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2.6直角三角形 （2）
浙教版 八年级 上册
教材分析
本节课的主要内容是让学生通过自主探究推理证明发现两个锐角互余的三角形是直角三角形，要求学生会利用直角三角形的判定定理进行简单的推理、判断和计算.本节课是初中几何中比较重要的内容，是实验几何向论证几何过渡之后学生学习几何知识的一个新起点，有着承上启下的作用.
教学目标
教学目标：1.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角
三角形.
2.会运用直角三角形的判定理判定直角三角形.
教学重点:直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
教学难点:例2的证明涉及的知识较多，思路较难形成，是本节教学的难点．
新知导入
情境引入
任务一
直角三角形的性质定理：
2.直角三角形的两个锐角互余
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
1.直角三角形有一个角为90°。
新知讲解
合作学习
怎么判断一个三角形是直角三角形呢？
按定义判断：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
几何语言：∵∠C=90°
∴△ABC是直角三角形
任务二
说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎么判定的？
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和）
∴∠B=180°-(∠A+∠C)
=180°-90°=90°
∴△ABC 是直角三角形
逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形
A
B
C
提炼概念
直角三角形的判定定理:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：
∵∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由.
(1)∠A=36°,∠B=54°.
(2)如图,∠1与∠2互余,∠B=∠1.
小试牛刀
解： (1)∵∠A= 36°，∠B= 54°
∴∠A+∠B= 90°
∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形.）
(2)∵∠1与∠2互余
∴∠1+∠2= 90°
又∵∠B=∠1
∴∠B+∠2= 90°
∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形.）
典例精讲
证明:∵CD是AB边上的中线(已知)，
∴AB=2AD=2BD(三角形中线的定义).
∵2CD=AB（已知），
∴CD=AD.
∴∠A= ∠ACD(在同一个三角形中，等边对等角)，
同理，∠B= ∠BCD.
例2 已知:如图 ,CD是△ABC的AB边上的中线，CD= AB.
求证:△ABC是直角三角形.
A
B
D
C
∵∠A+∠B+∠ACD+ ∠BCD=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°。
∴△ABC是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形).
归纳概念
几何语言：
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
C
A
D
B
根据例2，可得出直角三角形的判定定理2：
课堂练习
必做题
1.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
D
2．根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由，
(1)∠B=∠C=45°.
(2) ∠A,∠B,∠C的度数比为5:3:2.
解: （1）∵∠B+∠C=90°
∴△ABC是直角三角形 (有两个角互余的三角形是直角三角形).
（2）设∠A=5X,∠B=3X,∠C=2X
∴∠B+∠C=∠A=90°
∴△ABC是直角三角形 (有两个角互余的三角形是直角三角形).
选做题
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°， ∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
∴2(∠ A+∠B)=180°，
即∠ A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
3. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
C
A
D
B
2
1
综合拓展题
4.已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：作AB的中垂线DE，交AC于.
交AB于E，连结BD.
∵DE⊥AB，AE=BE
∴AD=BD
∴ ∠2=∠A
∵ ∠ABC=2∠A ∴ ∠1=∠2
∵ AB=2BC ∴ BE=BC
∴ △EDB≌△CDB（SAS）
∴ ∠C=∠3=Rt∠
∴ △ABC是直角三角形.
作业布置
必做题
1．如图，已知A，B两点，在平面内找一点C，使△ABC为等腰直角三角形，这样的点C有( )
A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
A
选做题
2.已知：如图，是的高线，是BC上的一点，AB=BE，BC=BD，判断与的关系.
综合拓展题
3.已知:如图,A,B,D同在一条直线上,∠A=∠D=Rt∠,AC=BD,∠1=∠2.
求证:△BEC是等腰直角三角形.
