【精品解析】2023年浙教版数学八年级上册第五章 一次函数 单元测试（B卷）

2023年浙教版数学八年级上册第五章 一次函数 单元测试（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度y（cm）最长为20cm，与所挂物体重量x（kg）有下面的关系．
x 0 1 2 3 4 …
y 8 8.5 9 9.5 10 …
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm
D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
2．（2020八上·烈山期中）下列各列表中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x 1 2 3 4 5
y 6 7 8 9 1
B．
x 1 2 3 4 5
y 8 8 8 8 10
C．
x 1 2 2 4 5
y 6 3 2 1 5
D．
x 1 2 3 4 5
y 2 4 6 8 10
3．（2023八上·宁波期末）在直角三角形ABC中，，，，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
4．瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如表，则下列说法错误的是（　　）
层数n/层 1 2 3 4 5 ……
物体总数y/个 1 3 6 10 15 ……
A．在这个变化过程中层数是自变量，物体总数是因变量
B．当堆放层数为7层时，物体总数为28个
C．物体的总数随着层数的增加而均匀增加
D．物体的总数y与层数n之间的关系式为
5．（2023八上·江北期末）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·西安期中）已知函数是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．m为任意实数
7．（2021八上·房山期中）小凡遇到了这样一道题目：选择适当的x值，并求代数式的值．他将同学们的答案进行了如下整理，并有3个大胆的猜测：
x 1 2 3 4 5 …
2 …
①当时，代数式的值随着x的增大而越来越小；
②代数式的值有可能等于1；
③当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1．
推测正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023八上·金东期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（　　）
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
9．（2023八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021八上·宝安期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·黄浦期中）等腰三角形的周长是10厘米，腰长是厘米，底边长是厘米，请写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围　 　．
12．（2021八上·鄞州期末）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 　 　.
13．（2023八上·泗洪期末）已知过点的直线不经过第一象限.s=a+2b，则s的取值范围是　 　.
14．（2023八上·武义期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是　 　.
15．（2020八上·义乌月考）设直线 ： 和直线 ： （ 是正整数）及 轴围成的三角形面积是 ，当 时，直线 ： 和直线 ： ，这两条直线与 轴围成的面积记为 ，则 　 　.
16．（2022八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）.
（1）k的值为　 　；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是　 　.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·温岭期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的各顶点坐标：
（2）P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB＋PC的值最小时，请在图中作出点P，（保留作图痕迹）并直接写出点P的坐标为（　　）.
18．（2023八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
19．（2022八上·莲都期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标；
（3）连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形.若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离.
20．（2020八上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知点 .
（1）求出点 ，点 的坐标.
（2） 是直线 上一动点，且 和 的面积相等，求点 坐标.
（3）如图2，平移直线 l ，分别交 x 轴， y轴于交于点 A ， B ，过点 C 作平行于 y 轴的直线m ，在直线 m 上是否存在点 Q ，使得 △ABQ 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标.
21．（2022八上·义乌期末）12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练.为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只.已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍.
（1）求每只A型、B型体温枪的价格；
（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只，这100只体温枪的总费用为y元.
①求y关于x的函数关系式；
②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（，且a为正整数），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小.
22．（2022八上·慈溪期末）甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）.设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）.根据图1、图2的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
（2）求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
（3）补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标.
23．（2021八上·东阳期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
24．（2022八上·沈阳期末）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出　 　，　 　；
②点E的坐标　 　；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化 （填“变”或“不变”），若不变，其值为　 　；若变，请说明理由　 　；
（3）【拓展应用】如图4，当时，直线与y轴交于点D，点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C在x轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：由表格可得到，x与y都是变量，x是自变量，y是因变量；物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm；所挂物体为6kg，弹簧长度为8+0.5×6=11cm；挂30kg物体时长为8+15>20，不符合已知条件。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】由表格可知：所挂物体每增加1kg，弹簧就伸长0.5cm，据此逐个判断即可。
2．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、B、D对于每个x，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数；
C中x=2时，有2个不同的函数值，故y不是x的函数；
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义对选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=x，∠B=2y，
∴∠A+∠B=90°，即x+2y=90°，
∴
当x=0°时，y=45°，
当y=0时，x=90°，
∴函数与x轴和y轴的交点坐标分别为（90°，0），（0，45°）.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，即可表示出函数关系式为，进而求出其与x轴和y轴的交点坐标，即可判断得出结论.
