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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的不等式的解集如图所示，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-3
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．解不等式的过程如下：①去分母，得；②去括号，得；③移项，合并同类项，得；④系数化为1，得．其中错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价的八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（ ）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
7．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与a和b的大小无关
8．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请写出一个一元一次不等式，使它的解集为x＞2，那么这个不等式可以是 （未知数的系数不能为1）．
12．满足不等式2（2x﹣4）＞﹣3x+6的最小整数是 .
13．若不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于 ．
14．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 .
15．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 .如： ， .如果 ，则 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列不等式（组）
（1）求不等式的解2（3x+2）﹣2x＜0； （2）解不等式组 .
18．若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
19．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
20．如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）若，求运算进行多少次才会停止？
（2）若运算进行了3次才停止．求m的取值范围．
21．阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水.早在古代，人们就已经发现了这种水的存在.盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= ×100%.
（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ；
（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程).
22．已知关于x的不等式组
（1）若上不等式组的解集与不等式组的解集相同，求m+n的值；
（2）当时，若上不等式组有4个非负整数解，求n的取值范围．
23．对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“开心数”，例如：n1＝936，∵9+3﹣6＝6，∴936是“开心数”：n2＝602，∵6+0﹣2＝4≠6，∴602不是“开心数”.
（1）判断666、785是否为“开心数”？请说明理由；
（2）若将一个“开心数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如；若m＝543，则s＝654），若s也是一个“开心数”，求满足条件的所有m的值
24．对于实数，，定义新运算：当时，；当时，，其中，是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算．
（1）若，，求的值；
（2）已知，且，求，的值；
（3）在（2）问的条件下，若关于的不等式组恰好有个整数解，求的取值范围．
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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
B、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
C、若 ，则 ，原式正确，符合题意；
D、若 ，则，原式错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
2．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．关于的不等式的解集如图所示，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-3
【答案】B
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 不等式组，
由①得：2x≤6，x≤3，
由②得：-4x＜-8，x＞2，
∴不等式组的解集为：2＜x≤3，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故答案为：B.
5．解不等式的过程如下：①去分母，得；②去括号，得；③移项，合并同类项，得；④系数化为1，得．其中错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】根据不等式的性质可得：不等式两边同时除以负数时，不等号需要变号，
∴不正确的步骤是④，
故答案为：D.
6．某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价的八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（ ）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【答案】C
【解析】设可以购买x件这样的商品，
根据题意可得：3×5+（x-5）×3×0.8≤30，
解得：x≤11.25，
∵x为整数，
∴x最大值为11，
故答案为：C.
7．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与a和b的大小无关
【答案】A
【解析】由题意得：3a+2b>5×,
∴6a+4b>5a+5b,
∴a>b.
故答案为：A.
8．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2x-6k=3x-3k+6
x=-3k-6
∵解是非负数，∴-3k-6≥0，∴k≤-2
故答案为：B
9．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
，解得：
故答案为：A
10．不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，
∴
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请写出一个一元一次不等式，使它的解集为x＞2，那么这个不等式可以是 （未知数的系数不能为1）．
【答案】2x+4＞8
【解析】根据题意得：2x+4＞8，
故答案为：2x+4＞8．
12．满足不等式2（2x﹣4）＞﹣3x+6的最小整数是 .
【答案】3
【解析】2（2x﹣4）＞﹣3x+6，
去括号得：4x﹣8＞﹣3x+6，
移项得：4x+3x＞6+8，
合并得；7x＞14，
解得：x＞2，
则最小的整数是3.
故答案为：3.
13．若不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于 ．
【答案】-6
【解析】解不等式组 可得解集为2b+3＜x＜
因为不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以2b+3=﹣1， =1，
解得a=1，b=﹣2代入（a+1）（b﹣1）=2×（﹣3）=﹣6．
故答案为：﹣6．
14．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 .
【答案】1≤a＜2
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有一个整数解，
∴.
故答案为：1≤a＜2.
15．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是
【答案】a＞﹣1
【解析】法一：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，
方程|x|=ax+1有一个负根，
但没有正根，由图象可知a≥1
法二：当x≥0时，x=ax+1，得x=≥0，解得a＜1又∵方程无正根，∴a≥1
当x＜0时，-x=ax+1，得x=＜0，1+a＞0，a＞-1；综上：∴a≥1
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 .如： ， .如果 ，则 .
【答案】0或 或
【解析】由题意得： ，
即 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ，
为非负实数，
，
，
为非负整数，
或 或 ，
解得 或 或 ，
故答案为：0或 或 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列不等式（组）
（1）求不等式的解2（3x+2）﹣2x＜0；
（2）解不等式组 .
【答案】（1）解：去括号得：6x+4﹣2x＜0，
移项合并得：4x＜﹣4，
系数化为1得：x＜﹣1，
∴不等式的解集为x＜﹣1
（2）解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3.
18．若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）解：因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m 2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19．
19．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
答：a的值为80，b的值为120；
（2）解：设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得： ，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12.
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）.
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元.
20．如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）若，求运算进行多少次才会停止？
（2）若运算进行了3次才停止．求m的取值范围．
【答案】（1）解：运行1次：；
运行2次：；
运行3次：；
运行4次：．
∴当时，运算进行4次才会停止；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：m的取值范围为．
21．阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水.早在古代，人们就已经发现了这种水的存在.盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= ×100%.
（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ；
（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程).
【答案】（1）25%
（2）解：设需要蒸发x克水，根据题意，得
，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意，
所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，
则该容器内原盐水浓度为 ，容器内加盐后，盐水浓度为 ，
由题意，知，a>b>0，c>0，
∴ac>bc，
∴ab+ac>ab+bc，
∴a(b+c)>b(a+c)，
∴ ，
∴ ，
即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大..
【解析】【解答】（1）解：由题意，得
，
故答案为：25%；
22．已知关于x的不等式组
（1）若上不等式组的解集与不等式组的解集相同，求m+n的值；
（2）当时，若上不等式组有4个非负整数解，求n的取值范围．
【答案】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解为：
，
，
解不等式③得，
解不等式④得，
不等式组的解为：，
不等式组的解集与不等式组的解集相同，
，，
，，
；
（2）解：当时，由（1）可知不等式组的解集为：
不等式组有4个非负整数解，分别为，1，2，3
，
．
23．对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“开心数”，例如：n1＝936，∵9+3﹣6＝6，∴936是“开心数”：n2＝602，∵6+0﹣2＝4≠6，∴602不是“开心数”.
（1）判断666、785是否为“开心数”？请说明理由；
（2）若将一个“开心数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如；若m＝543，则s＝654），若s也是一个“开心数”，求满足条件的所有m的值
【答案】（1）解：666是“开心数”，785不是“开心数”，理由如下：
，
是“开心数”，
，
不是“开心数”.
（2）解：设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
和都是“开心数”，
，
解得，，
，
，
解得，
又为正整数，
所有符合条件的取值为，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足条件的所有的值为464和532.
24．对于实数，，定义新运算：当时，；当时，，其中，是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算．
（1）若，，求的值；
（2）已知，且，求，的值；
（3）在（2）问的条件下，若关于的不等式组恰好有个整数解，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∴变形为：，
解得：，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴恰好有两个整数解为，，
∴的取值范围是．
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