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专题07 轴对称中的翻折、旋转问题专训
【题型目录】
题型一 轴对称中的翻折问题专训
题型二 轴对称中的旋转问题专训
【知识梳理】
知识要点一 : 翻折(对折)的定义
一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.
知识要点二: 翻折(对折)的特点
翻折问题实际上就是对称变换;
翻折是一种对称变换,属于轴对称,对称轴(折 所在直线)是对应点的连线的垂直平分线,翻折前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;
教学初,为使学生直观感悟,可以进行一些实际操作,以便于学生形成直观感受,利于问题的解决。
知识要点三: 翻折(对折)的基本图形及图形特点
翻折图形的基本背景图形有:三角形、四边形、梯形等,解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角,以及结合图形的性质把边角的关系联系起来,同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。
翻折特点:有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等,运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。
【经典例题一 轴对称中的翻折问题专训】
【例1】(2023春·陕西榆林·八年级校考期末)如图,在等腰中,,,的平分线与的垂直平分线交于点O,点C沿折叠后与点O重合,则的度数是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1.(2022秋·河南漯河·八年级统考期末)如图,在中,,,点,分别是,上的动点,将沿直线翻折,点的对点恰好落在边上,若是等腰三角形,那么的度数为( )
A.或 B.或
C.,或 D.,或
2.(2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末)如图,在中,,过点作于点,点是上一点,将沿着翻折得到,连接,若,,三点恰好在同一条直线上,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.(2021秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考阶段练习)如图在四边形中,和都是直角,且.现将沿翻折,点的对应点为,与边相交于点,恰好是的角平分线,若,则的长为( )
A.1.5 B.1.6 C.2 D.3
4.(2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末)如图,,于F,将沿翻折至,联结并延长,在射线上取点D使得,若,,,则 .
5.(2023·河北承德·统考一模)如图,等腰中,,是边上的点,先将沿着翻折,翻折后的边交于点,.
(1)则 ;
(2)若,则与是否垂直? .(选填“是”或“否”)
6.(2023秋·河北邢台·八年级统考期末)在中,延长到D,使,点E是下方一点,连接,且.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,若,将沿直线翻折得到,连接,连接交于G,当时,求的长度;
(3)如图3,若,将沿直线翻折得到,连接,连接交于G,交于H,若,求线段的长度(用含m,n的代数式表示).
7.(2023春·全国·八年级阶段练习)如图1,在△ABC中,延长AC到D,使CD=AB,E是AD上方一点,且∠A=∠BCE=∠D,连接BE.
(1)若∠CBE=72°,则∠A= ;
(2)如图2,若∠ACB=90°,将DE沿直线CD翻折得到DE′,连接BE′交CE于F,若BE′∥ED,求证:F是BE'的中点;
(3)在如图3,若∠ACB=90°,AC=BC,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE′交CE于F,交CD于G,若AC=a,AB=b(b>a>0)求线段CG的长度.
【经典例题二 轴对称中的旋转问题专训】
【例2】(2023·辽宁沈阳·模拟预测)如图,在中,,,直角的顶点是的中点,将绕顶点旋转,两边,分别交,于点,.下列四个结论:①;②是等腰直角三角形;③;④.在旋转过程中,上述四个结论始终正确的有( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【变式训练】
1.(2022秋·广西贵港·八年级统考期中)如图,在中,,直角的顶点P是的中点,两边、分别交、于点E、F.当在内绕点P旋转时,对于下列结论:①;②,③;④,其中正确结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中)在中,,;将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处,将此三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点,图①,②,③是旋转得到的三种图形.当是等腰三角形时,的度数为______(写出所有可能的值).
3.(2023春·全国·八年级专题练习)阅读材料:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.如图①,等腰和等腰中,,将绕点A旋转,连接,利用上面结论或所学解决下列问题:
(1)若,求证:;
(2)连接,当点D在线段上时.
①如图②,若,则的度数为 ;线段与之间的数量关系是 ;
②如图③,若,为中边上的高,判断的度数及线段之间的数量关系说明理由.
【重难点训练】
轴对称中的15道翻折问题专训
1.(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图,点,分别为长方形纸片的边,上的点,将长方形纸片沿翻折,点,分别落在点,处.若,则的度数为( )
B. C. D.
2.(2023·江西吉安·统考一模)如图,在等边中,点D在边上,将沿翻折,得到,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.(2023秋·山东聊城·八年级统考期末)如图,在中,,,点是上一点,将沿线段翻折,使得点落在处,若,则( )
A. B. C. D.
4.(2021春·浙江金华·七年级浦江县实验中学校联考期末)如图,长方形ABKL,延CD第一次翻折,第二次延ED翻折,第三次延CD翻折,这样继续下去,当第五次翻折时,点A和点B都落在∠CDE=内部(不包含边界),则的取值值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2020秋·安徽淮南·八年级统考期中)如图,中,,,,,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段EF的长为( )
A. B. C.4 D.
6.(2023春·江西萍乡·八年级统考期末)如图,点,分别在等边的边、上,将沿直线翻折,使点落在处,,分别交边于点,,若,则的度数为 .
7.(2023秋·新疆和田·八年级统考期末)如图,在中,,,,点在边上,,连接.将沿直线翻折后,点的对应点为点,作,垂足为,则 .
8.(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图,在中,,为上一点,且,将沿翻折得到,此时,则 .
9.(2023·江苏·模拟预测)如图,在中,分别为上的点,将沿翻折,得到,连接,已知,若,,,则的长为 .
10.(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末)如图,在中,,,,点为的中点,点是边上一个动点,将沿着翻折,使得点落在点处,当时,的长为 .
11.(2023春·浙江金华·七年级统考期末)小明想玩一个折纸游戏,分以下三步进行∶第一步,将长方形纸条向上翻折,记点C、D的对应点分别为,折痕为,且交于点G(如图1;第二步,将四边形沿向下翻折,记的对应点分别为(如图2);第三步,将长方形向下翻折,记A、B的对应点分别为,折痕为(如图3).
(1)若,则 度.
(2)若,则当时, 度.
12.(2022秋·江苏扬州·八年级统考期中)在中,,点E在边上,连结,将沿翻折使得点D落在边上得,连结.
