【精品解析】2023年浙教版数学八年级上册5.5一次函数的简单应用 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学八年级上册5.5一次函数的简单应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·铜官期末）不论取何值，点均不在直线上，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八下·椒江期末）已知一次函数的图象与的图象交于点.则对于不等式，下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
3．（2023·武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
4．（2022·聊城）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023八下·长沙期中）在密码学中、直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不分大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，明码和密码相同的序号为（　　）
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A．3 B．26 C．3和26 D．1和26
6．（2020八下·北京期末）已知直线 过点 且与x轴相交夹角为30度，P为直线 上一动点， 为x轴上两点，当 时取到最小值时，P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021八下·越秀期中）已知直线 ： 与直线 ： 都经过 ，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组 的解为 ；② 为直角三角形；③ ；④当 的值最小时，点P的坐标为 其中正确的说法个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
9．（2021八上·下城期末）甲，乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行.乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶.设甲车行驶的时间为x(h)， 甲，乙两车到B地的距离分别为y1(km)， y2(km)， y1， y2关于x的函数图象如图.下列结论：①甲车的速度是 km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距a km时，甲车行驶了 h.正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2018·泰州）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，垂足为 ，点 从原点 出发向 轴正方向运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，若点 与点 的速度之比为 ，则下列说法正确的是（　　）
A．线段 始终经过点
B．线段 始终经过点
C．线段 始终经过点
D．线段 不可能始终经过某一定点
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020八上·射阳月考）如图， 将一块等腰直角三角板 ABC放置在平面直角坐标系中， ∠ACB = 90°，AC = BC，点 A在 y轴的正半轴上，点C在 x轴的负半轴上，点 B在第二象限， AC所在直线的函数表达式是 y = x + 2，若保持 AC的长不变，当点 A在 y轴的正半轴滑动，点 C随之在 x轴的负半轴上滑动， 则在滑动过程中， 点 B与原点 O的最大距离 是　 　.
12．（2019八上·大田期中）当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， ）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是　 　．
13．（2023八下·重庆市期末）某日，王艳骑自行车到位于家正东方向的演奏厅听音乐会．王艳离家5分钟后自行车出现故障而且发现没有带钱包，王艳立即打电话通知在家看报纸的爸爸骑自行车赶来送钱包（王艳打电话和爸爸准备出门的时间忽略不计），同时王艳以原来一半的速度推着自行车继续走向演奏厅．爸爸接到电话后，立刻出发追赶王艳，追上王艳的同时，王艳坐上出租车并以爸爸速度的2倍赶往演奏厅（王艳打车和爸爸将钱包给王艳的时间忽略不计），同时爸爸立刻掉头以原速赶到位于家正西方3900米的公司上班，最后王艳比爸爸早到达目的地．在整个过程中，王艳和爸爸保持匀速行驶．如图是王艳与爸爸之间的距离y（米）与王艳出发时间x（分钟）之间的函数图象，则王艳到达演奏厅时，爸爸距离公司　 　米．
14．（2023·长清模拟）秤是我国传统的计重工具，为了方便了人们的生活．如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤构上所挂物体的重量，称重时，若称杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录不符合题意．当y为7斤时，对应的水平距离为　 　．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50
15．（2022八下·冠县期末）某快递公司每天上午7：00-8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为600件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
其中正确的个数为　 　．
16．（2020九下·北碚月考）“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的 ，乙型车辆是丙型车数量的2倍，上午安排甲车数量的 ，乙车数量的 ，丙车数量的 进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的 ；下午安排剩下的所有车辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的 .已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨.则下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为　 　元.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·长兴期末）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.
（1）当和时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
18．（2023八下·保定期末）现从某养殖基地运送144箱鱼苗到、两村养殖，若大、小货车共用14辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往、两村的运费如下表：
养殖基地车型 村（元/辆） 村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求大、小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，求出与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若运往村的鱼苗不少于箱，请写出总费用最少时的货车调配方案，并求出最少费用．
19．（2023八下·香洲期末）图中折线表示一骑车人小明离学校的距离与离开学校时间的关系．小明匀速骑行到达图书馆，在图书馆阅读一段时间，然后返回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）图书馆与学校距离是　 　，小明在图书馆阅读时长为　 　h，小明前往图书馆的平均速度是　 　，当时，y关于x的解析式为　 　；
（2）小明刚开始离开学校的时候，另一骑车人小华同时出发，从图书馆沿着相同路线以速度匀速前往学校，到达学校后马上骑车以速度匀速前往图书馆．
①请问小华速度为何范围时，小华与小明可以在时相遇；
②当时，请求出x为何值时小华与小明相距．
20．（2023八下·铜梁期末）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x．
请回答下列问题：
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
21．（2023八下·余干期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：经过，动点在直线：上，直线和交于点，设点的横坐标为，
（1）求的值和点的坐标．
（2）过点作轴的平行线交直线于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；
（3）过点作轴的垂线交轴于点，以为边向右作正方形，当正方形的顶点或落在直线上时，直接写出的值．
22．（2023八上·杭州期末）甲、乙两地相距3000千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系.点在线段上，请根据图象解答下列问题：
（1）试求点的坐标；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时的值；
（3）在整个过程中，问在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米.
23．（2017九上·虎林期中）某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
24．（2023八上·温州期末）探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
25．（2023七下·孝义期末）阅读下列材料，并完成任务．
以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把每一组解用有序数对表示，就可以描出无数个以方程的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程的解．
（1）任务一：填空
①如图1，在平面直角坐标系中，点是方程的图象上一点，点的坐标为，则方程　 　方程的解．（填“是”或“不是”）
②在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”）
点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”）
（2）任务二：如图2，在平面直角坐标系中，方程的图象与方程的图象交于点，则二元一次方程组的解为　 　．
（3）任务三：上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是____．（填出下列选项的字母代号即可）
A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题知当x=2p时，y≠-4p+1，∴2pk+2≠-4p+1，∴2pk≠-4p-1，即k≠-2-，当p≠0时，≠-2，当p=0时，-4p+1≠2，∴k=-2，故C正确；A、B、D错误；
或A、当k=3时，令解得p=，即点P（）在直线y=3x+2上，故A错误；B、当k=-3时，令解得p=，即点P（1，-1）在直线y=-3x+2上，故B错误；
C、当k=-2时，令此方程无解，即无论p取何值，点P均不在直线y=-2x+2上，故C正确；
D、当k=-4时，令解得p=，即点P（）在直线y=-4x+2上，故D错误；
故答案为：C.
