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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知=，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．-4 D．-3
【答案】A
【解析】由比例的性质，得b=，
=3，
故选：A．
2．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意．
C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
故答案为：B.
3．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵x：b=c：a，∴ = ，
A、作出的为 = ，故本选项正确；B、作出的为 = ，故本选项错误；
C、线段x无法先作出，故本选项错误；D、作出的为 = ，故本选项错误；
故选A．
4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ）
① ；② ；③△EDG∽△CBG；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵点G是△ABC的重心，
∴AE，CD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，∴△DGE∽△BGC，
∴ ＝ ，①正确； ，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确； ,④正确，
故答案为：D．
5．如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】D
【解析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵ ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵ ， ∴ ，
∴ ，
∴
∵点 在反比例函数 的图象上 ∴ ∴
∴ ，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故答案为：D.
6．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【答案】D
【解析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴ = ，则 CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则 AE=4DF，
∴ = ，
故答案为：D．
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【分析】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴，，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴，
∴，
∴S2=4S1，S3=9S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8．
故选B.
8．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，BF平分∠EBC交CD于点F，过点F作FG⊥AB交BE于点H，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，
将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，如图所示：
设△BCK是旋转后的△ABE，
∴△ABE≌△CBK，
∴AE＝CK，BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∠BAE＝∠BCK＝90°，
∴K、C、F三点共线，
∵BF是∠EBC的角平分线，
∴∠EBF＝∠FBC，∴∠ABE+∠EBF＝∠KBC+∠FBC，∴∠ABF＝∠FBK，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFK，∴∠KBF＝∠BFK，∴BK＝KF，
∵KF＝CK+CF＝AE+CF，BK＝BE，∴BE＝AE+CF，
∵点E是AD边上的中点，∴AE＝ AD＝1，
由勾股定理得：BE＝ ，
∴CF＝BE﹣AE＝ ﹣1，
∵四边形ABCD是正方形，FG⊥AB，
∴四边形BCFG与四边形ADFG都是矩形，
∴CF＝BG＝ ﹣1，GH∥AE，
∴△BGH∽△BAE，
∴ ，即 ，
∴GH＝ ，
故答案为：A．
9．如图，在矩形 中，线段 ， 分别平行于 ， ，它们相交于点 ，点 ， 分别在线段 ， 上， ， ，连接 ， ，相交于点 .已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
设AB=5x， BC=6x，
∵
∴AE= ，AH= ，
∴EB=AB-AE= ，HD=AD-AH=6x-2x=4x，
∵线段 ， 分别平行于 ， ，
∴∠DHI=∠A=∠AHI=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90°
∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形，
∴IN=HI=AE= ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= ，IG=HD=4x，
∵ ， ，
∴ 即 ，
又∵∠MIG=∠NIF，
∴△NIF∽△MIG，
∴∠IFN=∠IGM，
又∠MPF=∠GPN，
∴△MPF∽△NPG，
.
故答案为：B.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．3. B．4 C．3 D．5
【答案】D
【解析】如图，连接CP，作PE交AC于点E，使
∵
∴∽
∴
∵
∴
∴，当B、P、E三点共线，即P运动P'时有最小值EB
∵
∴
∴
∴的最小值为
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ=1，则S四边形PBCQ= .
【答案】3
【解析】∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3.
12．在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为 ．
【答案】 或
【解析】如图1所示：当BE < CE时，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B= ∠DCE= 90°，CD= AB=6，
∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE△ECD，
∴，∴，
∴BE =3，
∴CE=12，
过点P作PQ⊥BC于Q，
∴∠PQE= ∠B=90°，
∴△ABE≌△EQP，
∴EQ= AB=6，PQ = BE=3，
∴CQ= 15-6-3=6，
∴CP=，
如图2所示：当BE>CE时，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B= ∠DCE=90°，CD= AB=6，
∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB = ∠AEB+ ∠CED=90°，
∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE△ECD，
∴，∴，
∴BE= 12，∴CE=3，
过点P作PQ⊥BC于Q，
∴∠PQE= ∠B= 90°，
∴△ABE≌△EQP，
∴EQ= AB = 6，PQ= BE= 12，
∴CQ=12+6-15=3，
∴，
综上所述，CP的长为 或 ，
故答案为： 或 .
13．如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】∵ ，而 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点是OB的中点，连接AE并延长交BC于点若的面积为1，则正方形ABCD的面积为 .
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，∴，
∵E是OB的中点，∴，∴S△BEF：S△AEB=EF∶AE=，
∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，
∵，∴S△AEB：S△AED=
∴△AED的面积为9，
∴S△ABD=9+3=12，
∴正方形ABCD的面积=12×2=24.
故答案为：24.
15．如图，在与中，，连接、，若，则为 .
【答案】
【解析】∵，
∴，∴，，
∴，，∴，
∴，∴，
∵，，∴在，
∴，∴，
故答案为：.
16．已知矩形 ， 是 边上一点且 是 边的中点，连接 相交于 两点，则 的面积是 .
