2023年浙教版数学八年级上册5.2函数 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·房山开学考）下面的四个问题中都有两个变量：变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ）
A．汽车从地匀速行驶到地，汽车的行驶路程与行驶时间
B．用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长与另一条边长
C．将水匀速注入水箱中，水箱中的水量与注水时间下x
D．在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度与所挂重物质量
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A.汽车行驶的路程y随行驶时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
B：用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长随另一条边长的增加而减小，该选项符合题意；
C：将水匀速注入水箱中，水箱中的水量随注水时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
D：在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度随所挂重物质量的增加而增加，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给的函数图象，对每个选项逐一判断即可。
2．（2023八下·台州期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：
个数
分值 10 9 8 7 6
个数
分值 5 4 3 2 1
现有两种说法：①是的函数；②是的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①对，②对 D．①错，②错
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由表中数据可知，m随着l的变化而变化，
∴m是l的函数，
∴①错，②正确.
故答案为：B
【分析】利用表中数据的变化可知m随着l的变化而变化，可得到m是l的函数，即可求解.
3．（2023八下·邢台期中）对于下列曲线中，说法正确的是（ ）
A．甲能表示y是x的函数 B．乙能表示y是x的函数
C．甲和乙均能表示y是x的函数 D．甲和乙均不能表示y是x的函数
【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由函数定义中“给定了一个x值，相应地就确定惟一的一个y值”，可知甲能表示y是x的函数。
故选：A
【分析】根据函数定义中“给定了一个x值，相应地就确定惟一的一个y值“即可判断。
4．（2023八下·凤台期末）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，x-4≠0
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件得出分母不为0，即可求解．
5．（2022八上·常熟月考）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或-
【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：把y＝8代入函数，
先代入上边的方程得x＝，
∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝-；
再代入下边的方程x＝4，
∵x＞2，故x＝4，
综上，x的值为4或-.
故答案为：D.
【分析】将y=8分别求出y=x2+2、y=2x中求出x的值，然后结合x的范围进行取舍.
6．（2023八下·密云期末）若点A（m，n）在y=x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（ ）
A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；函数解析式
【解析】【解答】
∵A（m，n）在y=x+b的图像上
∴
∴ 2m+3b=3n
∴ 2m-3n=-3b
∵ 2m-3n＞6
∴ -3b＞6
∴ b＜-2
故答案为D
【分析】本题考查点和函数的关系、解一元一次不等式。理解点和函数的关系是解题关键。
7．对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤
【答案】D
【知识点】常量、变量；函数的表示方法；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①x是自变量，y是因变量，正确；
②x的数值可以任意选择，正确；
③y是变量，y随x的变化而变化，故原说法错误；
④根据函数的三种表示形式，可知用关系式表示的能用图象表示，故原说法错误；
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确.
故答案为：D.
【分析】根据自变量、因变量的概念可判断①；根据关系式可得y随x的变化而变化，据此判断②③；根据函数的表示方法可判断④⑤.
8．（2023·宜宾模拟）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为xm，边的长为ym．则y与x之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵BC=xm，
∴y=AB=CD=(12-x)=6-x.
∵0<6-x<4，
∴4
故答案为：B.
【分析】根据题意可得AB=CD=(12-x)，由09．（2023七下·凤城期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如表），下列说法中错误的是（ ）
温度
声速
A．当空气温度为时，内声音可以传播
B．温度每升高，声速增加
C．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
D．温度越高，声速越快
【答案】A
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、当空气温度为20℃时，声速为342m/s，
∴5s内声音可以传播342X5=1710 (m)，则选项A错误；
B、∵324-318=6(m/s)，330-324=6 (m/s)，336-330=6 (m/s)，342-336=6 (m/s)，348-342=6 (m/s)，
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，则选项B正确；
C、∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，则选项C正确；
D、∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，则选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可.