【分析】排除法令k的值分别是3、-3、-2、-4，然后把点P的坐标代入直线解析式，有解则不满足题意，无解时也即所找答案。
2．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把点代入，得，
解得，
一次函数的图象与的图象交于点
即当时，，
，
∵，
∴，
，
当时， ，
，
当且时， ，
，
综上所述，对于不等式，当时，； 当且时，.
故答案为：D.
【分析】先通过正比例函数解析式求得两函数的交点坐标，进而求得，再利用不等式的基本性质解得不等式的解集.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，30），
∴在边OA上有31个格点，
设OB的解析式为y=kx，
∴20k=10，
解之：，
∴OB的解析式为，
当x≤20的正偶数时，y为整数，
∴OB上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
设直线AB的函数解析式为y=ax+b，
∴
解之：
∴y=-x+30，
当0＜x＜20且x为整数时，y也为整数，
∴AB边上有19个格点（不含端点），
∴L=31+19+10=60，
∵S△ABC=×30×20=300，
∴300=N+×60-1
解之：N=271.
故答案为：C
【分析】利用已知条件可知L是多边形边界上的格点个数，利用点A的坐标可得到在边OA上的格点数，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用点B的坐标，可得到边OB上的格点数；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，由x的取值范围可得到AB边上的格点数，即可求出L的值；再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积；然后代入公式求出N的值.
4．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图：
∴，，
∴，此时周长最小，
由得，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵C、D关于AB对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，可得直线DG解析式为，
在中，令得，
∴，
由，得，
∴，
∴的坐标为，的坐标为，
故答案为：C．
【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，此时周长最小，由得，，，根据C、D关于AB对称，得出点D的坐标，可得出直线DG解析式，即可得出点F的坐标，由，即可得出点E的坐标。
5．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当序号x为奇数时，
∴，解得x=3；
当序号x为偶数时，
∴，解得x=26；
∴明码和密码相同的序号为3和26，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的运用分类讨论即可求解。
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，设直线 交x轴于点M，
∵直线 ： （k＞0）过点( ，0)，且与 轴相交夹角为30°，
∴OM= ，
∴ON=OM ，MN=2ON=2，
∴N( ，1)，
把M( ，0)，N( ，1)代入 ，得：
，解得 ，
∴直线 为： ，
∵OM=OA= ，
∴AN=MN=2，
过A点作直线 的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′=60°，
∠OA′A=30°，
∴A′A=2OA=2 ，
∴OA′= ，
∴A′N=OA′- ON=2，
∴A′N=AN，
∵A′A⊥直线 ，
∴直线 平分AA′，
∴A′是点A关于直线 的对称点，
连接A′B，交直线 于P，此时PA+PB=A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′=3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为 ，
把A′（0，3），B( ，0) 代入得 ，
解得： ，
∴直线A′B的解析式为 ，
由 解得 ，
∴P点的坐标为( ，2)，
故答案为：A．
【分析】通过解直角三角形证得A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则PA+PB此时取到最小值，求得直线l和直线A′B的解析式，然后两解析式联立，解方程组即可求得此时P的坐标．
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线 ： 与直线 ： 都经过 ，
方程组 的解为 ，
故①符合题意；
把 ， 代入直线 ： ，可得
，解得 ，
直线 ： ，
又 直线 ： ，
直线 与直线 互相垂直，即 ，
为直角三角形，
故②符合题意；
把 代入直线 ： ，可得 ，
中，令 ，则 ，
，
，
在直线 ： 中，令 ，则 ，
，
，
，
故③符合题意；
点A关于y轴对称的点为 ，
设过点C， 的直线为 ，则
，解得 ，
，
令 ，则 ，
当 的值最小时，点P的坐标为 ，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；② 利用待定系数法求出直线 ： ，根据两直线的系数的积为-1，可得两直线互相垂直，据此判断即可；
③先求出A、D的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，然后判断即可；④先求出点A关于y轴对称的点为 ，再求出直线CA'的解析式，然后求出当x=0时的y值，从而当 的值最小时点P的坐标.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
9．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，甲5小时到达，速度为 ，故①正确；
甲与乙相遇时，时间为 ，所以乙休息了 ，②正确；
乙的速度为： ，
在2小时时，甲乙相距 ，
∴在2小时前，若两车相距a km时， ，解得 ，
当两车相遇后，即2.5小时后，若两车相距a km时， ，
解得 ，
∴两车相距a km时，甲车行驶了 h或 ，故③错误；
故答案为：A.
【分析】①由图象可知甲5小时走了4akm，根据速度=路程÷时间即可求出甲的速度，据此判断即可；②由图象可知，甲与乙相遇时甲走的路程为2akm，先计算出相应的时间，减去2小时即得乙休息的时间，据此判断；③分两种情况：甲乙相遇前相距akm和甲乙相遇后相距akm，分别求出t值，即可判断.
10．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点 与点 的速度之比为 ，且两点同时运动，同时停止
∴AP=2OQ
当OQ=1时，则AP=2
∵点A（9，6）
∴AP=9，则BP=9-2=7
∴点Q（1，0），点P（7，6）
设线段PQ的函数解析式为：y=kx+b
k+b=0
7k+b=6
解之：k=1且b=-1
∴yPQ=x-1
当OQ1=2时，则AP1=4
则点Q1（2，0），P1（5，6）
设线段P1Q1的函数解析式为：y=kx+b
解之：k=2且b=-4
yP1Q1=2x-4
∴2x-4=x-1，则x=3
∴y=3-1=2
∴线段PQ与线段P1Q1的交点坐标为（3，2）
故线段PQ一定经过（3，2）
故答案为：B
【分析】抓住题中关键的已知条件：点 与点 的速度之比为 ，且两点同时运动，同时停止，分别求出当OQ=1时，则AP=2；当OQ1=2时，则AP1=4时的函数解析式，再求出两函数的交点坐标，即可得出答案。
11．【答案】 +
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=x+2=0时，x=-2，
∴C（-2，0）.
∴OA=2，OC=2，
∴AC=
=2 .
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD.
在△AOC和△CDB中， ，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=2，
OD=OC+CD=4，
∴点B的坐标为（-4，2）.
如图所示.取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2 ，
∴OE=CE= ，
∵BC⊥AC，BC=2 ，
∴BE= = ，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE= + .
