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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．现有一个测试距离为5m的视力表（如图），根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED，∴==．故选D．
2．如图，在平行四边形 中，点E是 上任意一点，过点E作 交 于点F，连接 并延长交 的延长线于点H，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 四边形 为平行四边形， ，
， ， ．
A、 ， ， ，即 ，结论A不符合题意；
B、 ， ， ， ，即 ，结论B不符合题意．
C、 ， ， ，即 ，结论C不符合题意；
D、 ， ， ，即 ，结论D符合题意；
故答案为：D.
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC CD=AC OA
【答案】D
【解析】A．∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，不符合题意；
B．∵△AOD∽△BOC，∴ = ，∴ = ．又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，不符合题意；
C．∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，不符合题意；
D．无法得出BC CD=AC OA，符合题意．
故答案为：D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB ∴△DEF∽△BAF ∴，
∴ ∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
5．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】如图所示：
当PD∥BC时，△APD∽△ACB；
当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；
当PF⊥AB时，△APF∽△ABC
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A． s B． s C． s或 s D．以上均不对
【答案】C
【解析】设运动时间为ts，则
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ；
当△BCA∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 s或 s，
故答案为：C.
7．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论：
①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE GC；④若AF＝1，则EG＝ ，其中结论正确个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】如图，连接BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BEC和△DEC中， ，∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠ADE＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EF＝BE，
∴DE＝EF，故①符合题意；
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
∵∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，
∴∠ADF＝∠AEF，故②符合题意；
∵∠GDE＝∠DCG＝45°，∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴ ，
即DG2＝GE CG，故③符合题意；
如图，过点E作EN⊥AB于点N，
∵AF＝1，AB＝3，
∴BF＝2，AC＝ ，
∵BE＝EF，
∴FN＝BN＝1，
∴AN＝2，
∴ ，
∴ ，
将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，
易证△DMG≌△DEG（SAS），△AMG是直角三角形，
∴MG＝GE，
∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2，
设EG＝x，则AG＝ ，
∴ ，
解得：x＝ ，即EG＝ ，故④符合题意．
故答案为：D．
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：；；∽；，其中正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是等边三角形，
，，
在正方形ABCD中，
，，
，
；故符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，故符合题意；
，，
，而，
，
与不会相似；故不符合题意；
，，
，故符合题意；
故答案为：C．
9．如图，AB是 O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接BC，
∵AB是 O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CD，∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BC=90°，∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，∴∠AEC=∠CFB=90°， ，∴ ，
∵FB=FE=2，FC=1，∴CE=CF+EF=3， ，
∴ ，∴ ，
故答案为：B.
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【解析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个.
【答案】6
【解析】设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
解得：n=6.
故答案为：6.
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ．
【答案】
【解析】∵∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，
∴ ，即 ，
∴AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
故答案为： ，
13．如图，在等腰中，，，在上，且，则 ．
【答案】
【解析】∵BP=BC=2，
∴BC=6，
∴CP=BC-BP=4.
∵AB=AC=9，
∴∠B=∠C，
∴∠BAP+∠APB=180°-∠B.
∵∠APD=∠B，
∴∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180°-∠B，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABPC=BPCD，
∴94=2CD，
∴CD=89.
故答案为：89.
14．如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为 ．
【答案】16
【解析】
由题意得：DE∥MF，
所以△BDE∽△BMF，所以 ，即 ，解得BD=1，
同理解得：AN=6；
又因为四边形DENC是矩形，
所以DE=CN=2，DC=EN=3，
所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，
的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.
故答案为16.
15．如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形.如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 .
【答案】5
【解析】由图可知，，
，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ，
，，
所以
∴
∴
同理可得，，
且
∴
∴
综上所述：
故答案为：5.
16．如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连接AE、DE得等边△AED，若 ，则 ＝ .
【答案】
【解析】延长CB至M，使∠AMB＝60°，延长BC至N，使∠DNC＝60°，如图所示：
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABM＝∠DCN＝90°，
∴∠BAM＝∠CDN＝30°，
∴BM＝ AM，CN＝ DN，△ABM∽△DCN，
∴ ，
设AM＝2a，则DN＝3a，BM＝ AM＝a，CN＝ DN＝ a，
∵△AED是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠AEM+∠NED＝120°，
∵∠MAE+∠AEM＝120°，
∴∠MAE＝∠NED，在△AME和△END中， ，
∴△AME≌△END（AAS），
∴AM＝EN＝2a，ME＝ND＝3a，
∴BE＝ME﹣BM＝2a，CE＝2a﹣ a＝ a，
∴ ；
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）α＝ ，它们的相似比是 ．
（2）求边x、y的长度．
【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ ，
解得，x＝12，y＝ ．
【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，
∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
它们的相似比为： ，
故答案为：83°； ；
18．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME=MF；
（2）若∠A=40°，求∠FME的度数．
【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME= BC，MF= BC，
∴ME=MF；
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∵MF=MB，ME=MC，
∴∠MFB=∠ABC，∠MEC=∠ACB，
∴∠BMF+∠CME=360°-140°×2=80°，
∴∠FME=180°-80°=100°．
19．已知，四边形 的两条对角相交于点 ， .