10．（2022七下·左权期中）梦想从学习开始，事业从实践起步近来，每天登录“学习强国”APP，学精神增能量、看文化、长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w/（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．周积分w与学习天数n的关系式为w＝50n
D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法符合题意；
B、根据表格数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，说法符合题意；
C、当n=3时，w=150≠160，符合题意；
D、根据表格数据可知，天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，
故答案为：C．
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项判断即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·栾城期中）在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则与之间的函数关系式是 ，自变量取值范围为 ．
【答案】y=24-3x；0＜x＜8
【知识点】函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）如图：在△APB中，
PB看作底边，则高是AC，
∵BC=8，CP=x，
∴BP=8-x，
∴S△ABP=×BP AC
=×（8-x）×6
=24-3x，
即y=24-3x。
故填：y=24-3x
（2）∵P点与B、C不重合，
∴0＜x＜8
故填： 0＜x＜8
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由P点与B、C不重合得出自变量取值范围。
12．（2023七下·东源期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为 ．
【答案】y=2.7x-0.1
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2.7元可得行程（千米）需加收，
起步价8元（行程小于或等于3千米），
出租车费.
故答案为：y=2.7x-0.1.
【分析】根据超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2.7元可得行程（千米）需加收（2.7x-8.1）元，而起步价8元（行程小于或等于3千米），故可求得出租车费y=2.7x-0.1.
13．（2022九上·杨村月考）已知一个直角三角形的两条直角边的和为，若设此直角三角形的面积为，其中一条直角边为x，则S与x的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
【答案】；0＜x＜10
【知识点】函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
自变量的取值范围是．
故答案为：，0＜x＜10．
【分析】利用三角形的面积公式列出函数解析式即可。
14．（2023八下·石家庄期中）根据如图的程序计算，当输出的结果时，则输入的 ．
【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：由y=x+5可得：
x=y-5
∵x≤1
∴y-5≤1
∴y≤6
由y=-x+5可得：
x=5-y
∵x＞1
∴5-y＞1
∴y<4
∵输出结果y=5.7，
∴x=y-5
x=0.7
故填：0.7
【分析】把图中两个函数解析式变形为含y的式子表示x，根据x的范围进行判断可得。
15．有边长为1的小等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2、3、4、……的大等边三角形(如图所示)．
根据图形推断，每个大等边三角形所用的小等边三角形的卡片数S与大等边三角形的边长n的关系式是
【答案】S=n2
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：题图①中，n=1，S=1；
题图②中，n=2，S=4；
题图③中，n=3，S=9；
题图④中，n=4，S= 16；
依此类推，每个大等边三角形所用的小等边三角形的卡片数S与大等边三角形的边长n的关系式是S=n2．
【分析】本题是数形结合，要先观察相邻图形之间变化的部分和不变的部分
16．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：
① 气温x1201日期y1234
②
③ y=kx+b ④ y=|x|
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
【答案】④
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②③不符合定义，④符合定义，
故答案为④．
【分析】根据函数的定义判断即可．
三、解答题（共8题，共66分）
17．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值．
所挂物体
质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
y/cm
18
20
22
24
26
28
①上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？②当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？③若所挂重物为6kg时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
【答案】①上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；②当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；③根据上表可知所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×6=30厘米．
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】①上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；②当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；③根据上表可知所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×6=30厘米．
【分析】①因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；②由表可知，当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是24cm；不挂重物时，弹簧的长度是18cm；③由表中的数据可知，x=0时，y=18，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，依此可求所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度．
18．（2022七下·）如图， 中， 是 边的中点， 是 边上的一个动点，连接 .设 的面积为 ， 的长为 ，小明对变量 和 之间的关系进行了探究，得到了以下的数据：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）自变量和因变量分别是什么？
（2） 和 的值分别是多少？
（3） 的面积是怎样变化的？
【答案】（1）解：自变量是BE的长x，因变量是△ADE的面积y；
（2）解：∵x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，
∴BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，
∴x＝1时，DE＝2，
∴a＝ ×2×2＝2，
当x＝4时，DE＝1，
∴b＝ ×1×2＝1；
（3）解：当0≤x≤3时，y＝3 x，
3≤x≤6时，y＝x 3；
当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；
当3≤x≤6时，y随x的增大而增大.