解:∵∠A=∠D=90°，∠1=∠2，AB=BD
∴△ABC≌△DEB（AAS）
∴CB=BE，∠1=∠2
∴△BEC是等腰三角形
∵∠2+∠EBD=90°又∵∠1=∠2
∴∠1+∠EBD=90°∴∠CBE=90°
即等腰三角形△BEC是等腰直角三角形
课堂总结
直角三角形
1.这节课我们学习了什么内容？
知识建构：
2.我们是如何获得直角三角形的判定定理的？
性质定理判定定理
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
性质：
判定：
直角三角形两个锐角互余
直角三角形斜边中线等于斜边的一半
有两个角互余的三角形是直角三角形
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
互逆定理
结论：
在直角三角形中，角所对的的直角边等于斜边的一半.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 八年级上册第二章
课标要求 等腰三角形部分:(1)了解等腰三角形的有关概念 (2)探索并掌握等腰三角形的性质 (3)探索一个三角形是等腰三角形的条件 (4)了解等腰三角形的性质和一个三角形是等边三角形的条件 直角三角形部分:(1)了解直角三角形的有关概念 (2)探索并掌握直角三角形的性质 (3)体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题 (4)探索一个三角形是直角三角形的条件 (5)会说明直角三角形全等的判定方法
内容分析 本章是第1章“三角形的初步知识”的延续和深化.在上一章中已经完成了从实验几何到论证几何的过渡，因此推理应成为本章学习和探究的主要方式和方法.本章学习中不仅要掌握两类特殊三角形的性质和判定，还要通过本章的学习进一步提高学生的逻辑推理能力和推理的表达能力. 轴对称图形与图形的轴对称与等腰三角形有着密切的联系:学生认识了等腰三角形是以顶角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，就很容易发现并掌握等腰三角形的性质.学习轴对称图形和图形的轴对称知识需要通过观察、操作等实验手段，教学中重点应放在会认、会画，在论证方面不要提出过高的要求.
学情分析 本章是第1章“三角形的初步知识”的延续和深化，这两类特殊三角形的性质和判定是学习后续几何知识的主要基础，并在生产和生活中有着广泛的应用. 本章在逆命题和逆定理的内容学习中让学生对有关命题和证明的知识进一步完善和深化. 在学生的探索证明过程中不仅巩固了上一单元的知识，还能发展学生的逻辑推理能力。对于学生来说，在之前的学习中已经了解了证明的基本步骤，具有了一定的推理经验，借助几何画板以及让学生实践操作、推理证明会让学生更好的发展思维的灵活性.
单元目标 （一）教学目标 1.掌握轴对称图形、关于直线对称的概念.理解轴对称图形的性质； 会识别关于直线对称，并能找出对称轴；会画简单图形关于给定的对称轴的对称图形；体会它们在现实生活中的应用，提高学生的学习能力和审美能力； 2.掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定； 3.会用等腰三角形与直角三角形的性质和判定进行有关计算和证明； 3.能运用勾股定理及其逆定理进行有关计算和证明； 4.掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理； 5.了解逆命题、逆定理的概念，掌握一些基本的逆定理. （二）教学重点、难点 教学重点：会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定等知识点进行有关计算和证明. 教学难点：等腰三角形的判定，直角三角形的勾股定理等一些图形的性质和方法的推导过程比较复杂，在解决某些问题中论证的要求与前几章相比有所提高，理解这些论证过程，并学会表述是本章教学的主要难点.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 教学建议： 1.对等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法，课本采取了实验和推理相结合的方法，表明本章仍属于由实验几何向论证几何过渡的阶段，因此在教学中仍需重视观察、实验、操作、归纳等方法，尤其要重视图形的性质和判定方法的发现过程，同时，要让学生理解推理的必要性，学会推理及其表述，对比较复杂的推理过程，要做好思路的启发和分析. 2.本章所涉及的性质和判定方法实际都是定理，并且多数是《标准》中目标列项的定理，如等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边上的一半；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；角的内部，到两边距离相等的点在角的平分线上等，教学中应要求学生掌握，并能把它们作为推理的依据；有些定理，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的半，勾股定理的逆定理，需在以后给出证明，教学中应把重点放在这些定理的发现过程，分清定理中的条件和结纶，学会这些定理的应用，但不要补充推导或证明. 3.本章已经要求学生完整地书写推理过程，教学中要较细致地做好推理及其表述的指导.要求学生写推理过程的题，要严格控制难度，一般不要超过《标准》所列的12个定理的证明难度. （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1图形的轴对称12.2 等腰三角形1 2.3 等腰三角形的性质定理（1）1 2.3 等腰三角形的性质定理（2）12.4 等腰三角形的判定定理12.5 逆命题和逆定理12.6直角三角形（1）1 2.6直角三角形（2）12.7探索勾股定理（1）12.7探索勾股定理（2）12.8直角三角形全等的判定1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 2.1图形的轴对称 理解轴对称及轴对称图形的概念，能判定一个图形是不是轴对称图形； 2.掌握轴对称及轴对称图形的性质及画法． 1.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴． 2.知道轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系． 3.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形．活动一：完成观察与思考，让学生发现轴对称图形的共同特点． 