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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是关于的不等式的解集，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的整数解的和为（ ）
A．1 B．0 C．29 D．30
6．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义新运算“”，规定：ab=a-2b．若关于x的不等式xm>1的解集为x>-1，则m的值（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式组 有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
10．使得关于的不等式组有解，且使得关于的方程有非负整数解的所有的整数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 折．
12．若关于 的二元一次方程组 的解都为正整数，则
13．如果等腰三角形的三边均为整数，且底边长度比腰长大 ，周长不超过 ，那么的底边长为 .
14．若一个奇数的立方根比3大，平方根比6小，且能被5整除，则这个数一定是
15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
16．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示.按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行.若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）； （2）．
18．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求的值．
19．已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0.
（1）用含x的代数式分别表示a，b；
（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．
20．已知不等式组
（1）若该不等式组的解集为，求 a的值：
（2）若该不等式组无解，求a的取值范围．
21．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 12元/只 4元/只
售价 18元/只 6元/只
（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）
（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案.
22．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 .
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是.则：
①不等式的解集是 .
②不等式的解集是 .
23．由
得，
；如果两个正数a，b，即
，则有下面的不等式：
，当且仅当
时取到等号.
例如：已知
，求式子
的最小值.
解：令
，则由
，得
，当且仅当
时，即
时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当
，式子
的最小值为 ；当
，则当
时，式子
取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形
的对角线
、
相交于点O，
、
的面积分别是8和14，求四边形
面积的最小值.
24．定义：规定，例如：，．
（1） ；
（2）解不等式组：；
（3）若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围为 ．
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浙教版2023-2024学年八上数学第3章一元一次不等式 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．若不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当a>0时，解得：
当a<0时，解得：
故答案为：D
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由x-2≤0得，x≤2， 由得，x<-1，
∴x<-1
故答案为：A
4．如图，是关于的不等式的解集，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解得：
不等式的解集为：x<-1
，解得：m=-1
故答案为：D
5．不等式组的整数解的和为（ ）
A．1 B．0 C．29 D．30
【答案】B
【解析】∵5x-1>3x-4，∴5x-3x>-4+1，∴2x>-3，∴x>.
∵x≤-x，∴x+x≤，∴x≤，∴x≤1，
∴不等式组的解集为∴不等式组的整数解为-1、0、1，
∴不等式组的整数解的和为-1+0+1=0.
故答案为：B.
6．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 解不等式，得x<3，因为不等式组的解集是，所以.
故答案为：D.
7．定义新运算“”，规定：ab=a-2b．若关于x的不等式xm>1的解集为x>-1，则m的值（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由新定义运算法则得x-2m＞1，
解得x＞2m+1，
又∵关于x的不等式xm>1的解集为x>-1，
∴2m+1=-1，
解得m=-1.
故答案为：B.
8．若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由x-1＞a，可得x＞a+1，
由1-3x≥x-7，可得4x≤8，∴x≤2，
∴不等式组的解集为a+1＜x≤2，
∵不等式组无解，
∴a+1≥2，
解得：a≥1，
故答案为：D.
9．若不等式组 有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
【答案】A
【解析】原不等式组可化为 （1）和 （2），
（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，
则由（2）有解可得m＜2.
故答案为：A.
10．使得关于的不等式组有解，且使得关于的方程有非负整数解的所有的整数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
解①，得x≥m-2，
解②，得x≤-2m+1，
因为关于x的不等式有解，
∴m-2≤-2m+1，
∴m≤1．
由方程1+（m-y）=2（y-2），得y=，
∵关于y的方程1+（m-y）=2（y-2）有非负整数解，
∴m=-5，-2，1，4，…
∵m≤1，
∴m=-5，-2，1.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 折．
【答案】8
【解析】设打了x折，
由题意得，1200×0.1x﹣800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至少打8折.
故答案为：8.
12．若关于 的二元一次方程组 的解都为正整数，则
【答案】0或1或 3
【解析】 ，
由②得：y=4 x，
再代入①得：
3x+m(4 x)=6，
解得： ，
再代入②得： ，
∵x、y都为正整数，
∴ ，
即：0<3 m 6，0<3 m 6 4m，
解得： 3 m 1，
m取整数为： 3， 2， 1，0，1，
经验算 1， 2不合题意舍去。
故答案为：0或1或 3.