4．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵物体总个数随着层数的变化而变化，
∴A选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=
，
当n=7时，y=28，
∴B选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知总数增加的越来越快，
∴C选项说法错误，符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=
，
∴D选项说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由表格可得：物体总个数随着层数的变化而变化，据此判断A；根据表格中的数据可得y与n的关系式，令n=7，求出y的值，据此判断B、D；根据表格中的数据变化可判断C.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：是y关于x的一次函数，
∴，即；
故答案为：B．
【分析】形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可.
7．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①，当时，的值随着x的增大而越来越小，
∴当时，代数式的值随着x的增大而越来越小，故该项符合题意；
②代数式的值随着x的增大越来越接近1，但不可能等于1，故该项不符合题意；
③，当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1，故该项符合题意；
故答案为：C．
【分析】结合表格中的数据逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图象可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故答案为：D.
【分析】由图象可得：甲1h行驶的路程为60km，根据路程÷时间=速度可得甲车的速度，然后根据3小时的路程差=60可求出乙车的速度，据此判断①②；由图可得：当乙到达B地时，甲乙相距100km，利用路程÷甲车的速度求出时间，据此判断③；由图可得：当乙车在甲车前，且未到达B地时，60t+80=80(t-1)；当乙车到达B地后时，60t+80=80×(9-1)，求出t的值，进而判断④.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确.
故答案为：A.
【分析】连接AD，易得A、B、C的坐标，求出AB、AC的值，根据三角形的面积公式可得S△ABC，设D（m，-4m+4），根据S△ABC=S△ABD+S△ADC结合三角形的面积公式可求出m的值，进而可得点D的坐标.
10．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，
的周长，点是定点，则的长不变，
当重合时，的周长最小，
由，令，令，则
是的中点
，点F是E关于y轴对称的点
设直线的解析式为：，将，代入，
解得
直线的解析式为：
令，则
即
故答案为：A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，结合点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，点是定点，则的长不变，利用待定系数法可求出直线DF的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标。
11．【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由已知得： ，
三角形的三边关系式可得： ，
解得： ．
故y与x的函数解析式为 ．
【分析】根据三角形的周长公式及三角形三边的关系求出函数解析式即可。
12．【答案】﹣1
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于x＝1的对称点A'（﹣1，﹣3），连接A'B交x＝1于C，
此时AB+AC+BC的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣1，﹣3），B（5，3）代入得
解得
∴直线A'B的函数解析式为y＝x﹣2，
把C的坐标（1，n）代入解析式可得n＝﹣1.
故答案为：﹣1.
【分析】作点A关于x＝1的对称点A'（-1，-3），连接A'B交x＝1于C，此时AB+AC+BC的值最小，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后将（1，n）代入就可得到n的值.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵点（2，-3）在直线y=ax+b上，
∴2a+b=-3，
∴b=-2a-3，
∵直线y=ax+b不经过第一象限，
∴b≤0，a＜0，
∴-2a-3≤0，
解之：，
∴；
∵s=a+2（-2a-3）=-3a-6，
∴
∴
解之： .
故答案为：
【分析】将点（2，-3）代入函数解析式，可得到b=-2a-3，利用直线y=ax+b不经过第一象限，可知b≤0，a＜0，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围；再将s=a+2b转化为，可得到关于s的不等式组，解不等式组求出s的取值范围.
14．【答案】y=1.8x+1
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：y=1.8x+1.
【分析】由图形可得：x节链条重叠部分的长度为(x-1)，利用2.8x减去重叠部分的长度即可得到y与x的关系式.
15．【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：联立
解得：
∴直线 ： 和直线 ： 的交点为（-1，-1）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）
∴
∴ ＋ ＋ ＋……＋
=
=
=
故答案为： .