活动二：通过几何画板动画，加强学生的理解，探索图形的轴对称． 活动三：动手操作，画出关于给定对称轴的对称图形．2.2 等腰三角形理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性； 2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性． 1.能初步运用等腰三角形两边相等、等边三角形三条边都相等解决有关问题． 2.能用等腰三角形的轴对称性解决有关问题．活动一：复习导入，回顾等腰三角形的概念． 活动二：合作学习，通过动手操作发现等腰三角形的轴对称性． 活动三：知识回顾，回顾等边三角形的概念，学生画出等边三角形的对称轴． 2.3 等腰三角形的性质定理（1） 掌握“等边对等角”的性质，并能运用计算或证明； 2．掌握“等边三角形的各个内角都等于60°”的性质，并能运用计算或证明．1.能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题． 2.能运用推论等边三角形各个内角都等于60°解决有关问题．活动一：合作交流，动手操作，让学生通过折叠、测量等方式发现等腰三角形的性质． 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1． 活动三：例题精讲，让学生通过例一发现等边三角形各个内角都等于60°． 2.3 等腰三角形的性质定理（2） 1.掌握等腰三角形“三线合一”． 2.会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、判断、计算和作图. 能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题．活动一：情景导入，通过几何画板的动画进行导入，直观的展示三线合一 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题． 2.4 等腰三角形的判定定理 理解并掌握等腰三角形的判定定理； 2.理解并掌握等边三角形的判定定理． 能运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形.活动一：合作学习，动手操作，让学生在探索的过程中发现规律． 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的判定定理：等角对等边． 活动三：共同探索等边三角形的判定定理． 活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.5 逆命题和逆定理理解互逆命题、互逆定理的概念，并能把一个命题改写为逆命题； 2.掌握线段垂直平分线的判定．． 1．能说出命题的逆命题，并能够判断逆命题的真假． 2.能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决有关问题．活动一：观察思考，寻找各命题之间的联系． 活动二：新课讲授，并以练习题检验学生掌握情况． 活动三：例题精讲，共同谈谈线段垂直平分线定理的逆定理． 2.6直角三角形（1） 理解直角三角形的概念； 2.掌握直角三角形的性质，并能运用． 会运用直角三角形的性质定理进行相关计算．活动一：回顾旧知，联系生活，了解直角三角形的概念． 活动二：教师讲授直角三角形的性质定理1，并让学生进行推理． 活动三：学生独立思考完成习题，发现直角三角形的性质定理2． 活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题． 2.6直角三角形（2）1.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.会运用直角三角形的判定理判定直角三角形.会运用直角三角形的判定定理进行相关计算．活动一：问题导入，让学生自主探索直角三角形的判定定理． 活动二：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.7探索勾股定理（1）了解拼图验证勾股定理的方法； 掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长； 3.会利用勾股定理解决实际问题． 1.能运用勾股定理求第三边的长． 2.掌握分类思想，注意最长边的确定．活动一：情景引入，通过赵爽弦图激发学习兴趣． 活动二：合作探索，动手操作，通过观察和思考发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.7探索勾股定理（2）理解勾股定理的逆定理； 2.会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 能运用勾股定理的逆定理去证明一个三角形是直角三角形．活动一：问题导入，巩固旧知，让学生回答勾股定理的逆命题． 活动二：讲授勾股定理的逆定理，让学生用数学的语言证明它． 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.8直角三角形全等的判定掌握直角三角形全等的判定定理HL定理； 2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理． 1.能运用直角三角形全等的判定定理判断两个三角形全等． 2．能综合运用角平分线的逆定理．活动一：复习导入，回顾判定两个三角形全等的方法． 活动二：动手操作，探究直角三角形全等的判定定理，教师带领学生分析并证明． 活动三：例题精讲，通过例题得到角平分线性质定理的逆定理．
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分课时教学设计
第8课时《2.6直角三角形 （2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容是在学生掌握一般三角形的相关性质如内角和性质、外角性质、三边关系，特殊三角形如等腰三角形和等边三角形的性质和判定，以及三角形全等的相关知识，且具有初步的推理证明能力，知道什么是逆命题和逆定理的基础上进行学习的．是初中几何中比较重要的内容，是实验几何向论证几何过渡之后学生学习几何知识的一个新起点，有着承上启下的作用．
学习者分析 学生已经学习了三角形的性质、全等的判定、等腰三角形等边三角形的性质和判定，逆命题和逆定理，以及在上一节课学习了直角三角形的性质定理，有一定的证明基础．学生在探究直角三角形的性质定理的逆定理的过程中，可以通过已学知识轻松得到结论，能够提高学生学习数学的积极性．
教学目标 1.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.会运用直角三角形的判定理判定直角三角形.