13．如果等腰三角形的三边均为整数，且底边长度比腰长大 ，周长不超过 ，那么的底边长为 .
【答案】5cm或6cm
【解析】设腰长为x，则底边长为x+2，
由题意可得：2x+x+2≤15，
解得：x≤ ，
∵三边均为整数，
∴x可以取1，2，3，4，
当x=1时，三边分别为1，1，3，不能构成三角形；
当x=2时，三边分别为2，2，4，不能构成三角形；
当x=3时，三边分别为3，3，5，能构成三角形；
当x=4时，三边分别为4，4，6，能构成三角形；
故答案为：5cm或6cm.
14．若一个奇数的立方根比3大，平方根比6小，且能被5整除，则这个数一定是
【答案】35
【解析】设这个奇数为x，∴＞3且<6，
∴x>27且x＜36，
∴27＜x＜36，
∵x是能被5整除的奇数，
∴x=35.
故答案为：35.
15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】16
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
分式方程去分母，得，
∴，
∵分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，
∵a为整数，为非负整数，
∴，1，7，10，
∴整数a的和为．
故答案为：16．
16．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示.按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行.若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 .
【答案】8＜x≤13
【解析】第一次运行： ，解得 ；
第二次运行： ，解得 ；
∴8＜x≤13.
故答案为：8＜x≤13.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
18．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求的值．
【答案】解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
所以的最小整数解是，也就是方程的解是，
把代入，
得到，
解得．
19．已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0.
（1）用含x的代数式分别表示a，b；
（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：由2a﹣3x+1＝0，得，
由3b﹣2x﹣16＝0，得；
（2）解：∵a≤4＜b，
∴≤4，＞4，
解得：﹣2＜x≤3．
20．已知不等式组
（1）若该不等式组的解集为，求 a的值：
（2）若该不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：；
（2）解：∵不等式组无解，
∴，
解得：．
21．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 12元/只 4元/只
售价 18元/只 6元/只
（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）
（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案.
【答案】（1）解：设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得： ，
解得： ，
答：生产甲型口罩15万只，乙型口罩5万只.
（2）解：设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，
依题意得：12m+4（20﹣m）≤216，
解得：m≤17.
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩17万只；
（3）解：设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为6×0.9a＝5.4a（元），选项方案二所需费用为168+6×0.8a＝（168+4.8a）（元）.
当5.4a＜168+4.8a时，a＜280；
当5.4a＝168+4.8a时，a＝280；
当5.4a＞168+4.8a时，a＞280.
答：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠
22．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 .
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是.则：
①不等式的解集是 .
②不等式的解集是 .
【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；-3和3（不唯一）
（2）x≤-4或x≥4；-4＜x＜4
【解析】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于.
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于.
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）.
故答案为：，.
（2）①不等式的解集是或.
故答案为：或.
②不等式的解集是，解得.
故答案为：.
23．由
得，
；如果两个正数a，b，即
，则有下面的不等式：
，当且仅当
时取到等号.
例如：已知
，求式子
的最小值.
解：令
，则由
，得
，当且仅当
时，即
时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当
，式子
的最小值为 ；当
，则当
时，式子
取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形
的对角线
、
相交于点O，
、
的面积分别是8和14，求四边形
面积的最小值.
【答案】（1）2；-3
（2） 解：设花园平行于墙的一边的长为x米，则垂直于墙的一面的长为 米
∴篱笆的周长为 ，
∵，
∴，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴=4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
=
=
( + )
= + + ，
∵，
∴+ ，
∴+ + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【解析】（1）∵，
∴，
当且仅当x=
时，等号成立，解得x=1，x=-1（舍去）
∴式子
的最小值为为2，
故答案为：2；
∵，
∴＞
∴，
当且仅当，
时，等号成立，
解得
不符合题意，舍去，取
，
∴，
∴，
∴当
时，式子
取到最大值.
故答案为：-3；
24．定义：规定，例如：，．
（1） ；
（2）解不等式组：；
（3）若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）解：由题意，原不等式组可化为，
由得，；
由得，．
原不等式组的解集为：．
（3）
【解析】（1）∵-3>-6，
∴，
故答案为：-6.
（3）根据题意原不等式组可化为：，
由①可得：x≤2，
由②可得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组恰好有三个整数解，
∴，
∴-1＜a≤1，
故答案为：.
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