【知识点】常量、变量；三角形的面积；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，三角形ADE中DE边上的高始终不变，三角形的面积随DE的变化而变化，从而根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据表格中的数据可得：x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，则BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，根据x＝1时，DE＝2结合三角形的面积公式可得a的值；根据x＝4时，DE＝1结合三角形的面积公式可得b的值；
（3）易得：当0≤x≤3时，y＝3-x；当 3≤x≤6时，y＝x-3，据此解答.
19．（2023七下·青岛期末）如图，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度为，的面积为，求关于的关系式；
（2）设点的运动速度为，当 时，与全等．
【答案】（1）解：∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴关于的关系式是
（2）解：或
【知识点】函数解析式；三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】（2）设点的运动速度为，
∵，，，，
∴，
分以下两种情况：
①若，
则，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②若，
则，，
∴，
解得：，
∴，
∴当或时，与全等，
故答案为：或．
【分析】（1）由题意得：AP=2t，BQ=t，则BP=AB-AP=9-2t，根据即可求解；
（2）分以下两种情况：①若，②若，根据全等三角形的对应边相等分别进行解答即可.
20．（2022七下·）如图在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点P，Q同时从点B出发，其中点P以
的速度沿着点
运动；点Q以
的速度沿着点
运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动.
（1）当运动时间
时，则三角形
的面积为 ；
（2）当运动时间
时，则三角形
的面积为 ；
（3）当运动时间为
时，请用含t的式子表示三角形
的面积.
【答案】（1）16
（2）30
（3）解：当P在 上时，此时 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
综上，当运动时间为 时，三角形 的面积 .
【知识点】三角形的面积；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s，
当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm），
则三角形BPQ的面积为：
，
故答案为：16；
（2）当运动时间
时，
∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s，
∴点P运动到了AD上，
，
则三角形BPQ的面积为：
，
故答案为：30；
【分析】（1）由题意可得：当运动时间t=4s时，QB=8cm，BP=t=4cm，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）当运动时间t=6s时， QB=12cm，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）当P在AB上时，此时t≤5，根据三角形的面积公式可得△BPQ的面积；当P在AD上，且Q沿着点 B→C运动时， 521．（2021八下·遵化期中）如图所示，在一个边长为12cm的正方形四个角上，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，常量和变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，写出y与x的关系式．
（3）当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积在什么范围内变化？是怎样变化的？
【答案】（1）解：由题意可知常量是大正方形的边长12，变量是小正方形的边长和阴影部分的面积
故答案为：常量是12，变量是小正方形的边长和阴影部分的面积．
（2）解：由图形可知阴影面积=大正方形面积-4个小正方形的面积
∴y＝122－4x2，即y＝144－4x2.
（3）解：当x＝1时，y＝144－4×12＝140；
当x＝5时，y＝144－4×52＝44.
∴当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，
阴影部分的面积逐渐变小，从140cm2减少到44cm2.