(1)如图1,,,求的度数.
(2)如图2,若,,求的度数.
13.(2022秋·辽宁大连·八年级大连市第三十七中学校考期末)轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一,即寻找对称轴,将对称轴的一侧图形进行翻折,来构造满足条件的几何辅助线.
【例题】如图,是的平分线,且,试猜想与的数量关系,并说明理由;
分析:将沿直线翻折,得到,通过相关定理即可得到结论.请猜想与的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
如图,为线段同侧两点,,,若,求的长.
14.(2022秋·广东中山·八年级校联考期中)在中,,点是上一点,将沿翻折后得到,交于点.
(1)如图1,当时,证明:;
(2)已知,设.
①如图2,当时,求的值.
②如图3,当是等腰三角形时,求出的值.
15.(2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)图,中,.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点D为边外侧一点,连接,沿翻折,点D的对应点为点E,连接,F为中点,连接,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,交于点G,过点F作,交于点H,若,求的面积.
轴对称中的15道旋转问题专训
1.(2023·广东深圳·校考三模)古代大型武器投石机,是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置.图是图投石机的侧面示意图.为炮架的炮梢两顶点,已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米,当炮索自然垂落垂直于地面时,落在地面上的绳索还有5米.如图,拉动炮索,炮梢绕炮轴O旋转,点A的对应点为,点B的对应点为.当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时,若垂直地面,,此时,到水平地面的距离是( )米
A.12 B. C. D.21
2.(2022春·上海普陀·七年级校考期末)如图,在中,,,,点是的中点,两边,分别交,于点,,当在内绕顶点旋转时(点不与、重合),以下四个结论:①;②是等腰直角三角形;③;④.其中一定正确的结论有( ).
A.个 B.个 C.个 D.个
3.(2022春·湖南张家界·七年级统考期末)如图,将绕点A按逆时针方向旋转100°得到(点的对应点是点,点的对应点是点),连接,若,则的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
4.(2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末)如图,已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形,绕顶点A旋转,连接.以下三个结论:①;②;③;其中结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
5.(2023春·全国·八年级阶段练习)如图,已知△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°(0<n<∠BAC)得到△ADE,AD交BC于点F,DE交BC、AC于点G、H,则以下结论:
①△ABF≌△AEH;
②连接AG、FH,则AG⊥FH;
③当AD⊥BC时,DF的长度最大;
④当点H是DE的中点时,四边形AFGH的面积等于AF×GH.
其中正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.(2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末)如图,已知中,,,直角的顶点是的中点,两边分别交于点E、F,给出以下四个结论:
①;②是等腰直角三角形;③;④,当在内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有_______(填序号).
7.(2022秋·河南南阳·七年级统考期末)一副直角三角尺按如图①所示叠放,现将含45°的三角尺固定不动,将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②,当时,此时.继续旋转三角尺,使两块三角尺至少有一组边互相平行,则()其他所有可能符合条件的度数为_______
8.(2022秋·贵州遵义·八年级统考期末)如图是一款折叠式台灯,其侧面示意图为折线A B C D,∠C=60°,连接BD,∠CBD=80°,线段AB绕点B旋转,AB的延长线与射线CD相交与点E,当∠ABC为______度时,△BDE是等腰三角形.
9.(2021秋·福建南平·八年级校考期中)如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B.梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,给出下列结论:①线段AE与AF的长度之和为定值;②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值;③四边形AEOF的面积为定值.其中正确的是:_______________.(填序号)
10.(2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中)如图,在中,,点在内,将以点为旋转中心进行旋转,使点B与点C重合,点M 落在点N处,若,且 B、M、N三点恰共线,则=_______.
11.(2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习)已知:如图1,点C为线段上一点,都是等边三角形,交于点E,交于点F.
(1)求证:;
(2)求证:为等边三角形;
(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)小题的结论是否仍然成立(不要求证明).
12.(2022秋·山东德州·八年级校考期中)如图1,在中,于,,D是AE上的一点,且,连接、.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图2,若将绕点E旋转一定的角度后,仍然有,,试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变:
①试猜想与的数量关系,不用说明理由;
②你能求出与所成的锐角的度数吗?如果能,请直接写出该角的度数;如果不能,请说明理由.
13.(2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)【探究发现】(1)如图所示,和均为等边三角形,绕点C旋转,其中,交于点M,交于点N,交于点O,如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时,以下结论成立的是:
①;②;③平分;④.
【类比探究】(2)当旋转到外部时,且点B、C、E不在同一条直线上时,如图2,(1)中结论仍然成立的是: (只填序号)若②正确请进行论证,若不正确,请说明理由;
【类比应用】(3)当旋转到与有部分重叠时,如图3,(1)中结论仍然成立的是: (只填序号)若③正确请进行论证若不正确,请说明理由;
14.(2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末)四边形是由等边和顶角为的等腰拼成,将一个角的顶点放在点D处,将角绕D点旋转,该角两边分别交直线于点M、N,交直线于点F,E.
(1)当点M,N分别在边上时(如图1),直接写出之间的数量关系 ;
(2)当点M,N分别在边的延长线上时(如图2),猜想线段之间有何数量关系?请进行证明;
(3)在(2)的条件下,若,请你求出的长.
15.(2023春·全国·八年级专题练习)已知为等边三角形,取的边中点,连接,如图1,易证为等边三角形,将绕点顺时针旋转,设旋转的角度,其中.
(1)如图2,当时,连接,求证:;
(2)在旋转过程中,当超过一定角度时,如图3,连接会交于一点,记交点为点,交于点,交于点,连接,求证:平分;
(3)在第(2)问的条件下,试猜想线段和之间的数量关系,并说明理由.
专题07 轴对称中的翻折、旋转问题专训
【题型目录】
题型一 轴对称中的翻折问题专训
题型二 轴对称中的旋转问题专训
【知识梳理】
知识要点一 : 翻折(对折)的定义
一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.