教学重点 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
教学难点 例2的证明涉及的知识较多，思路较难形成，是本节教学的难点.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 复习回顾： 直角三角形的性质定理： 1.直角三角形有一个角为90°。 2.直角三角形的两个锐角互余 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 学生活动1： 学生根据问题回顾旧知，回答问题 学生跟随教师一起回顾旧知． 活动意图说明： 复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率．通过旧知识引入新的知识有利于激发学生的学习欲望，提高他们的学习积极性．环节二：新课讲解 教师提问：怎么判断一个三角形是直角三角形呢？ 教师讲授： 按定义判断：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 几何语言：∵∠C=90° ∴△ABC是直角三角形 教师提问：说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗 你是怎样判定的 教师讲授： 逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形是真命题 证明：∵两个角互余 ∴这两个角之和为90° 又∵三角形三个内角的和等于180° ∴ 当一个三角形中有两个角互余时,它的第三个角就等于90° ∴这个三角形是直角三角形 直角三角形的判定定理: 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言： ∵∠A+∠B=90° ∴△ABC是直角三角形 根据下列条件判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由. (1)有一个外角为90°. (2) ∠A=36°，∠B=54° (3)如图.∠1与∠2互余，∠B=∠1 （1）∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴这个三角形有两个角互余 （2）根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形 解：∵∠A=36°,∠B=54°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°， ∴△ABC是直角三角形。 （3）解：∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°， ∵∠B=∠1， ∴∠B+∠2=90°， ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°， ∴△ABC是直角三角形. 学生活动2： 学生回答问题，进行推理证明 学生听讲 学生自主推理证明，教师请学生上台板演，教师进行评价和讲解 活动意图说明： 通过检测学生对知识点的掌握程度，发展学生分析问题解决问题的能力．使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度．环节三：例题讲解 例2：已知:如图 ,CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB 求证:△ABC是直角三角形. 证明:∵CD是AB边上的中线(已知)， ∴AB=2AD=2BD(三角形中线的定义). ∵2CD=AB（已知）， ∴CD=AD. ∴∠A= ∠ACD(在同一个三角形中，等边对等角)， 同理，∠B= ∠BCD. ∵∠A+∠B+∠ACD+ ∠BCD=180°， ∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°。 ∴△ABC是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形). 【总结归纳】 要证明一个三角形是直角三角形，只需证明三角形的一个内角是直角或有两个角互余. 注意：“两个角互余”是指同一个三角形中的两个角。 可得出直角三角形的判定定理2： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 学生活动3： 学生自主证明，教师请一名学生上台完成证明（教师注意引导学生如何加辅助线），完成后教师进行评价及讲解 学生举手回答问题，教师进行评价和讲解． 活动意图说明： 让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标.通过自主探究增强巩固知识并提高知识认同度．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 D 2.根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由， (1)∠B=∠C=45°. (2)∠A,∠B,∠C的度数比为5:3:2. 解: （1）∵∠B+∠C=90° ∴△ABC是直角三角形 (有两个角互余的三角形是直角三角形). （2）设∠A=5X,∠B=3X,∠C=2X ∴∠B+∠C=∠A=90° ∴△ABC是直角三角形 (有两个角互余的三角形是直角三角形). 选做题： 3. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°， ∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1， ∴2(∠ A+∠B)=180°， 即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. (有两个角互余的三角形是直角三角形). 【综合拓展类作业】 已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC.
求证：△ABC是直角三角形. 证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。 ∵DE⊥AB，AE=BE
∴AD=BD
∴ ∠2=∠A
∵ ∠ABC=2∠A
∴ ∠1=∠2
∵ AB=2BC
∴ BE=BC
∴ △EDB≌△CDB（SAS）
∴ ∠C=∠3=Rt∠
∴ △ABC是直角三角形.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知A，B两点，在平面内找一点C，使△ABC为等腰直角三角形，这样的点C有( ) A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 A 选做题： 2.已知：如图，CB是 ACD的高线，E是BC上的一点，AB=BE，BC=BD，判断AC与DE的关系. 【综合拓展类作业】 3.已知:如图,A,B,D同在一条直线上,∠A=∠D=Rt∠,AC=BD,∠1=∠2. 求证:△BEC是等腰直角三角形. 解:∵∠A=∠D=90°，∠1=∠2，AB=BD ∴△ABC≌△DEB（AAS） ∴CB=BE，∠1=∠2 ∴△BEC是等腰三角形 ∵∠2+∠EBD=90° 又∵∠1=∠2 ∴∠1+∠EBD=90° ∴∠CBE=90° 即等腰三角形△BEC是等腰直角三角形 .
教学反思 本设计的缺点是缺少变式，题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生．另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整自身方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识．
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