【知识点】常量、变量；函数解析式；函数值
【解析】【分析】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小正方形的面积即可解答；
（3）根据当小正方形的面积有1厘米增加到5厘米时，x的增大，x的平方也随之增大，阴影部分的面积逐渐变小，即可得出答案。
22．（2021七上·道里期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为．将线段向右平移4个单位长度得到线段（点和点分别是点和点的对应点），连接．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示；
（3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线交于点，将的面积分成1：2的两部分，且的面积是面积的3倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点C的坐标为（0，3）．将线段OC向右平移4个单位长度得到线段A，
∴A（4，0），B（4，3）；
（2）解：分为两种情况：
①点在线段上，
②点在线段上，
（3）解：当点在线段上
将的面积分成1：2的两部分，分为两种情况
①如图3，
当时，点的坐标为
②如图4，
当时，点不符合题意，
当点在线段上，不符合题意，
综上，点的坐标为
【知识点】函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）由平移的性质可得出答案；
（2）分两种情况：①点在线段上，②点在线段上，再由三角形面积公式可得出答案；
（3）当点在线段上，分两种情况：①当时，可求出点Q的坐标；②当时，点不符合题意，当点在线段上，不符合题意，则可得出答案。
23．（2022八上·通州期中）阅读理解
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x … 0 …
… 无意义 . …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；
当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，请直接写出代数式值的范围 ．
【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵，
∵当时，的值无限接近0，
∴的值无限接近3，
（3）
【知识点】分式的值；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）∵当时，随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，的值减小，
∵，
当时，随着x的增大而减小，
∴随着x的增大的值减小，
故答案为：减小，减小；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由和的变化情况，判断和的变化情况即可；
（2）将代数式变形为，再求解即可；
（3）将代数式变形为，再结合，即可得到。
24．（2023七下·九江期末）综合实践
问题提出
如图1，在四边形中，与互补，与互补，，，，数学兴趣小组在探究与的数量关系时，经历了如下过程：
（1）实验操作
数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：
这里 ， ， ．
（2）猜想证明
根据表格，猜想：与之间的关系式为 ▲ ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长到，使，连接，……，请你根据其思路将证明过程补充完整．
（3）应用拓广
如图3，若，求四边形的面积．
【答案】（1）55；40；130
（2）解：，证明：延长到E，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
即
（3）解：∵，，
∴，
解得，
即，
由（2）得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）延长到E，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：55，40，130；
【分析】（1）先证出，可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再将x和y的值分别代入计算即可；
（2）延长到E，使，连接，先证出，可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出即可；
（3）先求出，再结合，求出即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册5.2函数 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·房山开学考）下面的四个问题中都有两个变量：变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ）
A．汽车从地匀速行驶到地，汽车的行驶路程与行驶时间
B．用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长与另一条边长
C．将水匀速注入水箱中，水箱中的水量与注水时间下x
D．在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度与所挂重物质量
2．（2023八下·台州期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：
个数
分值 10 9 8 7 6
个数
分值 5 4 3 2 1
现有两种说法：①是的函数；②是的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①对，②对 D．①错，②错
3．（2023八下·邢台期中）对于下列曲线中，说法正确的是（ ）
A．甲能表示y是x的函数 B．乙能表示y是x的函数
C．甲和乙均能表示y是x的函数 D．甲和乙均不能表示y是x的函数
4．（2023八下·凤台期末）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·常熟月考）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或-
6．（2023八下·密云期末）若点A（m，n）在y=x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（ ）
A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2
7．对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤
8．（2023·宜宾模拟）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为xm，边的长为ym．则y与x之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023七下·凤城期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如表），下列说法中错误的是（ ）
温度
声速
A．当空气温度为时，内声音可以传播
B．温度每升高，声速增加
C．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
D．温度越高，声速越快
10．（2022七下·左权期中）梦想从学习开始，事业从实践起步近来，每天登录“学习强国”APP，学精神增能量、看文化、长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w/（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．周积分w与学习天数n的关系式为w＝50n
D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·栾城期中）在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则与之间的函数关系式是 ，自变量取值范围为 ．
12．（2023七下·东源期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为 ．
13．（2022九上·杨村月考）已知一个直角三角形的两条直角边的和为，若设此直角三角形的面积为，其中一条直角边为x，则S与x的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
14．（2023八下·石家庄期中）根据如图的程序计算，当输出的结果时，则输入的 ．
15．有边长为1的小等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2、3、4、……的大等边三角形(如图所示)．
根据图形推断，每个大等边三角形所用的小等边三角形的卡片数S与大等边三角形的边长n的关系式是
16．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：
① 气温x1201日期y1234
②
③ y=kx+b ④ y=|x|
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
三、解答题（共8题，共66分）
17．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值．
所挂物体
质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
y/cm
18
20
22
24
26
28
①上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？②当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？③若所挂重物为6kg时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
18．（2022七下·）如图， 中， 是 边的中点， 是 边上的一个动点，连接 .设 的面积为 ， 的长为 ，小明对变量 和 之间的关系进行了探究，得到了以下的数据：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）自变量和因变量分别是什么？
（2） 和 的值分别是多少？
（3） 的面积是怎样变化的？
19．（2023七下·青岛期末）如图，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度为，的面积为，求关于的关系式；
（2）设点的运动速度为，当 时，与全等．
20．（2022七下·）如图在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点P，Q同时从点B出发，其中点P以
的速度沿着点
运动；点Q以
的速度沿着点
运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动.