知识要点二: 翻折(对折)的特点
翻折问题实际上就是对称变换;
翻折是一种对称变换,属于轴对称,对称轴(折 所在直线)是对应点的连线的垂直平分线,翻折前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;
教学初,为使学生直观感悟,可以进行一些实际操作,以便于学生形成直观感受,利于问题的解决。
知识要点三: 翻折(对折)的基本图形及图形特点
翻折图形的基本背景图形有:三角形、四边形、梯形等,解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角,以及结合图形的性质把边角的关系联系起来,同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。
翻折特点:有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等,运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。
【经典例题一 轴对称中的翻折问题专训】
【例1】(2023春·陕西榆林·八年级校考期末)如图,在等腰中,,,的平分线与的垂直平分线交于点O,点C沿折叠后与点O重合,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】连接,,先求出,进而求出,求出,由三角形内角和定理和即可求得答案.
【详解】解:如图,连接,
,为的平分线,
.
又,
.
是的垂直平分线,
,
,
.
为的平分线,,
直线垂直平分,
,
,
点C沿折叠后与点O重合,
,,
;
在中,,
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用,解题的关键是根据翻折变换的性质,找出图中隐含的等量关系,灵活运用有关知识来分析、判断.
【变式训练】
1.(2022秋·河南漯河·八年级统考期末)如图,在中,,,点,分别是,上的动点,将沿直线翻折,点的对点恰好落在边上,若是等腰三角形,那么的度数为( )
A.或 B.或
C.,或 D.,或
【答案】D
【分析】由,,得,分三种情况讨论:①当时,可得;②当时,即得,即得;③当时,可得.
【详解】解:,,
,
分三种情况讨论:
①当时,如图:
,
;
②当时,如图:
,
;
③当时,如图:
,
;
综上所述,为或或,
故选:D.
【点睛】本题考查了含直角三角形,折叠问题,解题的关键是掌握等腰三角形性质,分类讨论.
2.(2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末)如图,在中,,过点作于点,点是上一点,将沿着翻折得到,连接,若,,三点恰好在同一条直线上,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得是的垂直平分线,可得,,所以,由翻折的性质可得,所以,进而可以解决问题.
【详解】解:在中,,
∵,
∴是的垂直平分线,
∴,,
∴,
由翻折可知:,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
由翻折可知:,
∴.
故选:A.
【点睛】本题考查了翻折变换,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,解决本题的关键是掌握翻折的性质.
3.(2021秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考阶段练习)如图在四边形中,和都是直角,且.现将沿翻折,点的对应点为,与边相交于点,恰好是的角平分线,若,则的长为( )
A.1.5 B.1.6 C.2 D.3
【答案】C
【分析】延长CE′和BA相交于点F,根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F,可得CF=2,再证明△FCA≌△DBA,可得BD=CF=2.
【详解】解:如图,延长CE′和BA相交于点F,
由翻折可知:
∠BE'C=∠E=90°,CE'=CE=1,
∵BE'是∠ABC的角平分线,
∴∠CBE'=∠FBE',
∵BE′=BE′,
∴△BE'C △BE'F(ASA),
∴E'F=CE'=1,
∴CF=2,
∵∠FCA+∠F=90°,∠DBA+∠F=90°,
∴∠FCA=∠DBA,
∵∠FAC=∠DAB=90°,AB=AC,
∴△FCA △DBA(ASA),
∴BD=CF=2.
故选:C.
【点睛】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解决问题的关键.
4.(2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末)如图,,于F,将沿翻折至,联结并延长,在射线上取点D使得,若,,,则 .
【答案】
【分析】由翻折的性质可知,,,先利用“”证明,得到,,再利用“”证明,得到,进而得到,即可求出.
【详解】解:由翻折的性质可知,,,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了翻折的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.
5.(2023·河北承德·统考一模)如图,等腰中,,是边上的点,先将沿着翻折,翻折后的边交于点,.
(1)则 ;
(2)若,则与是否垂直? .(选填“是”或“否”)
【答案】 是
【分析】(1)可求,由,即可求解.
(2)可求,根据翻折和三角形外角可求得及,从而可以求解.
【详解】解:(1)由翻折得:,
,
.
故答案:.
(2)由(1)得:,
,
由翻折得:,
,
,
,
.
故答案:是.
【点睛】本题考查了翻折的性质,三角形内角和定理,三角形中一个外角等于不相邻的两个内角和,掌握相关的性质及定理是解题的关键.
6.(2023秋·河北邢台·八年级统考期末)在中,延长到D,使,点E是下方一点,连接,且.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,若,将沿直线翻折得到,连接,连接交于G,当时,求的长度;
(3)如图3,若,将沿直线翻折得到,连接,连接交于G,交于H,若,求线段的长度(用含m,n的代数式表示).
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据条件和可得,即可证明;
(2)根据条件和可得,进而得到即可求出;
(3)证明, ,可得结论.
【详解】(1)证明:∵,
又∵,
∴,
在和中,,
∴;
(2)解:由(1)可知,
∴,由翻折变换的性质,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:由(1)可知,,
∴,
由翻折变换的性质可知,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
【点睛】本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
7.(2023春·全国·八年级阶段练习)如图1,在△ABC中,延长AC到D,使CD=AB,E是AD上方一点,且∠A=∠BCE=∠D,连接BE.
(1)若∠CBE=72°,则∠A= ;
(2)如图2,若∠ACB=90°,将DE沿直线CD翻折得到DE′,连接BE′交CE于F,若BE′∥ED,求证:F是BE'的中点;
(3)在如图3,若∠ACB=90°,AC=BC,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE′交CE于F,交CD于G,若AC=a,AB=b(b>a>0)求线段CG的长度.
【答案】(1)36°;(2)见解析;(3)CG=b-a.
【分析】(1)由∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE,得∠ABC=∠ECD,证出△ABC≌△DCE,得BC=CE,由∠CBE=∠CEB=72°,结合三角形内角和为180°,求出∠A即可;
(2)同(1)证出△ABC≌△DCE,由翻折得CE'=CB,由BE'∥ED得∠CFE'=∠DEC=90°,即CF⊥BE',由三线合一得F是BE'的中点;
(3)先由折叠的性质,推出∠BGC=∠CGM,再证明△BGC≌△MGC,得CE=CB=CM,由三角形内角和为180°得∠BEM=90°,得∠BEM=∠CED,再导角得∠BEC=∠GED,最后证明△BCE≌△GDE,得BC=GD=AC=a,再由CD=AB=b,可求CG=CD-GD=b-a.
