(1)在图（1）中画出关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)如图（2），A、C是直线同侧固定的点，B是直线上的一个动点，在直线上画出点B，使的值最小．
15．（2023秋·七年级单元测试）问题提出
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______．
问题解决
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知点A，B，C，D．按要求画图：
①连接；
②画射线；
③反向延长交直线于点M；
④画点P，使得的值最小，这样画图的依据是___________．
（2）如图2，将长方形纸片沿折叠，使得点A和点D分别落到点E和点F处．已知，直接写出的大小．
17．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）阅读理解：如果一条直线能把一个三角形分割成两个等腰三角形，那么我们称这条直线为三角形的完美分割线，例如：如图1，中，，过顶点B作底角的平分线，显然直线是的完美分割线．
(1)操作实践：如图2，中，，画出△ABC的完美分割线，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数．（要求用两种不同的分割方法）
(2)分类探究，如图3，中，最小内角，若是的完美分割线，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值．（备用图不够自己添加）
(3)猜想发现，若三角形必有完美分割线，则它的内角需满足什么条件？请你至少写出两种，无需证明．
18．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
(1)若，求的大小．
(2)连接MB，若，的周长是．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
20．（2023春·全国·七年级期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B=_________，
∴AC +CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）
21．（2022秋·陕西西安·八年级西北工业大学附属中学校考阶段练习）八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．
（1）如图①，当点E为AB的中点时，DE＝　 　；
（2）如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由；
（3）如图③，F是AC的中点，连接EF．在AB边上是否存在点E，使得DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）
专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训
【题型目录】
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点，
AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)

A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可．
【详解】解：在上取一点P，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，

点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________．
【答案】12
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，从而得到PB+PD的最小值为AD的长，再由，求出AD，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，
∵MN垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴PB+PD=AP+PD≥AD，
即PB+PD的最小值为AD的长，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴，
∵AB=AC=13，BC=10，BE=，
∴，
解得：AD=12，
即PB+PD的最小值为12．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边中，，P是的中线上的动点，
∴AD是BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，
∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是边的中点，
∴的最大值=6÷2=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．
【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30 ，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】
作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．
故选B．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC
∴点D是BC边的中点
∴BD=CD==3
∵的面积为21
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴点B关于直线EF的对称点为点A
∴AD的长为BP+PD的最小值
∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10
故选D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
【答案】8
【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【详解】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．
故答案为：8．
．
【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【答案】(1)见解析；（2）10
【详解】试题分析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求．
试题解析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求．
此时线段的长度即为周长的最小值
连接
由对称性知：
为等边三角形
所以三角形的最小周长为10.
点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短.
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．

(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【答案】(1)2
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）利用网格，间接表示出的面积即可得到答案；
（2）根据点的对称，先作出三个顶点关于直线的对称点，再连接顶点即可画出；
（3）由动点最值问题-“将军饮马”模型，作出点关于动点轨迹直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求（连接与直线相交于点也可）．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图所示：

即为所求；
（3）解：如图所示：

连接，与直线的交点即为所求（连接与直线相交于点也可）．
【点睛】本题考查网格中求三角形面积、复杂作图-对称及动点最值问题-“将军饮马”，熟练掌握相关题型解法及对称作图是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求；
（2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点）
（3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求．
【详解】（1）如图①，点P即为所求