【分析】分别求出直线 与直线 的交点为（-1，-1），再求出直线 与直线 的与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可得，然后分别代入计算即可.
16．【答案】（1）
（2）（－2，3），（2，5）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
令 ，得 ，则 ，令 ，得 ，则 ，
将 ， 代入y=kx+b，
得 ，
解得 ，
∴直线BC得到解析式为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，∠MAB=∠ABO，点M在直线BC上
①当M在B点右侧时，
∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上的点
，
所以M的横坐标为2，代入 ，得 ，
所以M ，
②当M在B点左侧时，如果，设AM交y轴于点N，
∵∠MAB=∠ABO，
∴ ，
设 ，所以 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设AN解析式为 ，
，
解得 ，
∴ AN的解析式为 ，
联立AN、BC解析式得 ，
解得： ，
∴M ，
综上，M ， ，
故答案为：M 或
【分析】（1）令一次函数y=－2x+4中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，令一次函数y=－2x+4中的x=0算出对应的y的值，可得点B的坐标，将点A、B的坐标分别代入y=kx+b中得出关于k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可得出直线BC的解析式；
（2）根据两点间的距离公式算出AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理判断出∠ABC=90°，当①当M在B点右侧时，根据内错角相等，两直线平行可得AM∥OB，根据平行y轴直线上的点的横坐标相同得点M的横坐标为2，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，据此可得点M的坐标；②当M在B点左侧时，如果，设AM交y轴于点N，根据等角对等边得AN=NB，用含n的式子设出点N的坐标，在Rt△AON中，根据勾股定理建立方程，求解得出n的值，从而可得点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，再联立直线AN与BC的解析式，求解可得点M的坐标，综上即可得出答案.
17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；A1（2，1），B1（4，-2），C1（1，-1）；
（2）解：如图，点P即为所求；点P的坐标（-2，0）.
故答案为：（-2，0）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）作出点B关于x轴对称的点B′，连接CB′交y轴于点P，
∴PB＋PC的最小值就是线段CB′的长，
∵点C（-1，-1），点B′（-4，2），
设B′C的函数解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
解之：，
∴y=-x-2
当y=0时x=-2，
点P的坐标（-2，0）.
故答案为：（-2，0）
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A，B，C的对称点A1，B1，C1的位置，同时可得到点A1，B1，C1的坐标，然后画出△ △A1B1C1.
（2）利用轴对称的应用最短问题，作出点B关于x轴对称的点B′，连接CB′交y轴于点P，可得到点B′的坐标；利用两点之间线段最短，可得到PB＋PC的最小值就是线段CB′的长；利用待定系数法可求出直线B′C的函数解析式，再由y=0求出对应的x的值，可得到点P的坐标.
18．【答案】（1）解：∵点C（ 2，m）在直线y＝ x＋2上，
∴m＝ （ 2）＋2＝2＋2＝4，
∴点C（ 2，4），
∵函数y＝x＋b的图象过点C（ 2，4），
∴4＝×（ 2）＋b，解得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）（2）∵函数y＝ x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（ 14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，
当点E在线段AD上时，AE＝16 2t，
由（1）知点C的坐标为（ 2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝5，
当点E在线段DA的延长线上时，AE=2t-16，
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝11，
即当△ACE的面积为12时，t的值是5或11.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将点C（ 2，m）代入y＝ x＋2，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再将点C的坐标代入y＝x＋b，可以得到b的值；
（2）分别令求y＝ x＋2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A、点B的坐标，令y＝x＋中的y=0算出对应的x的值可得点D的坐标，然后分当点E在线段AD上时与当点E在线段DA的延长线上时两种情况，用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，建立方程即可得到t的值.
19．【答案】（1）解：将y=0代入表达式得：0= x+4，
解得： ，
将x=0代入表达式，得：y=4，
∴点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）.
（2）解：∵点C的坐标为（－2，0），
∴ ，
∵ ，
∴ = × ×8×4=8，
设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=| a＋4|
∵
∴h= ，
∴ =| a＋4|，解得：a=－ 或－ ，
当a=－ 时， a＋4=
当a=－ 时， a＋4= ，
∴点D的坐标为（－ ， ）或( ， ).