【详解】解:(1)∵∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE,
∴∠ABC=∠ECD,
在△ABC与△DCE中,
,
∴△ABC≌△DCE(ASA),
∴BC=CE,
∴∠CBE=∠CEB=72°,
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°,
∴∠BCE=36°,
∴∠A=36°,
故答案为:36°;
(2)证明:∵∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE,
∴∠ABC=∠ECD,
在△ABC与△DCE中,
,
∴△ABC≌△DCE(ASA),
∴BC=CE,∠ACB=∠DEC=90°,
如图,连接CE',
∵将DE沿直线CD翻折得到DE′,
∴CE=CE'=CB,
∵BE'∥ED,
∴∠CFE'=∠DEC=90°,
即CF⊥BE',
由三线合一,
得:F是BE'的中点;
(3)如图,连EG,延长EG、BC交于M,
∵折叠的性质,
∴∠DGE=∠DGE',
∵∠DGE=∠CGM,∠DGE'=∠BGC,
∴∠BGC=∠CGM,
在△BGC与△CGM中,
,
∴△BGC≌△MGC(ASA),
∴BC=CM,
由(2)知,△ABC≌△DCE,
∴BC=CE,∠ACB=∠DEC=90°,
∴CE=CB=CM,
∴∠CBE=∠CEB,∠CEM=∠CME,
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM=×180°=90°,
∴∠BEM=∠CED,
∴∠BEM-∠CEM=∠CED-∠CEM,
∴∠BEC=∠GED,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠EDC=∠A=45°,
∴∠ECD=∠EDC,CE=DE,
在△BCE与△GDE中,
,
∴△BCE≌△GDE(ASA),
∴BC=GD=AC=a,
∵CD=AB=b,
∴CG=CD-GD=b-a.
【点睛】本题是三角形翻折变换综合题,考查了全等三角形的判定与性质,三角形的内角和,平行线的性质,等腰三角形三线合一,全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等之间的等量代换是关键.
【经典例题二 轴对称中的旋转问题专训】
【例2】(2023·辽宁沈阳·模拟预测)如图,在中,,,直角的顶点是的中点,将绕顶点旋转,两边,分别交,于点,.下列四个结论:①;②是等腰直角三角形;③;④.在旋转过程中,上述四个结论始终正确的有( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得:,平分.可证,,即证得与全等,根据全等三角形性质判断结论是否正确.
【详解】解:∵,直角的顶点P是的中点,
∴,
∵,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,故①正确;
∴是等腰直角三角形,故②正确;
∵是等腰直角三角形,P是的中点,
∴,
∵不一定是的中位线,
∴不一定成立,故③错误;
∵,
∴,
又∵,
∴,
即,故④正确.
故选:D.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,三角形的面积,掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.
【变式训练】
1.(2022秋·广西贵港·八年级统考期中)如图,在中,,直角的顶点P是的中点,两边、分别交、于点E、F.当在内绕点P旋转时,对于下列结论:①;②,③;④,其中正确结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质,以及同角的余角相等,证明,再逐一进行判断即可.
【详解】①∵,,
∴是等腰直角三角形,
∵P是的中点,
∴ ,,
∴,
又,,
∴,
∴;
正确.
②∵,
∴,
∴
∴;
正确.
③不能证明;
错误.
④∵,
又∵,
∴;
正确.
综上①②④正确,共3个.
故选C.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.熟练掌握等腰三角形的性质,证明两个三角形全等是解题的关键.
2.(2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中)在中,,;将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处,将此三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点,图①,②,③是旋转得到的三种图形.当是等腰三角形时,的度数为______(写出所有可能的值).
【答案】或或或.
【分析】分类讨论,当点在线段上时,①若,②若,③若,当点在的延长线上时,则只有,然后根据等腰三角形的性质可求解.
【详解】解:当点在线段上时,
①若,则,此时,点与点重合,点与点重合;
②若,,;
③若,则;
当点在的延长线上时,此时,是钝角,只能是顶角,则只有,即.
综上,的度数为或或或.
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定,等腰三角形存在性问题,解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定和分类讨论思想方法.
3.(2023春·全国·八年级专题练习)阅读材料:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.如图①,等腰和等腰中,,将绕点A旋转,连接,利用上面结论或所学解决下列问题:
(1)若,求证:;
(2)连接,当点D在线段上时.
①如图②,若,则的度数为 ;线段与之间的数量关系是 ;
②如图③,若,为中边上的高,判断的度数及线段之间的数量关系说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)①;②,见解析
【分析】(1)由“”可证,可得;
(2)①由,得到,证明,根据全等三角形的性质证明结论;②类比①可得,即可求解.
【详解】(1)∵
∴
∴
在和中
∴
∴
(2)①∵,
∴,即,
∵
∴是等边三角形,
∴
∴
又,
∴,
∴
∴,
故答案为:;
②关系:
理由:∵
∴,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
【重难点训练】
轴对称中的15道翻折问题专训
1.(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图,点,分别为长方形纸片的边,上的点,将长方形纸片沿翻折,点,分别落在点,处.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得到,,,进而利用邻补角得,利用平行线的性质得,进而求得而,于是即可得解.
【详解】解:根据折叠的性质得到,,,
∵,,
,
∵,,
,,
,
,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质,熟练掌握平行线的性质以及折叠的性质是解题的关键.
2.(2023·江西吉安·统考一模)如图,在等边中,点D在边上,将沿翻折,得到,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质得到,,,由翻折可得,则,可得到,即可得到的度数.
【详解】解:∵是等边三角形,,
∴,,,
∵将沿翻折,得到,
∴,
∴,
∴,
∴.
故选:B.
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握相关性质是解题的关键.
3.(2023秋·山东聊城·八年级统考期末)如图,在中,,,点是上一点,将沿线段翻折,使得点落在处,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由折叠得,求出,得到,即得答案.
【详解】解:由折叠得,
∵在中,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选:D.
【点睛】此题考查了折叠的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟记折叠的性质得到是解题的关键.