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE= + ，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 + ，
故答案为： + .
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离.
12．【答案】（4，3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：将点A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
则直线解析式为：y=-x+7，
设点B坐标为（x，y），
∵点B满足直线y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵点B是“完美点”，
∴①
∵m+n=mn，m，n是正实数，
∴②
将②代入①得：
解得x=4，
∴点B坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）
【分析】将点A代入y=-x+b中求b的值，然后设B（x，y），根据完美点的定义列方程组求解即可．
13．【答案】3400
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题意，设王艳初始速度为xm/min，
10分钟父亲追上王艳，说明追上她用了5分钟，父亲速度为：
由图分析，家距离演奏厅距离：9400-3900=5500m，王艳到演奏厅的时间是min
∴
解得x=200m/min
爸爸的速度是m/min
王艳到演奏厅时，爸爸距离公司：
m
故答案为：3400
【分析】路程=速度时间，找到变化的速度，找到速度对应需要的时间，把不同时间段的路程累加就可以计算出距离。本题的难点在于问题文字较长，需要多次读，并且结合图象了解题意。
14．【答案】26
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出图象如下：
观察图象得：这组数据不符合题意，
设该函数关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
当时，，
解得：，
即当y为7斤时，对应的水平距离为．
故答案为：26
【分析】利用待定系数法求出该函数解析式为，再求出x=26，最后作答即可。
15．【答案】②④
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，
∴15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①不符合题意；
对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴180÷（60-15）=4（件），
∴乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；
设甲仓库：y关于x的函数关系式为y=kx+b，
由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，
∴，
解得，
∴y=6x+40，
8：00时，x=60，
当x=60时，y=6×60+40=400，
∴8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；
设乙仓库：y关于x的函数关系式为y=mx+n，
由函数图象得当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴，
解得，
∴y=-4x+240，
7：20时，x=20，
对于函数y=6x+40，当x=20时，y=6×20+40=160，
对于函数y=-4x+240，当x=20时，y=-4×20+240=160，
∴7：20时，两仓库快递件数相同，故④符合题意；
综上分析可知，②④符合题意．
故答案为：②④．
【分析】由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，故①不符合题意；对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0， 乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，利用待定系数法得出当8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；利用待定系数法求出乙仓库y关于x的函数关系式，当7：20时，x=20，再求出当x=20时，相应的函数值都是160，可判断④符合题意。
16．【答案】2700
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：设重庆顺风快递公司总共有x辆车，则甲型车有 x辆，乙型车有 x＝ x辆，丙型车有 x＝ x辆，根据题意得，
上午运货总量为：15× x+10× × x+20× ＝ x（吨），
全天运货总量为： ＝14x（吨），
下午运货总量为：14x （1﹣ ）＝ x（吨），
设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量 y吨，根据题意得，
xy+ x y+ xz＝ x，
化简得，4y+z＝84，
∴z＝84﹣4y，
∵下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨
∴ ，
∴17≤y≤18，
∴下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本为：
w＝50y+90× y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，
∵﹣130＜0，
∴w随y的增大而减小，
∴当y＝18时，w有最小值为：﹣130×18+5040＝2700（元），
故答案为：2700.
【分析】设重庆顺风快递公司总共有x辆车，用表示各型车的数量，上午运输快递重量，下午快递重量，设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量 y吨，根据题意列出y的不等式组，求得y的取值范围，再用y的代数式表示：下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本，最后根据一次函数的性质求最小值.
17．【答案】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，
（2）解：①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤50时，设y=k1x，将（50，1100）代入求出k1的值，得到对应的函数解析式；当x>50时，设y=k2x+b，将（50，1100）、（100，2000）代入求出k2、b的值，据此可得对应的函数解析式；
（2）①当50②根据购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍可得x≥60、x≤2(300-x)，联立求出x的范围，接下来根据一次函数的性质进行解答.
18．【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得：，
∴大货车用8辆，小货车用6辆
（2）解：设前往A村的大货车为a辆，则前往B村的大货车为辆，前往A村的小货车为辆，前往B村的小货车为辆，根据题意得：
∵，且a为整数，
解得，，且a为整数
（3）解：由题意得：，
解得：，
又∵，
∴且a为整数，
∵，
，w随a的增大而增大，
∴当时，w最小，最小值为，
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、1辆小货车前往B村．最少运费为9300元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出，再作答即可；
（3）根据运往村的鱼苗不少于箱，求出，再根据一次函数的性质求解即可。
19．【答案】（1）30；3；15；
（2）解：①小华从图书馆到学校时间为：
当时，小华与小明相遇，，
当时，小华与小明相遇，，
②如图所示，当时，小明离校距离y与离校时间x的函数解析式为：
∵小华以速度匀速前往学校，
∴小华离校距离y与离校时间x的函数解析式为：
∵小华与小明相距
当时，
，（舍）
当时，，
综上所述：当时，或时，小华与小明相距．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：图书馆与学校的距离是30km，小明在图书馆阅读时长为(5-2)=3h，小明前往图书馆的平均速度为=15km/h，当0≤x≤2时，y=15x.