（3）解：①如图1，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，
∴△O'C'B'≌△O'EA，
∴O'A＝O'B'＝OB＝4，
∴OO'＝4＋8＝12，
∴平移的距离为12.
②如图2，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，则A与O'重合，
∴OO'=OA=8，
∴平移的距离为8.
③如图3，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，
∴△B'BE≌△O'C'E，
∴B'B=O'C'=OC=2，
∴平移的距离为2.
综上所述：平移的距离为2或8或12.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）分别令 一次函数y=x＋4中的y=0与x=0，算出对应的x与y的值，从而即可得出点A、B的坐标；
（2）根据S△AOB=2S△ACD结合三角形面积计算公式求出△ACD的面积，根据一次函数图象上的点的坐标特点特点， 设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=| a＋4| ，进而再根据三角形面积计算公式建立方程，求解可得a的值，从而求出点D的坐标；
（3）① 如图1，由题意得△O'C'B'≌△O'EA，根据全等三角形的对应边相等得O'A＝O'B'＝OB＝4， 进而线段的和差即可算出OO'的长，据此可得平移的距离；②如图2，根据题意A与O'重合，从而可得 OO'=OA=8，据此可得平移的距离；③如图3，由题意得△B'BE≌△O'C'E，根据全等三角形的对应边相等得B'B=O'C'=OC=2，据此可得平移的距离，综上所述可得答案.
20．【答案】（1）解：令y= =0，解得x=-4，
∴A（-4,0）
令x=0，y= =2，
∴B（0,2）
（2）解：如图，当P点在线段AB上，设P（x， ）
∵ ，A（-4,0），B（0,2）
∴CO=2=OB，OA=4
∵ 和 的面积相等
∴ BO×(-x)= CO×（ ），即 ×2×(-x)= ×2×（ ）
解得x=
∴
如图，当P点在直线AB上，当P在BA的延长线上，S△BOP＞S△COP
故P在AB的延长线上，
设P（x， ）
∵ 和 的面积相等
∴ BO×x= CO×（ ），即 ×2×x= ×2×（ ）
解得x=4
∴
综上， 或 ；
（3）答：存在，
符合条件的点Q的坐标有：（-2,2）或 (-2,-2）或（-2,6）或（-2，）.
【知识点】一次函数图象与几何变换；全等三角形的应用
【解析】【解答】（3）解：存在，
理由：如图1
①当点B1是直角顶点时，
∴B1Q=B1A1，
∵∠A1B1O=∠QB1H=90°，∠A1B1O+∠OA1B1=90°，
∴∠OA1B1=∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，
∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H=A1O，OB1=HQ=2，
∴B1（0，-2）或（0,2）
∴B1（0，-2）时，Q（-2,2）,
当B1(0,2）时，
∵B1（0,2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，
∴Q（-2,2）;
②当A1是直角顶点时，A1B1=A1Q，
∵直线AB的解析式为，
由平移知，直线A1B1的解析式为，
∴A1（-2b,0）B1（0，b），
∴A1B12=4b2+b2=5b2，
∵A1B1⊥A1Q，
∴直线A1Q的解析式为y=-2x-4b，
∴Q（-2,4-4b），
∴A1Q2=(-2b+2)2+(4-4b)2=20b2+40b+20，
∴20b2-40b+20=5b2，
∴b=2（不合题意）或b=，
∴Q（-2，）;
③当Q时直角顶点时，过Q作QH⊥y于H，
∴A1Q=B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC=90°，∠A1QC+∠CQB1=90°，
∴∠QA1C=∠CQB1，
∵m∥y轴，
∴∠CQB1=∠QB1H，
∴∠QA1C=∠QB1H，
在△A1QC和△B1QH中，，
∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ=QH=2，B1H=A1C，
∴Q（-2,2）或（-2，-2）,
即满足条件的点Q为（-2,2）或 (-2,-2）或（-2,6）或（-2，）.