（1）当运动时间
时，则三角形
的面积为 ；
（2）当运动时间
时，则三角形
的面积为 ；
（3）当运动时间为
时，请用含t的式子表示三角形
的面积.
21．（2021八下·遵化期中）如图所示，在一个边长为12cm的正方形四个角上，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，常量和变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，写出y与x的关系式．
（3）当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积在什么范围内变化？是怎样变化的？
22．（2021七上·道里期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为．将线段向右平移4个单位长度得到线段（点和点分别是点和点的对应点），连接．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示；
（3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线交于点，将的面积分成1：2的两部分，且的面积是面积的3倍，求点的坐标．
23．（2022八上·通州期中）阅读理解
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x … 0 …
… 无意义 . …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；
当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，请直接写出代数式值的范围 ．
24．（2023七下·九江期末）综合实践
问题提出
如图1，在四边形中，与互补，与互补，，，，数学兴趣小组在探究与的数量关系时，经历了如下过程：
（1）实验操作
数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：
这里 ， ， ．
（2）猜想证明
根据表格，猜想：与之间的关系式为 ▲ ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长到，使，连接，……，请你根据其思路将证明过程补充完整．
（3）应用拓广
如图3，若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A.汽车行驶的路程y随行驶时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
B：用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长随另一条边长的增加而减小，该选项符合题意；
C：将水匀速注入水箱中，水箱中的水量随注水时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
D：在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度随所挂重物质量的增加而增加，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给的函数图象，对每个选项逐一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由表中数据可知，m随着l的变化而变化，
∴m是l的函数，
∴①错，②正确.
故答案为：B
【分析】利用表中数据的变化可知m随着l的变化而变化，可得到m是l的函数，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由函数定义中“给定了一个x值，相应地就确定惟一的一个y值”，可知甲能表示y是x的函数。
故选：A
【分析】根据函数定义中“给定了一个x值，相应地就确定惟一的一个y值“即可判断。
4．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，x-4≠0
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件得出分母不为0，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：把y＝8代入函数，
先代入上边的方程得x＝，
∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝-；
再代入下边的方程x＝4，
∵x＞2，故x＝4，
综上，x的值为4或-.
故答案为：D.
【分析】将y=8分别求出y=x2+2、y=2x中求出x的值，然后结合x的范围进行取舍.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；函数解析式
【解析】【解答】
∵A（m，n）在y=x+b的图像上
∴
∴ 2m+3b=3n
∴ 2m-3n=-3b
∵ 2m-3n＞6
∴ -3b＞6
∴ b＜-2
故答案为D
【分析】本题考查点和函数的关系、解一元一次不等式。理解点和函数的关系是解题关键。
7．【答案】D
【知识点】常量、变量；函数的表示方法；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①x是自变量，y是因变量，正确；
②x的数值可以任意选择，正确；
③y是变量，y随x的变化而变化，故原说法错误；
④根据函数的三种表示形式，可知用关系式表示的能用图象表示，故原说法错误；
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确.