故答案为：30，3，15，y=15x；
【分析】（1）由图象可得：图书馆与学校的距离是30km，小明在图书馆阅读时长为(5-2)=3h，小明前往图书馆所用的时间为2h，根据路程÷时间=速度可得平均速度，进而可得0≤x≤2时，y与x的关系式；
（2）①小华从图书馆到学校时间为30÷10=3h，当x=5时，小华与小明相遇，此时有V2(5-3)=30，求出V2的值；当x=5.5时，小华与小明相遇，同理可得V2，据此解答；
②当0≤x≤2时，y=15x；当220．【答案】（1）解：，
（2）解：在直角坐标系中画出的图像，如图，
由图像可知当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，如图，连接．
∵为正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②当F点在上运动时，即，如图，连接，．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴，
，
综上可知，；
（3）联立两函数解析式，解得：，
∴与的交点坐标为．
求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，
由图像可知当时，函数的图像在函数的图像上方，
∴x的取值范围是或．
【分析】（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，②当F点在上运动时，即，再分别画出图象并利用全等三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据函数解析式直接作出函数图象即可；
（3）根据函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
21．【答案】（1）解：∵直线：经过，
∴，
解得：．
于是直线的解析式是：．
∵直线和交于点，
∴联立方程组求解得：，
因此点B的坐标为．
（2）解：分两种情况讨论：
第一种情况，点P位于点Q的右侧，如下图．
∵点P的横坐标为m，点P在直线上，
∴点P的纵坐标当2．
∵四边形构成平行四边形，
∴点Q的纵坐标也为．
∵点Q在直线上，
∴，
∴，
即点Q的横坐标为．
∵（平行四边形的对边相等），，
∴．
因的长度也等于点P的横坐标减去点Q的横坐标，
∴，
求得．
第二种情况，点P位于点Q的左侧，如下图．
前面步骤与第一种情况完全相仿，不同的是的长度为点Q的横坐标减去点P的横坐标：
∵，
∴，
求得：．
综合两种情况可知：m的值为或．
（3）或0
由已知条件知，点M、N均在x轴上，点C、P分别在与上．分两种情况讨论：
第一种情况，顶点C落在直线上，如下图．
∵点P的坐标为，
∴点M的横坐标为m，点C的纵坐标为，
∵点C的直线上，
∴，
解得：．
即：点C的横坐标为．
于是点N的横坐标也为．
∴．
∵，
∴．
解得：．
第二种情况， 顶点N落在直线上，如下图．
因点N在x轴上， 与直线的交点为．即点N的横坐标为2．
所以．又，
∴，
解得：．
综合上面两种情况知，m的值为或0．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 (1)、 考查待定系数，把已知点A的坐标代入直线l1即可求解，求一次函数图象交点，转化为两直线函数解析式联立组成方程组的解。
(2)、 动点形成平行四边形问题，本题是相对简单的因为已知PQ∥OA，所以仅需考虑PQ=OA即可，难点是随着点P的运动点P和点Q相对位置有变化，所以分两类讨论。点P在点Q右侧和点P在点Q左侧，再利用PQ=OA列关于m的方程求解。
(3)、 由题知四边形PMNC是正方形，利用边相等列方程求解。其难点依然是多解问题，既要考虑点C落在直线l1上，还要考虑点N落在直线l1上，所以依然是两种情形。
22．【答案】（1）解：设的函数解析式为.
，在其图象上，得
，
解得： ，，
，
令，解得
故
（2）解：的函数解析式：，；
∵，设的解析式为，
则，解得：
的函数解析式：，
，
解得，
当时，轿车与货车相遇；
（3）解：当时，，轿车还未行驶，两车相距30千米，故时，轿车与货车之间的距离小于30千米.
当时，，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于30千米
当两车都在行驶时，由题意可得：
，
解得：.
故，，时两车相距小于30千米，
答：在整个过程中当轿车与货车相距小于30千米时，的取值范围为或或.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设BD的函数解析式为y=kt+b，将C（2，50）、D（4.5，300）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数解析式，令y=0，求出x的值，据此可得点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线OA的解析式，联立直线BD的解析式求出t、y，据此解答；
（3）当t=0.5时，y货=30，轿车还未行驶，两车相距30千米，故0≤t≤0.5时，轿车与货车之间的距离小于30千米，当t=4.5时，y货=270，y轿=300，两车相距30千米，故4.523．【答案】（1）解：3000÷（50﹣30）=3000÷20=150（米/分），
答：张强返回时的速度为150米/分。
（2）解：（45﹣30）×150=2250（米），点B的坐标为（45，750），
妈妈原来的速度为：2250÷45=50（米/分），
妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50=60（分）
60﹣50=10（分），
答：妈妈比按原速返回提前10分钟到家。
（3）解：如图：
设线段BD的函数解析式为：y=kx+b，
把（0，3000），（45，750）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣50x+3000，
线段OA的函数解析式为：y=100x（0≤x≤30），
设线段AC的解析式为：y=k1x+b1，
把（30，3000），（50，0）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣150x+7500，（30＜x≤50）
当张强与妈妈相距1000米时，
即﹣50x+3000﹣100x=1000或100x﹣（﹣50x+3000）=1000或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）=1000，
解得：x=35或x= 或x= ，
∴当时间为35分或 分或 分时，张强与妈妈何时相距1000米．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【分析】（1）由图像可知线段AC描述的是张强返回时y随x变化情形，据此可求出张强返回的速度；
（2）由（1）的结果可知B点坐标，从而求出妈妈原来的速度及原来到家时间，再与现在到家时间相比较即可知妈妈提前到家时间；
（3）先运用待定系数法分别求出线段BD、线段OA、线段AC的函数解析式，再根据张强和妈妈的相对位置，分张强和妈妈第一相遇前、第一相遇后且张强未到体育场前、张强从返回三种情形，逐个列方程求解即可。
24．【答案】解：[任务1]由图象可知A-B-C-D段的总路程220m，BC段路程长为（140-60）m，甲车通过BC段的时间是10秒，
∴ 甲车经过BC段的速度 （140-60）÷10=8米每秒；
答： A-B-C-D段的总路程是220m，甲车经过BC段的速度是8米每秒；
[任务2]由图象可得AB段长为60m，BC段长为（140-60）=80m，CD段长为（220-140）=80m，乙车经过AB段的时间为60÷10=6秒，
补全函数图象如图
[任务3]设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，
则y=+84-x+26=x+110，
∵y随x的增大而减小，0≤x≤84，
∴当x=84时，y取得最小值，最小值为×84+110=47秒，
即丙车在DN段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）任务1：根据图象提供的信息，读出图象最末点的纵坐标，就是A-B-C-D段的总路程；根据图象提供的信息找出BC段的长度，利用速度=路程除以时间即可求出甲车经过BC段的速度；
（2）任务2：根据图象提供的信息，分别找出AB段、BC段、CD段的路程，根据路程除以速度等于时间，算出乙车经过AB段的时间，进而即可补全图象；
（3）任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，丙车开过增加车流的长度需要的时间为秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，进而根据y=丙车等待时间+通过DA段的时间+丙车开过增加车流的长度需要的时间建立出函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题.
25．【答案】（1）是；在；不在
（2）
（3）B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）①∵点是方程的图象上一点，点的坐标为，
∴方程是方程的解；
故答案为：是；
②当x=-0.5时，-0.5-y=-2，解得y=1.5，
∴点P在方程的图象上；
当x=1时，1-y=-2，解得y=3，
∴点Q不在方程的图象上；
故答案为：是；不是.
（2）∵方程的图象与方程的图象交于点，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为： .
（3）上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是：数形结合思想，
故答案为：数形结合思想.