【分析】（1）根据A,B坐标的特点即可求解；
（2）分P点在线段AB上、直线AB上根据三角形的面积公式即可求解；
（3）如图2，①当B1是直角顶点时，根据全等三角形的性质可得到结论；②当点A1是直角顶点时，A1B1=A1Q，根据平移的性质得到直线A1B1的解析式为，根据两点间的距离公式即可得到结论；③当P时直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，根据全等三角形的性质即可得到结论.
21．【答案】（1）解：设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为（m-50）元，
依题意得：，
解得：m=200，
经检验，m=200是原方程的解，且符合题意，
∴m-50=150，
答：每只A型温枪的价格为200元，则每只B型温枪的价格为150元；
（2）解：①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100-x）只，
依题意得：y=200x+150（100-x）=50x+15000，
∵购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，
∴100-x2x，且100-x0，
∴100，
∴y关于x的函数关系式为y=50x+15000（100）；
②依题意得：y=（200-a）x+150（100-x）=（50-a）x+15000（50），
当100，y随x的增加而增加，
∴当x=34时，y有最小值，最小值为y=（50-a）×34+15000=16700-34a；
∴当正整数a=49时，最小值为y=16700-34×49=15304；
当a=50时，y的值为15000；
当50∴当x=50时，y有最小值，最小值为y=（50-a）×50+15000=17500-50a；
∵-50<0，
∴当正整数a=99，最小值为y=17500-50×99=12550；
∵12500<15000<15304，
∴当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为（m-50）元，由题意可得1000元可购买A型体温枪的数量为只，1500元可购买B型体温枪的数量为只，然后根据B型体温枪的数量是A型的两倍建立方程，求解即可；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100-x）只，根据数量×单价可得y与x的关系式，根据“购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍”列出不等式，求出x的范围，据此解答；
②根据数量×单价可得y与x的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，
∴乙同学的步行速度为：240÷4=60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60=4min，
∴m=29-4=25，
∴乙同学骑车的时间为25-9=16min，共骑了2800-240=2560m，
∴乙骑车的速度为：2560÷16=160m/min，由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480=720m，
∴甲的步行速度为：720÷9=80m/min；
（2）解：由（1）得出m=25，
∴Q（9，240），R（25，2800），
设y与x的关系式为y=kx+b，
，
解得：，
∴关系式为：y=160x-1200，由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的骑行速度为160m/min，两人在amin时第一次相遇，
∴160（a-9）-80（a-9）=480，
解得a=15；
（3）解：图象如图所示：
在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25=2000m，两人相距2800-2000=800m，
∴A（25，80）；甲走完全程用时2560÷80=32min，
∴C（32，0）；在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29=2320m，两人相距2560-2320=240m，
∴B（29，240）；由（2）得a=15，
∴E（15，0）；由图可得D（9，480），由（1）得甲的步行速度为80m/min，前5min只有甲行走，乙不走，距离为：80×5=400m，
∴F（5，400）；
∴F（5，400），D（9，480），E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0）.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5 9分走了240m，由路程除以时间可得乙同学的步行速度；由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，用时为240÷60＝4min，则m＝29 4＝25min，乙同学骑车的时间为25 9＝16min，共骑了2800 240＝2560m，由路程除以时间可得乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min；由图2可知，在9min时，两人相距480m，乙在9min时走了240m，所以甲在9min时走了240＋480＝720m，由路程除以时间可得，甲的步行速度为：720÷9＝80m/min；
（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），设y与x的关系式为y＝kx＋b，将两点的坐标分别代入可得k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的步行速度为60m/min，两人在a min时第一次相遇，所以160（a 9） 80（a 9）＝480，解之即可；
（3）在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800 2000＝800m，甲走完全程用时2560÷80＝32min，在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，两人相距2560 2320＝240m，由此可判断其他各点的坐标．
23．【答案】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCA Rt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为（9， ），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB= ，ON= OA - NA= ，
∴点C的坐标为（ ， ），
设直线BC的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，如图：
同理可证Rt△FAB Rt△EBD，
∴AF= BE，FB= DE，
∵点B的横坐标为 ，
∴AF= BE= ，FB= DE= ，
∴点D的坐标为（ ， ），即D（ ， ），
∴ ；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（ ， ），
由题意得，点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
②当∠BAP=90°时，如图：
同理可证明Rt△HAP Rt△GPA，
∵点B的坐标为（ ， ），
∴PH=AG= ，AH=BG= ，
∴点P的坐标为（ ， ），即（ ， ），
点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
综上，m的值为 或 .