4.(2021春·浙江金华·七年级浦江县实验中学校联考期末)如图,长方形ABKL,延CD第一次翻折,第二次延ED翻折,第三次延CD翻折,这样继续下去,当第五次翻折时,点A和点B都落在∠CDE=内部(不包含边界),则的取值值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用翻折前后角度总和不变,由折叠的性质列代数式求解即可;
【详解】解:第一次翻折后2a+∠BDE=180°,
第二次翻折后3a+∠BDC=180°,
第三次翻折后4a+∠BDE=180°,
第四次翻折后5a+∠BDC=180°,
若能进行第五次翻折,则∠BDC≥0,即180°-5a≥0,a≤36°,
若不能进行第六次翻折,则∠BDC≤a,即180°-5a≤a,a≥30°,
当a=36°时,点B落在CD上,当a=30°时,点B落在ED上,
∴30°<a<36°,
故选:D;
【点睛】本题考查了图形的规律,折叠的性质,一元一次不等式的应用;掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键.
5.(2020秋·安徽淮南·八年级统考期中)如图,中,,,,,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段EF的长为( )
A. B. C.4 D.
【答案】B
【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF是一个等腰直角三角形,因此EF=CE,然后再根据文中条件综合得出S△ABC=AC BC=AB CE,求出CE进而得出答案即可.
【详解】根据折叠性质可知:CD=AC=3,BC==4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠CF,CE⊥AB,
∴∠DCE+∠CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF=45°,
又∵CE⊥AB,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴EF=CE,
又∵S△ABC=AC BC=AB CE,
∴AC BC=AB CE,
∵,,,
∴,
∴EF.
所以答案为B选项.
【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
6.(2023春·江西萍乡·八年级统考期末)如图,点,分别在等边的边、上,将沿直线翻折,使点落在处,,分别交边于点,,若,则的度数为 .
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质可得,根据等边三角形的性质可得,根据三角形的内角和定理求得,进而即可求解.
【详解】解:∵将沿直线翻折,使点落在处,,分别交边于点,,
∴,
∵,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理,折叠的性质,等边三角形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
7.(2023秋·新疆和田·八年级统考期末)如图,在中,,,,点在边上,,连接.将沿直线翻折后,点的对应点为点,作,垂足为,则 .
【答案】
【分析】先证明是等边三角形,则可得,则,根据翻折的性质,可得,和的长.在中,根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”即可求出的长.
【详解】,
.
中,,
是等边三角形,
,
.
根据翻折的性质可得,,
.
又,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质,及直角三角形的性质.熟练掌握以上知识,证明是解题的关键.
8.(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图,在中,,为上一点,且,将沿翻折得到,此时,则 .
【答案】75
【分析】设,根据翻折得,,由,,从而可得,然后利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:∵,
∴.
设,
∵将沿翻折得到,
∴,
∵,
∴,
∴,
由三角形内角和定理得,
,
,
解得,
∴,
故答案为:75.
【点睛】本题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,以及平行线的性质,掌握翻折前后图形的大小、形状不变.
9.(2023·江苏·模拟预测)如图,在中,分别为上的点,将沿翻折,得到,连接,已知,若,,,则的长为 .
【答案】/
【分析】延长交的延长线于点,根据折叠的性质可得,由等腰三角形的性质可得,再证明,易得,根据,可知,易得,可知,即可获得答案.
【详解】解:延长交的延长线于点,如图,
根据折叠的性质可得,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识,熟练掌握相关知识是解题关键.
10.(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末)如图,在中,,,,点为的中点,点是边上一个动点,将沿着翻折,使得点落在点处,当时,的长为 .
【答案】或
【分析】根据题意,分两种情况:①当在的右侧时;②当在的左侧时,由翻折性质,结合含的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案.
【详解】解:在中,,,,点为的中点,
,,
当在的右侧时,延长交于,如图所示:
,
,
由翻折的性质知,,,
设,则,,
,
在直角三角形中,,则,
,
;
当在的左侧时,如图所示:
由翻折性质知,,,,
,
,
,,
在直角三角形中,,
,解得,
故答案为:或.
【点睛】本题考查翻折性质,充分利用翻折性质及含的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键.
11.(2023春·浙江金华·七年级统考期末)小明想玩一个折纸游戏,分以下三步进行∶第一步,将长方形纸条向上翻折,记点C、D的对应点分别为,折痕为,且交于点G(如图1;第二步,将四边形沿向下翻折,记的对应点分别为(如图2);第三步,将长方形向下翻折,记A、B的对应点分别为,折痕为(如图3).
(1)若,则 度.
(2)若,则当时, 度.
【答案】
【分析】(1)根据折叠的性质和三角形外角的性质求解即可;
(2)根据折叠的性质和平行线的性质求解即可.
【详解】∵
∴由题意可得,
∵
∴
∴
∵
∴
∴由折叠可得,
∴;
(2)如图所示,
∵
∴由题意可得,
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴.
【点睛】此题考查了折叠的性质,平行线的性质,三角形外角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
12.(2022秋·江苏扬州·八年级统考期中)在中,,点E在边上,连结,将沿翻折使得点D落在边上得,连结.
(1)如图1,,,求的度数.
(2)如图2,若,,求的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角形内角和定理求出,由折叠的性质得,进而可得,则;
(2)根据可得,根据折叠的性质可得,,根据可得,通过三角形内角和定理、三角形外角的性质、等量代换可求出,依次求出,即可.
【详解】(1)解:∵中,,,
∴,
∵将沿翻折得,
∴,
∴,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵将沿翻折得,
∴,
∴,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题考查折叠的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等,解题的关键是掌握折叠前后对应边相等、对应角相等,等腰三角形中等边对等角.
13.(2022秋·辽宁大连·八年级大连市第三十七中学校考期末)轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一,即寻找对称轴,将对称轴的一侧图形进行翻折,来构造满足条件的几何辅助线.
【例题】如图,是的平分线,且,试猜想与的数量关系,并说明理由;
分析:将沿直线翻折,得到,通过相关定理即可得到结论.请猜想与的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
如图,为线段同侧两点,,,若,求的长.