【分析】（1）①利用一次函数与二元一次方程的关系求解即可；②利用函数图象上点坐标的特征求解即可；
（2）利用一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；
（3）利用数形结合的思想求解即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册5.5一次函数的简单应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·铜官期末）不论取何值，点均不在直线上，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题知当x=2p时，y≠-4p+1，∴2pk+2≠-4p+1，∴2pk≠-4p-1，即k≠-2-，当p≠0时，≠-2，当p=0时，-4p+1≠2，∴k=-2，故C正确；A、B、D错误；
或A、当k=3时，令解得p=，即点P（）在直线y=3x+2上，故A错误；B、当k=-3时，令解得p=，即点P（1，-1）在直线y=-3x+2上，故B错误；
C、当k=-2时，令此方程无解，即无论p取何值，点P均不在直线y=-2x+2上，故C正确；
D、当k=-4时，令解得p=，即点P（）在直线y=-4x+2上，故D错误；
故答案为：C.
【分析】排除法令k的值分别是3、-3、-2、-4，然后把点P的坐标代入直线解析式，有解则不满足题意，无解时也即所找答案。
2．（2023八下·椒江期末）已知一次函数的图象与的图象交于点.则对于不等式，下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把点代入，得，
解得，
一次函数的图象与的图象交于点
即当时，，
，
∵，
∴，
，
当时， ，
，
当且时， ，
，
综上所述，对于不等式，当时，； 当且时，.
故答案为：D.
【分析】先通过正比例函数解析式求得两函数的交点坐标，进而求得，再利用不等式的基本性质解得不等式的解集.
3．（2023·武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，30），
∴在边OA上有31个格点，
设OB的解析式为y=kx，
∴20k=10，
解之：，
∴OB的解析式为，
当x≤20的正偶数时，y为整数，
∴OB上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
设直线AB的函数解析式为y=ax+b，
∴
解之：
∴y=-x+30，
当0＜x＜20且x为整数时，y也为整数，
∴AB边上有19个格点（不含端点），
∴L=31+19+10=60，
∵S△ABC=×30×20=300，
∴300=N+×60-1
解之：N=271.
故答案为：C
【分析】利用已知条件可知L是多边形边界上的格点个数，利用点A的坐标可得到在边OA上的格点数，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用点B的坐标，可得到边OB上的格点数；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，由x的取值范围可得到AB边上的格点数，即可求出L的值；再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积；然后代入公式求出N的值.
4．（2022·聊城）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图：
∴，，
∴，此时周长最小，
由得，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵C、D关于AB对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，可得直线DG解析式为，
在中，令得，
∴，
由，得，
∴，
∴的坐标为，的坐标为，
故答案为：C．
【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，此时周长最小，由得，，，根据C、D关于AB对称，得出点D的坐标，可得出直线DG解析式，即可得出点F的坐标，由，即可得出点E的坐标。
5．（2023八下·长沙期中）在密码学中、直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不分大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，明码和密码相同的序号为（　　）
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A．3 B．26 C．3和26 D．1和26
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当序号x为奇数时，
∴，解得x=3；
当序号x为偶数时，
∴，解得x=26；
∴明码和密码相同的序号为3和26，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的运用分类讨论即可求解。
6．（2020八下·北京期末）已知直线 过点 且与x轴相交夹角为30度，P为直线 上一动点， 为x轴上两点，当 时取到最小值时，P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，设直线 交x轴于点M，
∵直线 ： （k＞0）过点( ，0)，且与 轴相交夹角为30°，
∴OM= ，
∴ON=OM ，MN=2ON=2，
∴N( ，1)，
把M( ，0)，N( ，1)代入 ，得：
，解得 ，
∴直线 为： ，
∵OM=OA= ，
∴AN=MN=2，
过A点作直线 的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′=60°，
∠OA′A=30°，
∴A′A=2OA=2 ，
∴OA′= ，
∴A′N=OA′- ON=2，
∴A′N=AN，
∵A′A⊥直线 ，
∴直线 平分AA′，
∴A′是点A关于直线 的对称点，
连接A′B，交直线 于P，此时PA+PB=A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′=3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为 ，
把A′（0，3），B( ，0) 代入得 ，
解得： ，
∴直线A′B的解析式为 ，
由 解得 ，
∴P点的坐标为( ，2)，
故答案为：A．
【分析】通过解直角三角形证得A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则PA+PB此时取到最小值，求得直线l和直线A′B的解析式，然后两解析式联立，解方程组即可求得此时P的坐标．
7．（2021八下·越秀期中）已知直线 ： 与直线 ： 都经过 ，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组 的解为 ；② 为直角三角形；③ ；④当 的值最小时，点P的坐标为 其中正确的说法个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线 ： 与直线 ： 都经过 ，
方程组 的解为 ，
故①符合题意；
把 ， 代入直线 ： ，可得
，解得 ，
直线 ： ，
又 直线 ： ，
直线 与直线 互相垂直，即 ，
为直角三角形，
故②符合题意；
把 代入直线 ： ，可得 ，
中，令 ，则 ，
，
，
在直线 ： 中，令 ，则 ，
，
，
，
故③符合题意；
点A关于y轴对称的点为 ，
设过点C， 的直线为 ，则
，解得 ，
，
令 ，则 ，
当 的值最小时，点P的坐标为 ，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；② 利用待定系数法求出直线 ： ，根据两直线的系数的积为-1，可得两直线互相垂直，据此判断即可；
③先求出A、D的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，然后判断即可；④先求出点A关于y轴对称的点为 ，再求出直线CA'的解析式，然后求出当x=0时的y值，从而当 的值最小时点P的坐标.
8．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
9．（2021八上·下城期末）甲，乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行.乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶.设甲车行驶的时间为x(h)， 甲，乙两车到B地的距离分别为y1(km)， y2(km)， y1， y2关于x的函数图象如图.下列结论：①甲车的速度是 km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距a km时，甲车行驶了 h.正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，甲5小时到达，速度为 ，故①正确；
甲与乙相遇时，时间为 ，所以乙休息了 ，②正确；
乙的速度为： ，
在2小时时，甲乙相距 ，
∴在2小时前，若两车相距a km时， ，解得 ，
当两车相遇后，即2.5小时后，若两车相距a km时， ，
解得 ，
∴两车相距a km时，甲车行驶了 h或 ，故③错误；
故答案为：A.