此时；
（2）如图②，点P即为所求

此时的值最小；
（3）如图③，点P即为所求

此时最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
∴的长度为．
②当P与M重合时，的周长最小．
理由：∵，，
∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长，
∴的周长最小值．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接交于P，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：点P即为所求．
两点之间线段最短，
要使得的和最短，则点应为线段和线段的交点．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
【重难点训练】
1．（2021春·四川达州·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【答案】D
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键．
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出BE=AD=6，从而得出结论．
【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BC=AC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵S△ABC=BC·AD=AC·BE，
∴BE=AD=6，
即PC与PE的和最小值是6．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．（2023春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．
5．（2023春·全国·七年级期末）如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CDAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【详解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如图，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
6．（2022秋·全国·八年级期末）如图，，在直线上方作等腰，，，连接，当最大时， ．
【答案】
【分析】构造等腰，如图1，使，，则，，当、、三点共线时，最大，然后根据已知角及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图1，构造等腰，使，，
则，，
∴当、、共线时，最大，
此时，如图2所示，
，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线，找出当最大时的图形．
7．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．
【答案】7
【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当三点共线时，的周长最小，为的长．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
如图所示，连接，交于点，
，
，
周长，
当三点共线时，的周长最小，为的长，
为边的中点，，，
，，
，
，
周长，
周长的最小值为7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了轴对称求最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2022秋·海南海口·八年级海南中学校考期中）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点E，F使的周长最小．此时的大小是 ．
【答案】/108度
【分析】如图，作点D关于的对称点P，点D关于的对称点Q，连接交于，交于，则点，即为使的周长最小时E、F的位置，根据四边形的内角和定理求出，可得，然后由轴对称的性质得出，进而可求的度数，即可得出答案．
【详解】解：如图，作点D关于的对称点P，点D关于的对称点Q，连接交于，交于，则点，即为使的周长最小时E、F的位置．
∵四边形中，，，
∴，
由轴对称知，，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题的求法，三角形内角和定理，四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
9．（2022秋·天津和平·八年级耀华中学校考期末）如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ．
【答案】3
【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，
则垂直平分，垂直平分，
，
周长为，
由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得：，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
的最小值是3，
周长的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ．
【答案】/度
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．
∵，
∴，
∵由轴对称的性质可得：
且
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键．
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 ．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】
作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．（2023春·全国·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时 ．
【答案】112°/112度
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点即为所求，利用轴对称的性质结合四边形的内角和即可得出答案．
【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点E'，F'即为所求．
∵四边形ABCD中，
∴，
由轴对称知，∠ADE'=∠P，∠CDF'=∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC =，
∴∠ADE'+∠CDF'=∠P+∠Q=34°，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
13．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则 °．
【答案】100
【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
14．（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市丹徒区高资中学校联考阶段练习）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1．点A、B、C都是格点

(1)在图（1）中画出关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)如图（2），A、C是直线同侧固定的点，B是直线上的一个动点，在直线上画出点B，使的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）直接利用轴对称的性质分别得出对应点位置，进而得出答案；
（2）根据网格特点，利用割补法求三角形面积；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点的位置．
【详解】（1）解：如图（1）所示：即为所求；