【答案】例题:,见解析;拓展应用:4
【分析】(1)借助折叠的性质和邻补角的性质证明为等腰三角形,即可获得答案;
(2)延长至,使,连接,首先证明,再推导是等边三角形,由等边三角形的性质及已知条件可得,易证明,由全等三角的性质可得,然后结合即可获得答案.
【详解】(1)猜想:.
证明:将沿直线翻折,得到,
∴,
∵,,
∴,
∴;
(2)证明:延长至,使,连接,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、补角的性质等知识,理解轴对称的性质、正确做出辅助线构建全等三角形和等边三角形是解题关键.
14.(2022秋·广东中山·八年级校联考期中)在中,,点是上一点,将沿翻折后得到,交于点.
(1)如图1,当时,证明:;
(2)已知,设.
①如图2,当时,求的值.
②如图3,当是等腰三角形时,求出的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①的值为;②当是等腰三角形时,的值为或
【分析】(1)根据直角三角形两锐角互余,得出,,再根据等量代换,得出,再根据翻折的性质,得出,再根据等量代换,得出,再根据内错角相等,两直线平行,即可证明结果;
(2)①根据翻折的性质,得出,再根据垂直的定义,得出,再根据角之间的数量关系,得出,再根据三角形的内角和定理计算,即可得出结果;②根据三角形的内角和定理,得出,再根据三角形外角的性质,得出,再根据翻折的性质,得出,,,根据三角形的内角和定理,得出,再根据三角形外角的性质,得出,然后根据等腰三角形的定义,分三种情况讨论求出符合题意的的值即可.
【详解】(1)解:∵,,
∴,,
∴,
由翻折的性质可得:,
∴,
∴;
(2)解:①由翻折的性质可得:,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴的值为;
②∵,,
∴,,
由翻折的性质可得:,,,
∴,
,
当时,,解得:(舍去);
当时,,解得:;
当时,,解得:.
综上所述,当是等腰三角形时,的值为或.
【点睛】本题考查了翻折的性质、平行线的判定、直角三角形中两锐角互余、三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的定义,熟练掌握相关的性质、定理是解本题的关键.
15.(2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)图,中,.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点D为边外侧一点,连接,沿翻折,点D的对应点为点E,连接,F为中点,连接,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,交于点G,过点F作,交于点H,若,求的面积.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)9
【分析】(1)根据等角对等边即可证明结论成立;
(2)延长到点,使得,连接,先证得,,从而得,再由折叠性质得,,从而证明,即可得证;
(3)过点作于点,由()可得,,从而求得,再证,即可得解.
【详解】(1)证明:∵,
∴;
(2)证明:如下图,延长到点,使得,连接,
∵为中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵沿翻折,点的对应点为点,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴;
(3)解:如下图,过点B作于点M,
由(2)可得,,
∵,
∴,
∵,,,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理以及平行线的判定及性质,熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.
轴对称中的15道旋转问题专训
1.(2023·广东深圳·校考三模)古代大型武器投石机,是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置.图是图投石机的侧面示意图.为炮架的炮梢两顶点,已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米,当炮索自然垂落垂直于地面时,落在地面上的绳索还有5米.如图,拉动炮索,炮梢绕炮轴O旋转,点A的对应点为,点B的对应点为.当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时,若垂直地面,,此时,到水平地面的距离是( )米
A.12 B. C. D.21
【答案】C
【分析】如图所示,延长交地面于C,延长交地面于D,设此时炮索的位置为E,证明都是等边三角形,得到,再证明得到,则,即可得到,,设,则,求出,即可求出.
【详解】解:如图所示,延长交地面于C,延长交地面于D,设此时炮索的位置为E,
∵,
∴都是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,,
设,则炮索的长为,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴到水平地面的距离是,
故选C.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
2.(2022春·上海普陀·七年级校考期末)如图,在中,,,,点是的中点,两边,分别交,于点,,当在内绕顶点旋转时(点不与、重合),以下四个结论:①;②是等腰直角三角形;③;④.其中一定正确的结论有( ).
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出,,,求出,证≌,推出,,,求出,即可得出答案.
【详解】解:中,,,是中点,
,,,
,
,
在和中,
,
≌(ASA),
,,
是等腰直角三角形,
正确;正确;
≌
,
,
正确;
是等腰直角三角形,是的中点,
,
是动点,
,故错误;
即正确的有个.
故选:C.
【点睛】本题考查了等腰三角形性质,直角三角形斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,解题的关键是熟练运用这些性质做题.
3.(2022春·湖南张家界·七年级统考期末)如图,将绕点A按逆时针方向旋转100°得到(点的对应点是点,点的对应点是点),连接,若,则的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
【答案】C
【分析】由题意可知,,即为等腰三角形,根据等腰三角形的性质可得,再结合,由平行线的性质“两直线平行,内错角相等”即可得到的度数.
【详解】解:由题意及旋转的性质可知,,,
∴,
∵,
∴.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、平行线的性质等知识,解题关键是弄清题意,并灵活运用所学知识.
4.(2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末)如图,已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形,绕顶点A旋转,连接.以下三个结论:①;②;③;其中结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】B
【分析】证明△BAD≌△CAE,由此判断①正确;由全等的性质得到∠ABD=∠ACE,求出∠ACE+∠DBC=45°,依据,推出,故判断②错误;设BD交CE于M,根据∠ACE+∠DBC=45°,∠ACB=45°,求出∠BMC=90°,即可判断③正确.
【详解】解:∵与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴,故①正确;
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD+∠DBC=45°,
∴∠ACE+∠DBC=45°,
∵,
∴,
∴不成立,故②错误;
设BD交CE于M,
∵∠ACE+∠DBC=45°,∠ACB=45°,
∴∠BMC=90°,
∴,故③正确,
故选:B.
【点睛】此题考查了三角形全等的判定及性质,等腰直角三角形的性质,熟记三角形全等的判定定理及性质定理是解题的关键.
5.(2023春·全国·八年级阶段练习)如图,已知△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°(0<n<∠BAC)得到△ADE,AD交BC于点F,DE交BC、AC于点G、H,则以下结论:
①△ABF≌△AEH;
②连接AG、FH,则AG⊥FH;
③当AD⊥BC时,DF的长度最大;
④当点H是DE的中点时,四边形AFGH的面积等于AF×GH.