【分析】①由图象可知甲5小时走了4akm，根据速度=路程÷时间即可求出甲的速度，据此判断即可；②由图象可知，甲与乙相遇时甲走的路程为2akm，先计算出相应的时间，减去2小时即得乙休息的时间，据此判断；③分两种情况：甲乙相遇前相距akm和甲乙相遇后相距akm，分别求出t值，即可判断.
10．（2018·泰州）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，垂足为 ，点 从原点 出发向 轴正方向运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，若点 与点 的速度之比为 ，则下列说法正确的是（　　）
A．线段 始终经过点
B．线段 始终经过点
C．线段 始终经过点
D．线段 不可能始终经过某一定点
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点 与点 的速度之比为 ，且两点同时运动，同时停止
∴AP=2OQ
当OQ=1时，则AP=2
∵点A（9，6）
∴AP=9，则BP=9-2=7
∴点Q（1，0），点P（7，6）
设线段PQ的函数解析式为：y=kx+b
k+b=0
7k+b=6
解之：k=1且b=-1
∴yPQ=x-1
当OQ1=2时，则AP1=4
则点Q1（2，0），P1（5，6）
设线段P1Q1的函数解析式为：y=kx+b
解之：k=2且b=-4
yP1Q1=2x-4
∴2x-4=x-1，则x=3
∴y=3-1=2
∴线段PQ与线段P1Q1的交点坐标为（3，2）
故线段PQ一定经过（3，2）
故答案为：B
【分析】抓住题中关键的已知条件：点 与点 的速度之比为 ，且两点同时运动，同时停止，分别求出当OQ=1时，则AP=2；当OQ1=2时，则AP1=4时的函数解析式，再求出两函数的交点坐标，即可得出答案。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020八上·射阳月考）如图， 将一块等腰直角三角板 ABC放置在平面直角坐标系中， ∠ACB = 90°，AC = BC，点 A在 y轴的正半轴上，点C在 x轴的负半轴上，点 B在第二象限， AC所在直线的函数表达式是 y = x + 2，若保持 AC的长不变，当点 A在 y轴的正半轴滑动，点 C随之在 x轴的负半轴上滑动， 则在滑动过程中， 点 B与原点 O的最大距离 是　 　.
【答案】 +
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=x+2=0时，x=-2，
∴C（-2，0）.
∴OA=2，OC=2，
∴AC=
=2 .
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD.
在△AOC和△CDB中， ，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=2，
OD=OC+CD=4，
∴点B的坐标为（-4，2）.
如图所示.取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2 ，
∴OE=CE= ，
∵BC⊥AC，BC=2 ，
∴BE= = ，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE= + .
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE= + ，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 + ，
故答案为： + .
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离.
12．（2019八上·大田期中）当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， ）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是　 　．
【答案】（4，3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：将点A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
则直线解析式为：y=-x+7，
设点B坐标为（x，y），
∵点B满足直线y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵点B是“完美点”，
∴①
∵m+n=mn，m，n是正实数，
∴②
将②代入①得：
解得x=4，
∴点B坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）
【分析】将点A代入y=-x+b中求b的值，然后设B（x，y），根据完美点的定义列方程组求解即可．
13．（2023八下·重庆市期末）某日，王艳骑自行车到位于家正东方向的演奏厅听音乐会．王艳离家5分钟后自行车出现故障而且发现没有带钱包，王艳立即打电话通知在家看报纸的爸爸骑自行车赶来送钱包（王艳打电话和爸爸准备出门的时间忽略不计），同时王艳以原来一半的速度推着自行车继续走向演奏厅．爸爸接到电话后，立刻出发追赶王艳，追上王艳的同时，王艳坐上出租车并以爸爸速度的2倍赶往演奏厅（王艳打车和爸爸将钱包给王艳的时间忽略不计），同时爸爸立刻掉头以原速赶到位于家正西方3900米的公司上班，最后王艳比爸爸早到达目的地．在整个过程中，王艳和爸爸保持匀速行驶．如图是王艳与爸爸之间的距离y（米）与王艳出发时间x（分钟）之间的函数图象，则王艳到达演奏厅时，爸爸距离公司　 　米．
【答案】3400
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题意，设王艳初始速度为xm/min，
10分钟父亲追上王艳，说明追上她用了5分钟，父亲速度为：
由图分析，家距离演奏厅距离：9400-3900=5500m，王艳到演奏厅的时间是min
∴
解得x=200m/min
爸爸的速度是m/min
王艳到演奏厅时，爸爸距离公司：
m
故答案为：3400
【分析】路程=速度时间，找到变化的速度，找到速度对应需要的时间，把不同时间段的路程累加就可以计算出距离。本题的难点在于问题文字较长，需要多次读，并且结合图象了解题意。
14．（2023·长清模拟）秤是我国传统的计重工具，为了方便了人们的生活．如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤构上所挂物体的重量，称重时，若称杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录不符合题意．当y为7斤时，对应的水平距离为　 　．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50
【答案】26
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出图象如下：
观察图象得：这组数据不符合题意，
设该函数关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
当时，，
解得：，
即当y为7斤时，对应的水平距离为．
故答案为：26
【分析】利用待定系数法求出该函数解析式为，再求出x=26，最后作答即可。
15．（2022八下·冠县期末）某快递公司每天上午7：00-8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为600件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
其中正确的个数为　 　．
【答案】②④
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，
∴15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①不符合题意；
对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴180÷（60-15）=4（件），
∴乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；
设甲仓库：y关于x的函数关系式为y=kx+b，
由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，
∴，
解得，
∴y=6x+40，
8：00时，x=60，
当x=60时，y=6×60+40=400，
∴8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；
设乙仓库：y关于x的函数关系式为y=mx+n，
由函数图象得当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴，
解得，
∴y=-4x+240，
7：20时，x=20，
对于函数y=6x+40，当x=20时，y=6×20+40=160，
对于函数y=-4x+240，当x=20时，y=-4×20+240=160，
∴7：20时，两仓库快递件数相同，故④符合题意；
综上分析可知，②④符合题意．
故答案为：②④．
【分析】由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，故①不符合题意；对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0， 乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，利用待定系数法得出当8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；利用待定系数法求出乙仓库y关于x的函数关系式，当7：20时，x=20，再求出当x=20时，相应的函数值都是160，可判断④符合题意。
16．（2020九下·北碚月考）“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的 ，乙型车辆是丙型车数量的2倍，上午安排甲车数量的 ，乙车数量的 ，丙车数量的 进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的 ；下午安排剩下的所有车辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的 .已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨.则下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为　 　元.