故答案为：D.
【分析】根据自变量、因变量的概念可判断①；根据关系式可得y随x的变化而变化，据此判断②③；根据函数的表示方法可判断④⑤.
8．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵BC=xm，
∴y=AB=CD=(12-x)=6-x.
∵0<6-x<4，
∴4故答案为：B.
【分析】根据题意可得AB=CD=(12-x)，由09．【答案】A
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、当空气温度为20℃时，声速为342m/s，
∴5s内声音可以传播342X5=1710 (m)，则选项A错误；
B、∵324-318=6(m/s)，330-324=6 (m/s)，336-330=6 (m/s)，342-336=6 (m/s)，348-342=6 (m/s)，
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，则选项B正确；
C、∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，则选项C正确；
D、∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，则选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可.
10．【答案】C
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法符合题意；
B、根据表格数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，说法符合题意；
C、当n=3时，w=150≠160，符合题意；
D、根据表格数据可知，天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，
故答案为：C．
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项判断即可.
11．【答案】y=24-3x；0＜x＜8
【知识点】函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）如图：在△APB中，
PB看作底边，则高是AC，
∵BC=8，CP=x，
∴BP=8-x，
∴S△ABP=×BP AC
=×（8-x）×6
=24-3x，
即y=24-3x。
故填：y=24-3x
（2）∵P点与B、C不重合，
∴0＜x＜8
故填： 0＜x＜8
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由P点与B、C不重合得出自变量取值范围。
12．【答案】y=2.7x-0.1
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2.7元可得行程（千米）需加收，
起步价8元（行程小于或等于3千米），
出租车费.
故答案为：y=2.7x-0.1.
【分析】根据超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2.7元可得行程（千米）需加收（2.7x-8.1）元，而起步价8元（行程小于或等于3千米），故可求得出租车费y=2.7x-0.1.
13．【答案】；0＜x＜10
【知识点】函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
自变量的取值范围是．
故答案为：，0＜x＜10．
【分析】利用三角形的面积公式列出函数解析式即可。
14．【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：由y=x+5可得：
x=y-5
∵x≤1
∴y-5≤1
∴y≤6
由y=-x+5可得：
x=5-y
∵x＞1
∴5-y＞1
∴y<4
∵输出结果y=5.7，
∴x=y-5
x=0.7
故填：0.7
【分析】把图中两个函数解析式变形为含y的式子表示x，根据x的范围进行判断可得。
15．【答案】S=n2
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：题图①中，n=1，S=1；
题图②中，n=2，S=4；
题图③中，n=3，S=9；
题图④中，n=4，S= 16；
依此类推，每个大等边三角形所用的小等边三角形的卡片数S与大等边三角形的边长n的关系式是S=n2．
【分析】本题是数形结合，要先观察相邻图形之间变化的部分和不变的部分
16．【答案】④
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②③不符合定义，④符合定义，
故答案为④．
【分析】根据函数的定义判断即可．
17．【答案】①上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；②当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；③根据上表可知所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×6=30厘米．
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】①上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；②当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；③根据上表可知所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×6=30厘米．
【分析】①因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；②由表可知，当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是24cm；不挂重物时，弹簧的长度是18cm；③由表中的数据可知，x=0时，y=18，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，依此可求所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度．
18．【答案】（1）解：自变量是BE的长x，因变量是△ADE的面积y；
（2）解：∵x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，
∴BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，
∴x＝1时，DE＝2，
∴a＝ ×2×2＝2，
当x＝4时，DE＝1，
∴b＝ ×1×2＝1；
（3）解：当0≤x≤3时，y＝3 x，
3≤x≤6时，y＝x 3；
当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；
当3≤x≤6时，y随x的增大而增大.