其中正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【分析】根据SAS可证△ABF≌△AEH,可判断①;证AF=AH,FG=HG,可证AF垂直平分FH,可判断②;当AF最小时,DF最长,即AD⊥BC时,DF最大.可判断③;S四边形AFGH=2S△AGH=2×=GH×AH,可判断④.
【详解】解:①在△ABF和△AEH中,
,
∴△ABF≌△AEH(SAS),故①正确;
②∵△ABF≌△AEH,
∴∠AFB=∠AHE,AF=AH,
∴∠DFG=∠CHG,
∵AD=AC,
∴DF=CH,
∴△DFG≌△CHG,
∴FG=GH,
∴AG垂直平分FH,故②正确;
③由DF=AD﹣AF,
∵AD是定长,
∴AF最小时,DF最长,
即AD⊥BC时,DF最大.故③正确;
④当点H是DE的中点时,有AH⊥DE,
∵AF=AH,FG=GH,
且AG是公共边,
∴△AFG≌△AHG(SSS)
∴S四边形AFGH=2S△AGH=2×=GH×AH,故④正确.
故选A.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、等腰三角形的性质等知识点,灵活运用相关知识点成为解答本题的关键.
6.(2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末)如图,已知中,,,直角的顶点是的中点,两边分别交于点E、F,给出以下四个结论:
①;②是等腰直角三角形;③;④,当在内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有_______(填序号).
【答案】①②③
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得,根据同角的余角相等求出,然后利用“角边角”证明和全等,根据全等三角形的可得,判定①正确,等腰直角三角形的定义得到是等腰直角三角形,判定②正确;根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积相等,然后求出四边形的面积等于的面积的一半,判定③正确,根据,只有当E与A、B重合时,.判定④错误.
【详解】如图,连接,
∵,点P是的中点,
∴,
∴,
∵是直角,
∴,
∴;
在和中,
,
∴,
∴,,故①正确;
∴是等腰直角三角形,故②正确;
∵,
∴,
∴,
故③正确,
∵,只有当E与A、B重合时,.
∴④不正确;
综上所述,正确的结论有①②③.
故答案为:①②③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,根据同角的余角相等求出,从而得到是解题的关键,也是本题的突破点.
7.(2022秋·河南南阳·七年级统考期末)一副直角三角尺按如图①所示叠放,现将含45°的三角尺固定不动,将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②,当时,此时.继续旋转三角尺,使两块三角尺至少有一组边互相平行,则()其他所有可能符合条件的度数为_______
【答案】15°、60°、105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论,分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数,再找到关于点中心对称的情况即可求解.
【详解】解:如图②,当 时,
;
如图所示,当时,
;
如图所示,当 (或)时,
;
如图所示,当时,
.
故答案为:、、或.
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质,根据题意画出图形,利用平行线的性质及直角三角形的性质求解是解题的关键.
8.(2022秋·贵州遵义·八年级统考期末)如图是一款折叠式台灯,其侧面示意图为折线A B C D,∠C=60°,连接BD,∠CBD=80°,线段AB绕点B旋转,AB的延长线与射线CD相交与点E,当∠ABC为______度时,△BDE是等腰三角形.
【答案】80或140或170
【分析】利用三角形内角和定理求得∠CDB=40°,分三种情况讨论,画出图形,利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:当点E在CD延长线上时,如图,
∵∠C=60°,∠CBD=80°,
∴∠CDB=180°-∠C+∠CBD=40°,
∵△BDE是等腰三角形,即BD=DE,
∴∠BDE=∠BED=∠CDB=20°,
∴∠ABC=∠C+∠BED=60°+20°=80°.
当点E在线段CD上,且BE=DE时,如图,
∴∠BDE=∠EBD=40°,
∴∠CBE=80°-∠EBD=40°,
∴∠ABC=180°-∠CBE =140°.
当点E在线段CD上,且DB=DE时,如图,
∴∠DBE=∠EBD==70°,
∴∠CBE=80°-∠EBD=10°,
∴∠ABC=180°-∠CBE =170°.
故答案为:80或140或170.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质,等腰三角形的性质,解题的关键是掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和.
9.(2021秋·福建南平·八年级校考期中)如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B.梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,给出下列结论:①线段AE与AF的长度之和为定值;②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值;③四边形AEOF的面积为定值.其中正确的是:_______________.(填序号)
【答案】①②③
【分析】连接,先证,利用全等三角形的性质可得出,进而可得出,结论①正确;由三角形的内角和定理、结合,可得,结论②正确;由可得出,结合图形可得出,结论③正确.
【详解】解:如图,连接,
为等腰直角三角形,点为的中点,
,,.
,,
.
在和中,,
,
,
,则结论①正确;
,,,
,则结论②正确;
,
,
,则结论③正确;
综上,正确的结论是①②③,
故答案为:①②③.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形等知识点,熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键.
10.(2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中)如图,在中,,点在内,将以点为旋转中心进行旋转,使点B与点C重合,点M 落在点N处,若,且 B、M、N三点恰共线,则=_______.
【答案】40°/40度
【分析】由全等可推理得到,由可得到,又由,结合三角形内角和定理即可求得答案.
【详解】解:由旋转可知:
∴,
∴
即:
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为:
【点睛】本题考查三角形内角和定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质等相关知识点,牢记相关的知识点并能结合图形灵活应用是解题的关键.
11.(2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习)已知:如图1,点C为线段上一点,都是等边三角形,交于点E,交于点F.
(1)求证:;
(2)求证:为等边三角形;
(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)小题的结论是否仍然成立(不要求证明).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(1)成立,(2)不成立,
【分析】(1)由等边三角形的性质,利用边角边直接证明;
(2)通过证明,得到,又由,即可得证;
(3)结合(1)的证明方法和旋转后,可以判断;
【详解】(1)∵是等边三角形,
∴,
∴
∴,
和中
∴(SAS)
(2)证明:∵,
,
,
,
在和中,
∴≌(ASA),
∴,
∴为等腰三角形,
又∵,
∴为等边三角形
(3)(1)成立,(2)不成立,理由如下:
如图所示,连接
∵是等边三角形,
∴,
∵,
在和中,
∴(SAS)
,
不可能为等边三角形,
∴1)成立,(2)不成立,
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点,利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键.