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，易证Rt△NCA Rt△MAB，可求得点C的坐标为（ ， ），再利用待定系数法即可求解；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FAB Rt△EBD，可求得点D的坐标为（ ， ），再利用三角形面积公式即可求解；
（3）题中只给定了AB为直角边，所以分①∠ABP=90°、②∠BAP=90°两种情况讨论，即可求解.
24．【答案】（1）8；6；(6，14)
（2）不变；当k变化时，的面积是定值，，理由如下： 当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时， ， 过点N作于M， ， ， ， ， ， ， 又， ． ， ， 变化时，的面积是定值，；
（3）点的坐标为或
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）①若，则直线为直线，
当时，，
，，
当时，，
，，
，，
故答案为：，；
②作于D，
，
，
又是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点E的坐标为；
（3）当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点Q的坐标为，，
，
直线，
将点Q的坐标代入得，，
解得： ，
点Q的坐标为；
当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点Q的坐标为，
，
直线，
将点Q的坐标代入得，，
解得：，
点Q的坐标为．
综上，点Q的坐标为或．
【分析】（1）①将x=0和y=0分别代入求出点A、B的坐标，即可得到OA和OB的长；
②作于D，先证明，可得，，利用线段的和差求出OD的长，即可得到点E的坐标；
（2） 过点N作于M， 先证明，可得，利用三角形的面积公式求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，②当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，再利用全等三角形的判定方法和性质求解即可。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册第五章 一次函数 单元测试（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度y（cm）最长为20cm，与所挂物体重量x（kg）有下面的关系．
x 0 1 2 3 4 …
y 8 8.5 9 9.5 10 …
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm
D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
【答案】D
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：由表格可得到，x与y都是变量，x是自变量，y是因变量；物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm；所挂物体为6kg，弹簧长度为8+0.5×6=11cm；挂30kg物体时长为8+15>20，不符合已知条件。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】由表格可知：所挂物体每增加1kg，弹簧就伸长0.5cm，据此逐个判断即可。
2．（2020八上·烈山期中）下列各列表中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x 1 2 3 4 5
y 6 7 8 9 1
B．
x 1 2 3 4 5
y 8 8 8 8 10
C．
x 1 2 2 4 5
y 6 3 2 1 5
D．
x 1 2 3 4 5
y 2 4 6 8 10
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、B、D对于每个x，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数；
C中x=2时，有2个不同的函数值，故y不是x的函数；
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义对选项一一判断即可。
3．（2023八上·宁波期末）在直角三角形ABC中，，，，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=x，∠B=2y，
∴∠A+∠B=90°，即x+2y=90°，
∴
当x=0°时，y=45°，
当y=0时，x=90°，
∴函数与x轴和y轴的交点坐标分别为（90°，0），（0，45°）.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，即可表示出函数关系式为，进而求出其与x轴和y轴的交点坐标，即可判断得出结论.
4．瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如表，则下列说法错误的是（　　）
层数n/层 1 2 3 4 5 ……
物体总数y/个 1 3 6 10 15 ……
A．在这个变化过程中层数是自变量，物体总数是因变量
B．当堆放层数为7层时，物体总数为28个
C．物体的总数随着层数的增加而均匀增加
D．物体的总数y与层数n之间的关系式为
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵物体总个数随着层数的变化而变化，
∴A选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=
，
当n=7时，y=28，
∴B选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知总数增加的越来越快，
∴C选项说法错误，符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=
，
∴D选项说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由表格可得：物体总个数随着层数的变化而变化，据此判断A；根据表格中的数据可得y与n的关系式，令n=7，求出y的值，据此判断B、D；根据表格中的数据变化可判断C.