【答案】2700
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：设重庆顺风快递公司总共有x辆车，则甲型车有 x辆，乙型车有 x＝ x辆，丙型车有 x＝ x辆，根据题意得，
上午运货总量为：15× x+10× × x+20× ＝ x（吨），
全天运货总量为： ＝14x（吨），
下午运货总量为：14x （1﹣ ）＝ x（吨），
设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量 y吨，根据题意得，
xy+ x y+ xz＝ x，
化简得，4y+z＝84，
∴z＝84﹣4y，
∵下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨
∴ ，
∴17≤y≤18，
∴下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本为：
w＝50y+90× y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，
∵﹣130＜0，
∴w随y的增大而减小，
∴当y＝18时，w有最小值为：﹣130×18+5040＝2700（元），
故答案为：2700.
【分析】设重庆顺风快递公司总共有x辆车，用表示各型车的数量，上午运输快递重量，下午快递重量，设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量 y吨，根据题意列出y的不等式组，求得y的取值范围，再用y的代数式表示：下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本，最后根据一次函数的性质求最小值.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·长兴期末）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.
（1）当和时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
【答案】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，
（2）解：①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤50时，设y=k1x，将（50，1100）代入求出k1的值，得到对应的函数解析式；当x>50时，设y=k2x+b，将（50，1100）、（100，2000）代入求出k2、b的值，据此可得对应的函数解析式；
（2）①当50②根据购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍可得x≥60、x≤2(300-x)，联立求出x的范围，接下来根据一次函数的性质进行解答.
18．（2023八下·保定期末）现从某养殖基地运送144箱鱼苗到、两村养殖，若大、小货车共用14辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往、两村的运费如下表：
养殖基地车型 村（元/辆） 村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求大、小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，求出与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若运往村的鱼苗不少于箱，请写出总费用最少时的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得：，
∴大货车用8辆，小货车用6辆
（2）解：设前往A村的大货车为a辆，则前往B村的大货车为辆，前往A村的小货车为辆，前往B村的小货车为辆，根据题意得：
∵，且a为整数，
解得，，且a为整数
（3）解：由题意得：，
解得：，
又∵，
∴且a为整数，
∵，
，w随a的增大而增大，
∴当时，w最小，最小值为，
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、1辆小货车前往B村．最少运费为9300元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出，再作答即可；
（3）根据运往村的鱼苗不少于箱，求出，再根据一次函数的性质求解即可。
19．（2023八下·香洲期末）图中折线表示一骑车人小明离学校的距离与离开学校时间的关系．小明匀速骑行到达图书馆，在图书馆阅读一段时间，然后返回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）图书馆与学校距离是　 　，小明在图书馆阅读时长为　 　h，小明前往图书馆的平均速度是　 　，当时，y关于x的解析式为　 　；
（2）小明刚开始离开学校的时候，另一骑车人小华同时出发，从图书馆沿着相同路线以速度匀速前往学校，到达学校后马上骑车以速度匀速前往图书馆．
①请问小华速度为何范围时，小华与小明可以在时相遇；
②当时，请求出x为何值时小华与小明相距．
【答案】（1）30；3；15；
（2）解：①小华从图书馆到学校时间为：
当时，小华与小明相遇，，
当时，小华与小明相遇，，
②如图所示，当时，小明离校距离y与离校时间x的函数解析式为：
∵小华以速度匀速前往学校，
∴小华离校距离y与离校时间x的函数解析式为：
∵小华与小明相距
当时，
，（舍）
当时，，
综上所述：当时，或时，小华与小明相距．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：图书馆与学校的距离是30km，小明在图书馆阅读时长为(5-2)=3h，小明前往图书馆的平均速度为=15km/h，当0≤x≤2时，y=15x.
故答案为：30，3，15，y=15x；
【分析】（1）由图象可得：图书馆与学校的距离是30km，小明在图书馆阅读时长为(5-2)=3h，小明前往图书馆所用的时间为2h，根据路程÷时间=速度可得平均速度，进而可得0≤x≤2时，y与x的关系式；
（2）①小华从图书馆到学校时间为30÷10=3h，当x=5时，小华与小明相遇，此时有V2(5-3)=30，求出V2的值；当x=5.5时，小华与小明相遇，同理可得V2，据此解答；
②当0≤x≤2时，y=15x；当220．（2023八下·铜梁期末）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x．
请回答下列问题：
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）解：，
（2）解：在直角坐标系中画出的图像，如图，
由图像可知当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，如图，连接．
∵为正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②当F点在上运动时，即，如图，连接，．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴，
，
综上可知，；
（3）联立两函数解析式，解得：，
∴与的交点坐标为．
求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，
由图像可知当时，函数的图像在函数的图像上方，
∴x的取值范围是或．
【分析】（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，②当F点在上运动时，即，再分别画出图象并利用全等三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据函数解析式直接作出函数图象即可；
（3）根据函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
21．（2023八下·余干期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：经过，动点在直线：上，直线和交于点，设点的横坐标为，
（1）求的值和点的坐标．
（2）过点作轴的平行线交直线于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；
（3）过点作轴的垂线交轴于点，以为边向右作正方形，当正方形的顶点或落在直线上时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵直线：经过，
∴，
解得：．
于是直线的解析式是：．
∵直线和交于点，
∴联立方程组求解得：，
因此点B的坐标为．
（2）解：分两种情况讨论：
第一种情况，点P位于点Q的右侧，如下图．
∵点P的横坐标为m，点P在直线上，
∴点P的纵坐标当2．
∵四边形构成平行四边形，
∴点Q的纵坐标也为．
∵点Q在直线上，
∴，
∴，
即点Q的横坐标为．
∵（平行四边形的对边相等），，
∴．
因的长度也等于点P的横坐标减去点Q的横坐标，
∴，
求得．
第二种情况，点P位于点Q的左侧，如下图．
前面步骤与第一种情况完全相仿，不同的是的长度为点Q的横坐标减去点P的横坐标：
∵，
∴，
求得：．
综合两种情况可知：m的值为或．
（3）或0
由已知条件知，点M、N均在x轴上，点C、P分别在与上．分两种情况讨论：
第一种情况，顶点C落在直线上，如下图．
∵点P的坐标为，
∴点M的横坐标为m，点C的纵坐标为，
∵点C的直线上，
∴，
解得：．
即：点C的横坐标为．
于是点N的横坐标也为．
∴．
∵，
∴．
解得：．
第二种情况， 顶点N落在直线上，如下图．
因点N在x轴上， 与直线的交点为．即点N的横坐标为2．
所以．又，
∴，
解得：．
综合上面两种情况知，m的值为或0．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 (1)、 考查待定系数，把已知点A的坐标代入直线l1即可求解，求一次函数图象交点，转化为两直线函数解析式联立组成方程组的解。
(2)、 动点形成平行四边形问题，本题是相对简单的因为已知PQ∥OA，所以仅需考虑PQ=OA即可，难点是随着点P的运动点P和点Q相对位置有变化，所以分两类讨论。点P在点Q右侧和点P在点Q左侧，再利用PQ=OA列关于m的方程求解。
(3)、 由题知四边形PMNC是正方形，利用边相等列方程求解。其难点依然是多解问题，既要考虑点C落在直线l1上，还要考虑点N落在直线l1上，所以依然是两种情形。
22．（2023八上·杭州期末）甲、乙两地相距3000千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系.点在线段上，请根据图象解答下列问题：
（1）试求点的坐标；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时的值；
（3）在整个过程中，问在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米.