12.(2022秋·山东德州·八年级校考期中)如图1,在中,于,,D是AE上的一点,且,连接、.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图2,若将绕点E旋转一定的角度后,仍然有,,试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变:
①试猜想与的数量关系,不用说明理由;
②你能求出与所成的锐角的度数吗?如果能,请直接写出该角的度数;如果不能,请说明理由.
【答案】(1),,证明见解析;
(2)不变,证明见解析;
(3)①,②.
【分析】(1)延长交于,求出,证出≌,推出,,根据推出,求出即可;
(2)求出,证出≌,推出,,根据求出,求出即可;
(3)①如图中,结论:,只要证明≌即可;②求出,证出≌,推出,根据三角形内角和定理求出即可.
【详解】(1)解:结论:,,
理由是:延长交于.
,
,
在和中,
,
,,
,
,
,
,
,
;
(2)不发生变化.
理由:如图中
设与交于点
,
,
,
在和中,
,
,,
,
,
,
,
,
;
(3)①如图中,结论:,
理由是:和是等边三角形,
,,,,
,
,
在和中,
≌,
.
②能.与所成的角的度数为.
和是等边三角形,
,,,,
,
,
在和中,
,
,
,
即与所成的角的度数为.
【点睛】本题考查了等边三角形性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查了学生的推理能力.
13.(2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)【探究发现】(1)如图所示,和均为等边三角形,绕点C旋转,其中,交于点M,交于点N,交于点O,如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时,以下结论成立的是:
①;②;③平分;④.
【类比探究】(2)当旋转到外部时,且点B、C、E不在同一条直线上时,如图2,(1)中结论仍然成立的是: (只填序号)若②正确请进行论证,若不正确,请说明理由;
【类比应用】(3)当旋转到与有部分重叠时,如图3,(1)中结论仍然成立的是: (只填序号)若③正确请进行论证若不正确,请说明理由;
【答案】(1)①②③④;(2)①②③,理由见解析;(3)①②③,理由见解析
【分析】(1)①根据全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质即可证明;②利用三角形内角和定理及等量代换即可证明;③连接,过点C作,由全等三角形的性质及角平分线的性质即可证明;④利用等边三角形的性质及全等三角形的判定即可证明;
(2)证明方法同(1)类似;
(3)证明方法同(1)类似.
【详解】解:(1)解:∵是等边三角形,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
即,
在和中,
,
∴,
∴,故结论①成立;
在中,
,
∴,故结论②成立;
如图所示:连接,过点C作,
∵,
∴,
∴,
∴平分;结论③成立;
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,结论④成立;
故答案为:①②③④;
(2)∵是等边三角形,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
即,
在和中,
,
∴,
∴,故结论①成立;
在中,
,
∴,故结论②成立;
如图所示:连接,过点C作,
∵,
∴,
∴,
∴平分;结论③成立;
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,结论④不成立;
故答案为:①②③;
(3)∵是等边三角形,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
即,
在和中,
,
∴,
∴,故结论①成立;
在中,
,
∴,故结论②成立;
如图所示:连接,过点C作,
∵,
∴,
∴,
∴平分;结论③成立;
∵,
∴,
无法找出另外相同的两个角,故结论④不成立;
故答案为:①②③.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的判定等,理解题意作出相应图形,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
14.(2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末)四边形是由等边和顶角为的等腰拼成,将一个角的顶点放在点D处,将角绕D点旋转,该角两边分别交直线于点M、N,交直线于点F,E.
(1)当点M,N分别在边上时(如图1),直接写出之间的数量关系 ;
(2)当点M,N分别在边的延长线上时(如图2),猜想线段之间有何数量关系?请进行证明;
(3)在(2)的条件下,若,请你求出的长.
【答案】(1)
(2),证明见详解
(3)10
【分析】(1)延长,在射线上截取,连接.先证明,得到,再证明,进而证明,从而得到,即可证明;
(2)在线段上截取,连接.先证明,得到,再证明,进而证明,得到,即可证明;
(3)作,交延长线于点H,延长交于点G.先证明是等边三角形,得到,再证明,,,从而得到,,进而证明,,得到,求出.
【详解】(1)解:如图1,延长,在射线上截取,连接.
∵是等边三角形,是等腰三角形,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
即.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴.
故答案为:;
(2)答:.
证明:如图,在线段上截取,连接.
∵是等边三角形,是等腰三角形,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
即.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴;
(3)解:如图,作,交延长线于点H,延长交于点G.
∵,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴.
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,理解题意,根据已知条件添加适当辅助线,构造全等三角形是解题关键.
15.(2023春·全国·八年级专题练习)已知为等边三角形,取的边中点,连接,如图1,易证为等边三角形,将绕点顺时针旋转,设旋转的角度,其中.
(1)如图2,当时,连接,求证:;
(2)在旋转过程中,当超过一定角度时,如图3,连接会交于一点,记交点为点,交于点,交于点,连接,求证:平分;
(3)在第(2)问的条件下,试猜想线段和之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3),理由见解析
【分析】(1)根据等边三角形性质,利用两个三角形全等的判定定理得到,利用全等性质即可得到答案;
(2)过点作于,过点作于,如图所示,根据等边三角形性质,利用两个三角形全等的判定定理得到,利用全等性质即可得到,,,利用等面积得到,再根据角平分线的判定定理即可得到答案;
(3)在上截取,连接,如图所示,根据等边三角形的判定与性质,利用两个三角形全等的判定定理得到,利用全等的性质即可得到答案.
【详解】(1)证明:,都是等边三角形,
,,,
,
在和中,
,
;
(2)证明:过点作于,过点作于,如图所示:
,都是等边三角形,
,,,
,
在和中,
,
,,,
,
,
,,
平分;
(3)解:.
理由如下:在上截取,连接,如图所示:
,,
是等边三角形,
,,
,
在和中,
,
,
,
.
【点睛】本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识,根据题意,添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.
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