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，且 ，
（2）解：由（1）得： ，
，且 ，
，
又∵ ， ， ，
，
解得 .
20．如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
【答案】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋ ∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－ ∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－ ∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－ ∠ABD．
∴DB＝AB．
（2）解：如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
（3）解：如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴ ．
∴ ， ．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋ ＋x－ =30，
解得AB＝16－ ．
在Rt△ACO中，AC＝ ，AO＝ ，
∴BO＝16－ ．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即 ．
解得 （舍去） ．
∴AC＝ ．
∴AF＝11．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，点P是边AC上的一个动点，∠APD＝∠ABC，AD∥BC，连接CD．
（1）求证AD＝2AP；
（2）如图①，若BA与CD的延长线交于点M，AP＝1，求AM的长；
（3）如图②，若AB与DC的延长线交于点N，当△CDP与△BCN相似时，求证点P是AC的中点．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAP＝∠ACB
又∵∠APD＝∠ABC
∴△DAP∽△ACB
∴
∴
∴AD＝2AP
（2）解：∵AP＝1，
∴AD＝2AP＝2
∵AD∥BC
∴△MAD∽△MBC
∴
∴
∴AM＝
（3）解：∵∠APD＝∠ABC
∴∠CPD＝∠CBN
又∵∠ACP＞∠N
∴当△CDP与△BCN相似时，只能是△CPD∽△CBN
设AP＝x，BN＝y，则AD＝PD＝2x，CP＝10﹣x
∵△CPD∽△CBN，
∴ ，
∴
∵AD∥BC，
∴△NBC∽△NAD，
∴ ，
∴
联立两个方程后，解出x＝5，
∴点P是AC的中点
22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 =3，求 的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若 =m（m＞0），求 的值（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 =a， =b，（a＞0，b＞0），则 的值是 （用含a、b的代数式表示）．
【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；
（2）解：如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴ = =m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴ =2，
∴CG=2EH．
∴ = =
（3）ab
【解析】（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴ ，
∴AB=3EH．
∵ ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
= = = ．
故答案为：AB=3EH；CG=2EH； ．
3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴ =b，
∴CD=bEH．
又 =a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ = = =ab，
故答案为：ab．
23．
（1）【证明体验】
如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，求证：；
（2）【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∴∠ABC＝∠APB，
∵∠PAC＝∠PBC，∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＋∠PCA＝∠ABC，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PCA.
（2）解：延长BP至点D，使得PD＝PC，
∵若点P为的中点，
∴，
∴AP＝CP，∠PAC＝∠PBA＝∠PCA，
∴AP＝DP，∠APB＝2∠PBA，
∴∠PAD＝∠D，
∴∠APB－2∠PAD＝2∠D，
∴∠PBA＝∠PAD＝∠D，
∴AD＝AB＝6，
∵∠D＝∠D，
∴，
∴
∴，
∴（舍去）或.
∴PA的值为4.
（3）解：连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H，
∵OC＝OP＝5＝CP，
∴△OCP为等边三角形，
∴，
∵BC＝6，
∴，，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ABP，∠BAP＝∠PCE，
∴，
∴，
∴.
24．有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.
（1）【理解运用】
如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求点C到AD的距离；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；
（3）【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F.
∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝ ＝ ＝4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形.
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM.
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形.
（3）解：如图③中，过点D作DH⊥x轴于H.
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2 ，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴u＝ ，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝ ＝2 ，
∴u＝ ＝ （0＜t＜4），
即u＝ （0＜t＜4）
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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．现有一个测试距离为5m的视力表（如图），根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的的值为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在平行四边形 中，点E是 上任意一点，过点E作 交 于点F，连接 并延长交 的延长线于点H，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC CD=AC OA
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
5．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A． s B． s C． s或 s D．以上均不对
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论：
①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE GC；④若AF＝1，则EG＝ ，其中结论正确个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：；；∽；，其中正确的是
A． B． C． D．
9．如图，AB是 O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个.
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ．
13．如图，在等腰中，，，在上，且，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为 ．
15．如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形.如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 .
16．如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连接AE、DE得等边△AED，若 ，则 ＝ .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）α＝ ，它们的相似比是 ．
（2）求边x、y的长度．
18．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME=MF；
（2）若∠A=40°，求∠FME的度数．
19．已知，四边形 的两条对角相交于点 ， .
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
20．如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，点P是边AC上的一个动点，∠APD＝∠ABC，AD∥BC，连接CD．
（1）求证AD＝2AP；
（2）如图①，若BA与CD的延长线交于点M，AP＝1，求AM的长；
（3）如图②，若AB与DC的延长线交于点N，当△CDP与△BCN相似时，求证点P是AC的中点．
22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 =3，求 的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若 =m（m＞0），求 的值（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 =a， =b，（a＞0，b＞0），则 的值是 （用含a、b的代数式表示）．
23．
（1）【证明体验】
如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，求证：；
（2）【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值.
24．有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.
（1）【理解运用】
如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求求点C到AD的距离；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；
（3）【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.
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