5．（2023八上·江北期末）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
6．（2022八上·西安期中）已知函数是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．m为任意实数
【答案】B
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：是y关于x的一次函数，
∴，即；
故答案为：B．
【分析】形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可.
7．（2021八上·房山期中）小凡遇到了这样一道题目：选择适当的x值，并求代数式的值．他将同学们的答案进行了如下整理，并有3个大胆的猜测：
x 1 2 3 4 5 …
2 …
①当时，代数式的值随着x的增大而越来越小；
②代数式的值有可能等于1；
③当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1．
推测正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①，当时，的值随着x的增大而越来越小，
∴当时，代数式的值随着x的增大而越来越小，故该项符合题意；
②代数式的值随着x的增大越来越接近1，但不可能等于1，故该项不符合题意；
③，当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1，故该项符合题意；
故答案为：C．
【分析】结合表格中的数据逐项判断即可。
8．（2023八上·金东期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（　　）
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图象可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故答案为：D.
【分析】由图象可得：甲1h行驶的路程为60km，根据路程÷时间=速度可得甲车的速度，然后根据3小时的路程差=60可求出乙车的速度，据此判断①②；由图可得：当乙到达B地时，甲乙相距100km，利用路程÷甲车的速度求出时间，据此判断③；由图可得：当乙车在甲车前，且未到达B地时，60t+80=80(t-1)；当乙车到达B地后时，60t+80=80×(9-1)，求出t的值，进而判断④.
9．（2023八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确.
故答案为：A.
【分析】连接AD，易得A、B、C的坐标，求出AB、AC的值，根据三角形的面积公式可得S△ABC，设D（m，-4m+4），根据S△ABC=S△ABD+S△ADC结合三角形的面积公式可求出m的值，进而可得点D的坐标.
10．（2021八上·宝安期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，
的周长，点是定点，则的长不变，
当重合时，的周长最小，
由，令，令，则
是的中点
，点F是E关于y轴对称的点
设直线的解析式为：，将，代入，
解得
直线的解析式为：
令，则
即
故答案为：A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，结合点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，点是定点，则的长不变，利用待定系数法可求出直线DF的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·黄浦期中）等腰三角形的周长是10厘米，腰长是厘米，底边长是厘米，请写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由已知得： ，
三角形的三边关系式可得： ，
解得： ．
故y与x的函数解析式为 ．
【分析】根据三角形的周长公式及三角形三边的关系求出函数解析式即可。
12．（2021八上·鄞州期末）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 　 　.
【答案】﹣1
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于x＝1的对称点A'（﹣1，﹣3），连接A'B交x＝1于C，
此时AB+AC+BC的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣1，﹣3），B（5，3）代入得
解得
∴直线A'B的函数解析式为y＝x﹣2，
把C的坐标（1，n）代入解析式可得n＝﹣1.
故答案为：﹣1.
【分析】作点A关于x＝1的对称点A'（-1，-3），连接A'B交x＝1于C，此时AB+AC+BC的值最小，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后将（1，n）代入就可得到n的值.
13．（2023八上·泗洪期末）已知过点的直线不经过第一象限.s=a+2b，则s的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵点（2，-3）在直线y=ax+b上，
∴2a+b=-3，
∴b=-2a-3，
∵直线y=ax+b不经过第一象限，
∴b≤0，a＜0，
∴-2a-3≤0，
解之：，
∴；
∵s=a+2（-2a-3）=-3a-6，
∴
∴
解之： .
故答案为：
【分析】将点（2，-3）代入函数解析式，可得到b=-2a-3，利用直线y=ax+b不经过第一象限，可知b≤0，a＜0，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围；再将s=a+2b转化为，可得到关于s的不等式组，解不等式组求出s的取值范围.
14．（2023八上·武义期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是　 　.
【答案】y=1.8x+1
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：y=1.8x+1.
【分析】由图形可得：x节链条重叠部分的长度为(x-1)，利用2.8x减去重叠部分的长度即可得到y与x的关系式.