【知识点】常量、变量；三角形的面积；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，三角形ADE中DE边上的高始终不变，三角形的面积随DE的变化而变化，从而根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据表格中的数据可得：x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，则BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，根据x＝1时，DE＝2结合三角形的面积公式可得a的值；根据x＝4时，DE＝1结合三角形的面积公式可得b的值；
（3）易得：当0≤x≤3时，y＝3-x；当 3≤x≤6时，y＝x-3，据此解答.
19．【答案】（1）解：∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴关于的关系式是
（2）解：或
【知识点】函数解析式；三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】（2）设点的运动速度为，
∵，，，，
∴，
分以下两种情况：
①若，
则，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②若，
则，，
∴，
解得：，
∴，
∴当或时，与全等，
故答案为：或．
【分析】（1）由题意得：AP=2t，BQ=t，则BP=AB-AP=9-2t，根据即可求解；
（2）分以下两种情况：①若，②若，根据全等三角形的对应边相等分别进行解答即可.
20．【答案】（1）16
（2）30
（3）解：当P在 上时，此时 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
综上，当运动时间为 时，三角形 的面积 .
【知识点】三角形的面积；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s，
当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm），
则三角形BPQ的面积为：
，
故答案为：16；
（2）当运动时间
时，
∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s，
∴点P运动到了AD上，
，
则三角形BPQ的面积为：
，
故答案为：30；
【分析】（1）由题意可得：当运动时间t=4s时，QB=8cm，BP=t=4cm，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）当运动时间t=6s时， QB=12cm，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）当P在AB上时，此时t≤5，根据三角形的面积公式可得△BPQ的面积；当P在AD上，且Q沿着点 B→C运动时， 521．【答案】（1）解：由题意可知常量是大正方形的边长12，变量是小正方形的边长和阴影部分的面积
故答案为：常量是12，变量是小正方形的边长和阴影部分的面积．
（2）解：由图形可知阴影面积=大正方形面积-4个小正方形的面积
∴y＝122－4x2，即y＝144－4x2.
（3）解：当x＝1时，y＝144－4×12＝140；
当x＝5时，y＝144－4×52＝44.
∴当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，
阴影部分的面积逐渐变小，从140cm2减少到44cm2.
【知识点】常量、变量；函数解析式；函数值
【解析】【分析】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小正方形的面积即可解答；
（3）根据当小正方形的面积有1厘米增加到5厘米时，x的增大，x的平方也随之增大，阴影部分的面积逐渐变小，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：∵点C的坐标为（0，3）．将线段OC向右平移4个单位长度得到线段A，
∴A（4，0），B（4，3）；
（2）解：分为两种情况：
①点在线段上，
②点在线段上，
（3）解：当点在线段上
将的面积分成1：2的两部分，分为两种情况
①如图3，
当时，点的坐标为
②如图4，
当时，点不符合题意，
当点在线段上，不符合题意，
综上，点的坐标为
【知识点】函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）由平移的性质可得出答案；
（2）分两种情况：①点在线段上，②点在线段上，再由三角形面积公式可得出答案；
（3）当点在线段上，分两种情况：①当时，可求出点Q的坐标；②当时，点不符合题意，当点在线段上，不符合题意，则可得出答案。
23．【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵，
∵当时，的值无限接近0，
∴的值无限接近3，
（3）
【知识点】分式的值；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）∵当时，随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，的值减小，
∵，
当时，随着x的增大而减小，
∴随着x的增大的值减小，
故答案为：减小，减小；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由和的变化情况，判断和的变化情况即可；
（2）将代数式变形为，再求解即可；
（3）将代数式变形为，再结合，即可得到。
24．【答案】（1）55；40；130
（2）解：，证明：延长到E，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
即
（3）解：∵，，
∴，
解得，
即，
由（2）得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）延长到E，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：55，40，130；
【分析】（1）先证出，可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再将x和y的值分别代入计算即可；
（2）延长到E，使，连接，先证出，可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出即可；
（3）先求出，再结合，求出即可.
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