【答案】（1）解：设的函数解析式为.
，在其图象上，得
，
解得： ，，
，
令，解得
故
（2）解：的函数解析式：，；
∵，设的解析式为，
则，解得：
的函数解析式：，
，
解得，
当时，轿车与货车相遇；
（3）解：当时，，轿车还未行驶，两车相距30千米，故时，轿车与货车之间的距离小于30千米.
当时，，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于30千米
当两车都在行驶时，由题意可得：
，
解得：.
故，，时两车相距小于30千米，
答：在整个过程中当轿车与货车相距小于30千米时，的取值范围为或或.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设BD的函数解析式为y=kt+b，将C（2，50）、D（4.5，300）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数解析式，令y=0，求出x的值，据此可得点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线OA的解析式，联立直线BD的解析式求出t、y，据此解答；
（3）当t=0.5时，y货=30，轿车还未行驶，两车相距30千米，故0≤t≤0.5时，轿车与货车之间的距离小于30千米，当t=4.5时，y货=270，y轿=300，两车相距30千米，故4.523．（2017九上·虎林期中）某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
【答案】（1）解：3000÷（50﹣30）=3000÷20=150（米/分），
答：张强返回时的速度为150米/分。
（2）解：（45﹣30）×150=2250（米），点B的坐标为（45，750），
妈妈原来的速度为：2250÷45=50（米/分），
妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50=60（分）
60﹣50=10（分），
答：妈妈比按原速返回提前10分钟到家。
（3）解：如图：
设线段BD的函数解析式为：y=kx+b，
把（0，3000），（45，750）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣50x+3000，
线段OA的函数解析式为：y=100x（0≤x≤30），
设线段AC的解析式为：y=k1x+b1，
把（30，3000），（50，0）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣150x+7500，（30＜x≤50）
当张强与妈妈相距1000米时，
即﹣50x+3000﹣100x=1000或100x﹣（﹣50x+3000）=1000或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）=1000，
解得：x=35或x= 或x= ，
∴当时间为35分或 分或 分时，张强与妈妈何时相距1000米．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【分析】（1）由图像可知线段AC描述的是张强返回时y随x变化情形，据此可求出张强返回的速度；
（2）由（1）的结果可知B点坐标，从而求出妈妈原来的速度及原来到家时间，再与现在到家时间相比较即可知妈妈提前到家时间；
（3）先运用待定系数法分别求出线段BD、线段OA、线段AC的函数解析式，再根据张强和妈妈的相对位置，分张强和妈妈第一相遇前、第一相遇后且张强未到体育场前、张强从返回三种情形，逐个列方程求解即可。
24．（2023八上·温州期末）探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
【答案】解：[任务1]由图象可知A-B-C-D段的总路程220m，BC段路程长为（140-60）m，甲车通过BC段的时间是10秒，
∴ 甲车经过BC段的速度 （140-60）÷10=8米每秒；
答： A-B-C-D段的总路程是220m，甲车经过BC段的速度是8米每秒；
[任务2]由图象可得AB段长为60m，BC段长为（140-60）=80m，CD段长为（220-140）=80m，乙车经过AB段的时间为60÷10=6秒，
补全函数图象如图
[任务3]设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，
则y=+84-x+26=x+110，
∵y随x的增大而减小，0≤x≤84，
∴当x=84时，y取得最小值，最小值为×84+110=47秒，
即丙车在DN段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）任务1：根据图象提供的信息，读出图象最末点的纵坐标，就是A-B-C-D段的总路程；根据图象提供的信息找出BC段的长度，利用速度=路程除以时间即可求出甲车经过BC段的速度；
（2）任务2：根据图象提供的信息，分别找出AB段、BC段、CD段的路程，根据路程除以速度等于时间，算出乙车经过AB段的时间，进而即可补全图象；
（3）任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，丙车开过增加车流的长度需要的时间为秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，进而根据y=丙车等待时间+通过DA段的时间+丙车开过增加车流的长度需要的时间建立出函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题.
25．（2023七下·孝义期末）阅读下列材料，并完成任务．
以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把每一组解用有序数对表示，就可以描出无数个以方程的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程的解．
（1）任务一：填空
①如图1，在平面直角坐标系中，点是方程的图象上一点，点的坐标为，则方程　 　方程的解．（填“是”或“不是”）
②在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”）
点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”）
（2）任务二：如图2，在平面直角坐标系中，方程的图象与方程的图象交于点，则二元一次方程组的解为　 　．
（3）任务三：上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是____．（填出下列选项的字母代号即可）
A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想
【答案】（1）是；在；不在
（2）
（3）B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）①∵点是方程的图象上一点，点的坐标为，
∴方程是方程的解；
故答案为：是；
②当x=-0.5时，-0.5-y=-2，解得y=1.5，
∴点P在方程的图象上；
当x=1时，1-y=-2，解得y=3，
∴点Q不在方程的图象上；
故答案为：是；不是.
（2）∵方程的图象与方程的图象交于点，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为： .
（3）上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是：数形结合思想，
故答案为：数形结合思想.
【分析】（1）①利用一次函数与二元一次方程的关系求解即可；②利用函数图象上点坐标的特征求解即可；
（2）利用一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；
（3）利用数形结合的思想求解即可.
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