（2）；
（3）如图（2）所示，与的交点即为所求；

证明：
作点C关于直线的对称点，连接与交于点，
由轴对称的性质可得，
∴，
∵，
∴当点A、B、在一条直线上时，的值最小，
∴与的交点即为所求．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，割补法求面积以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
15．（2023秋·七年级单元测试）问题提出
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______．
问题解决
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【答案】(1)；
(2)整个过程所行的路程为．
【分析】（1）如图，连接，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得；
（2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可知：
点B关于直线的对称点为，
连接，设与直线的交点为P，
则，
即当时取得最小值，
是等边三角形，
，
故答案为：；
（2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．
由题意，得，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
∴整个过程所行的路程为．
【点睛】本题考查了最短路径的实际应用；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知点A，B，C，D．按要求画图：
①连接；
②画射线；
③反向延长交直线于点M；
④画点P，使得的值最小，这样画图的依据是___________．
（2）如图2，将长方形纸片沿折叠，使得点A和点D分别落到点E和点F处．已知，直接写出的大小．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；④见解析；两点之间线段最短；（2）
【分析】（1）根据题意画图即可得出线段，射线，连接、，则与的交点即为点P；
（2）先根据，得出，再根据折叠性质得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）①如图，为所求作的线段；
②如图，为所求作的射线；
③如图，反向延长交直线于点M；
④如图，连接、，交于一点P，则点P为所求作的点；这样画图的依据是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
（2）∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，线段、射线和直线的定义．
17．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）阅读理解：如果一条直线能把一个三角形分割成两个等腰三角形，那么我们称这条直线为三角形的完美分割线，例如：如图1，中，，过顶点B作底角的平分线，显然直线是的完美分割线．
(1)操作实践：如图2，中，，画出△ABC的完美分割线，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数．（要求用两种不同的分割方法）
(2)分类探究，如图3，中，最小内角，若是的完美分割线，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值．（备用图不够自己添加）
(3)猜想发现，若三角形必有完美分割线，则它的内角需满足什么条件？请你至少写出两种，无需证明．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，最大内角的可能值是或或或
(3)它的内角需满足其中一个角是另一个角的两倍或三倍（答案不唯一）
【分析】（1）直接利用定义进行分割即可．
（2）分为是底角与顶角的情况依次讨论即可．
（3）根据定义进行判定即可．
【详解】（1）作图并标出两个等腰三角形的底角度数如下：
（2）当是底角时，如图4所示，
最大的角为；
如图5所示，
最大角为；
如图6所示，
最大角为；
当是顶角时，如图7所示，
最大的角为；
∴最大内角的可能值是或或或．
（3）情况①，当中的一个内角是另一个内角的两倍时，三角形必有完美分割线，如图8所示；
情况②，当中的一个内角是另一个内角的三倍时，三角形必有完美分割线，如图9所示；
故若三角形必有完美分割线，则它的内角需满足其中一个角是另一个角的两倍或三倍（答案不唯一）．
【点睛】本题为新定义题型，考查了等腰三角形的相关概念与三角形的内角和定理，解题关键是理解相关概念，并能灵活应用，本题涉及到了分类讨论的思想方法．
18．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
(1)若，求的大小．
(2)连接MB，若，的周长是．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，当P点和M点重合时，最小且最小值为8cm
【分析】（1）根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质有，即根据的周长可以求出，问题得解；根据垂直平分线的性质可知当P与M点重合时，有最小值，最小值为AC，问题得解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
存在，即P与M点重合时，有最小值，
即：P与M点重合时，
∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∴，
∵点P与M点重合，
∴A、P、C三点共线，
∴，
∴根据两点直线线段最短，可知此时有最小值，最小值为AC，
∵，，
∴最小值为，
即：当P点和M点重合时，最小且最小值为8cm．
【点睛】本题考查已知等腰三角形性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短以及三角形内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
【答案】（1）见解析；（2）：；；（3）见解析
【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB
（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．
【详解】解：（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
而，
∴．
在与中，
∴．
（2）连接．由（1）知，．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小．
此时，：；．
（3）如图2，分别以的，为一边向外作等边和等边，连接，相交于M，则点M即为的费马点，由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
20．（2023春·全国·七年级期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B=_________，
∴AC +CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）
【答案】见解析
【分析】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．
【详解】解：证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB'，C′B=C'B'，
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
故答案为：CB'，C'B'，AB'；
拓展应用：如图，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'，
∵BC=BC'，BD平分∠CBC'，
∴BD垂直平分CC'，
∴PC=PC'，P'C=P'C'，
∴PC+PM=PC'+PM=C'M，
∵C'P'+P'M'＞C'M，
∴PC+PM＜P'C+P'M'，
∴点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及垂线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．
21．（2022秋·陕西西安·八年级西北工业大学附属中学校考阶段练习）八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．
（1）如图①，当点E为AB的中点时，DE＝　 　；
（2）如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由；
（3）如图③，F是AC的中点，连接EF．在AB边上是否存在点E，使得DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）
【答案】（1）2；（2）DE＝CE，理由见解析；（3）这个最小值为2；
【分析】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，由等边三角形的性质可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性质可求BH=1，EH，由勾股定理可求解；
（2）如图②，过E作EF∥BC交AC于F，可证△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可证△DBE≌△EFC，可得DE=CE；
（3）如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，连接C'F交AB于点E'，连接CE'，DE'，过点F作FH⊥AC'于点H，由“SAS”可证△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得当点C'，点E'，点F三点共线时，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.
【详解】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC为边长为4的等边三角形，点E是AB的中点，
∴AE=BE=2=DB，∠ABC=60°，且EH⊥BC，
∴∠BEH=30°，
∴BH=1，EHBH，
∴DH=DB+BH=2+1=3，
∴DE.
故答案为：；
（2）DE=CE.理由如下：
如图②，过E作EF∥BC交AC于F.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
∴BE=CF.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，且AE=EF=DB，BE=CF，
∴△DBE≌△EFC(SAS)，
∴DE=CE，
（3）如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，连接C'F交AB于点E'，连接CE'，DE'，过点F作FH⊥AC'于点H.
∵将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，
∴AC=AC'=BC=BC'=4，∠BAC=∠BAC'=60°，且AE'=AE'，
∴△ACE'≌△AC'E'(SAS)，
∴C'E'=CE'，
由（2）可知：DE'=CE'，
∴C'E'=CE'=DE'.
∵DE+EF=C'E+EF=C'E'+EF，
∴当点C'，点E'，点F三点共线时，DE+EF的值最小.
∵F是AC的中点，
∴AF=CF=2，且HF⊥AC'，∠FAH=180°﹣∠CAB﹣∠C'AB=60°，
∴AH=1，HFAH，
∴C'H=4+1=5，
∴C'F，
∴DE+EF的最小值为.
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.
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