【答案】3
【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH FG，过点N作PN FG，
在矩形 中， ，
,
FG//BC，F是 边的中点，
，
∵
N到FG的距离
，
同理可得，
∵
M到FG的距离 ，
∴
，
故答案为：3.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知∠ADB=∠A+∠C
（1）求证：△CBD∽△CAB
（2）若CD=1，AD=2，求CB的长
【答案】（1）解：∵∠ADB=∠A+∠C，又因为∠ADB=∠C+∠CBD，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB
（2）解：由△CBD∽△CAB，
可得
∵CD=1， AD=2，
∴CA=3，即 ，
∴CB=
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ．
19．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，
所以 ，
∵CD∥EF，∴ ，
∴ =1，
∴ ，
（2）解：关系式为： ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，
由题设可得： ，
∴ ，又∵ BD AM=S△ABD， =S△BCD∴ BD EN=S△BED，
∴ .
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2＝∠3，
∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，
即∠6＝∠EBF，
∴EB＝EF；
（2）解：∵DE＝4，DF＝3，
∴BE＝EF＝DE+DF＝7，
∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
，即 ，
∴EA＝ ，
∴AF＝AE﹣EF＝ ．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。
（1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 的值为 ；
（2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC
；
（3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。
【答案】（1）3
（2）证明： (如图1)
∵∠APC=∠GPD+∠DPC ，
∠APC=∠B+∠BCP，
又∠CPD=∠B，
∴∠GPD=∠BCP
又AD=DG，
∴∠G=∠GAD
又AM∥BC，
∴∠GAD=∠B，
∴∠G=∠B．
又∠GPD=∠BCP
∴△DGP∽△PBC
（3）解：(如图2)
在BA的延长线上取点G，使得DA= DG
∵AB=AC，DA=DG，
∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD．
∵AM∥BC，
∵∠GAD=∠B．
∴∠G=∠ACB ．
∴△DGA∽△ACB
∴
∴
又点P是AB的中点，
∴AP=BP=3
设AD=x，则DG=x，AG= x，PG=3+ x，
由(2)得△DGP△PBC，
∴
∴
解得x=9
∴AD=9
22．如图，在 中， ， 是中线， ，一个以点 为顶点的45°角绕点 旋转，使角的两边分别与 ， 的延长线相交，交点分别为点 ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
（1）如图①，若 ，求证： ；
（2）如图②，在 绕点 旋转的过程中：若 ， ，
①求线段 的长；
②求 的长．
【答案】（1）证明： ， ， 是中线，
， ，
，在 与 中， ，
，
；
（2）解：①由（1）可知， ，
，
由题意得： ，
，
，在 和 中， ， ，
，即 ，
，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
， ， 是中线，
，
即 ；
②如图，过 作 于点 ，
则 ， ，
由（2）①可知， ，
由（1）可知， ，
是等腰直角三角形，
，
在 和 中， ，
，
，
，
．
23．点在矩形的边上，在边上，、的延长线上交于点．
（1）如图1，点是的中点，延长交于，求证：点是的中点；
（2）若点是的中点：
如图2，连接，求证：；
如图3，若，，直接写出的值为 ▲ ．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
∽，∽，
，，
，
，
点是的中点；
（2）解：①证明：如图2，延长、交于点
点是的中点，
，
由（1）得：，
又，
，
，
，
，，
；
②
【解析】（2）②如图3，过点作于，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
又，
∽，
，
设，，则，
，
点是中点，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
24．（1）【问题探究】如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：.
（2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M、N分别在边、上，且，求的值.
（3）【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点M、N分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：设AE、DF相交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°，
∴∠ADG+∠CDG=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠AGD=90°
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠DAG=∠CDG，
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF (ASA)，
∴AE= DF；
（2）解：过点N作于点P，、相交于点H，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
过点E作交于点K，过点N作交于点L，
四边形是平行四边形，
，，
四边形、是平行四边形，
，，
，
若，
则，
，
，
，
，
，
，
.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知=，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．-4 D．-3
2．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ）
① ；② ；③△EDG∽△CBG；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
6．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )．
A．6 B．8 C．10 D．12
8．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，BF平分∠EBC交CD于点F，过点F作FG⊥AB交BE于点H，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中，线段 ， 分别平行于 ， ，它们相交于点 ，点 ， 分别在线段 ， 上， ， ，连接 ， ，相交于点 .已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．3. B．4 C．3 D．5
（第9题） （第10题） （第11题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ=1，则S四边形PBCQ= .
12．在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为 ．
13．如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ，且 ，则 ．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点是OB的中点，连接AE并延长交BC于点若的面积为1，则正方形ABCD的面积为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在与中，，连接、，若，则为 .
16．已知矩形 ， 是 边上一点且 是 边的中点，连接 相交于 两点，则 的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知∠ADB=∠A+∠C
（1）求证：△CBD∽△CAB
（2）若CD=1，AD=2，求CB的长
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
19．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。
（1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 的值为 ；
（2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC
；
（3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。
22．如图，在 中， ， 是中线， ，一个以点 为顶点的45°角绕点 旋转，使角的两边分别与 ， 的延长线相交，交点分别为点 ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
（1）如图①，若 ，求证： ；
（2）如图②，在 绕点 旋转的过程中：若 ， ，
①求线段 的长；
②求 的长．
23．点在矩形的边上，在边上，、的延长线上交于点．
（1）如图1，点是的中点，延长交于，求证：点是的中点；
（2）若点是的中点：
如图2，连接，求证：；
如图3，若，，直接写出的值为 ▲ ．
24．（1）【问题探究】如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：.
（2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M、N分别在边、上，且，求的值.
（3）【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点M、N分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由.
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