15．（2020八上·义乌月考）设直线 ： 和直线 ： （ 是正整数）及 轴围成的三角形面积是 ，当 时，直线 ： 和直线 ： ，这两条直线与 轴围成的面积记为 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：联立
解得：
∴直线 ： 和直线 ： 的交点为（-1，-1）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）
∴
∴ ＋ ＋ ＋……＋
=
=
=
故答案为： .
【分析】分别求出直线 与直线 的交点为（-1，-1），再求出直线 与直线 的与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可得，然后分别代入计算即可.
16．（2022八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）.
（1）k的值为　 　；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是　 　.
【答案】（1）
（2）（－2，3），（2，5）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
令 ，得 ，则 ，令 ，得 ，则 ，
将 ， 代入y=kx+b，
得 ，
解得 ，
∴直线BC得到解析式为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，∠MAB=∠ABO，点M在直线BC上
①当M在B点右侧时，
∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上的点
，
所以M的横坐标为2，代入 ，得 ，
所以M ，
②当M在B点左侧时，如果，设AM交y轴于点N，
∵∠MAB=∠ABO，
∴ ，
设 ，所以 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设AN解析式为 ，
，
解得 ，
∴ AN的解析式为 ，
联立AN、BC解析式得 ，
解得： ，
∴M ，
综上，M ， ，
故答案为：M 或
【分析】（1）令一次函数y=－2x+4中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，令一次函数y=－2x+4中的x=0算出对应的y的值，可得点B的坐标，将点A、B的坐标分别代入y=kx+b中得出关于k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可得出直线BC的解析式；
（2）根据两点间的距离公式算出AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理判断出∠ABC=90°，当①当M在B点右侧时，根据内错角相等，两直线平行可得AM∥OB，根据平行y轴直线上的点的横坐标相同得点M的横坐标为2，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，据此可得点M的坐标；②当M在B点左侧时，如果，设AM交y轴于点N，根据等角对等边得AN=NB，用含n的式子设出点N的坐标，在Rt△AON中，根据勾股定理建立方程，求解得出n的值，从而可得点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，再联立直线AN与BC的解析式，求解可得点M的坐标，综上即可得出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·温岭期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的各顶点坐标：
（2）P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB＋PC的值最小时，请在图中作出点P，（保留作图痕迹）并直接写出点P的坐标为（　　）.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；A1（2，1），B1（4，-2），C1（1，-1）；
（2）解：如图，点P即为所求；点P的坐标（-2，0）.
故答案为：（-2，0）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）作出点B关于x轴对称的点B′，连接CB′交y轴于点P，
∴PB＋PC的最小值就是线段CB′的长，
∵点C（-1，-1），点B′（-4，2），
设B′C的函数解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
解之：，
∴y=-x-2
当y=0时x=-2，
点P的坐标（-2，0）.
故答案为：（-2，0）
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A，B，C的对称点A1，B1，C1的位置，同时可得到点A1，B1，C1的坐标，然后画出△ △A1B1C1.
（2）利用轴对称的应用最短问题，作出点B关于x轴对称的点B′，连接CB′交y轴于点P，可得到点B′的坐标；利用两点之间线段最短，可得到PB＋PC的最小值就是线段CB′的长；利用待定系数法可求出直线B′C的函数解析式，再由y=0求出对应的x的值，可得到点P的坐标.
18．（2023八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
【答案】（1）解：∵点C（ 2，m）在直线y＝ x＋2上，
∴m＝ （ 2）＋2＝2＋2＝4，
∴点C（ 2，4），
∵函数y＝x＋b的图象过点C（ 2，4），
∴4＝×（ 2）＋b，解得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）（2）∵函数y＝ x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（ 14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，
当点E在线段AD上时，AE＝16 2t，
由（1）知点C的坐标为（ 2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝5，
当点E在线段DA的延长线上时，AE=2t-16，
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝11，
即当△ACE的面积为12时，t的值是5或11.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将点C（ 2，m）代入y＝ x＋2，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再将点C的坐标代入y＝x＋b，可以得到b的值；
（2）分别令求y＝ x＋2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A、点B的坐标，令y＝x＋中的y=0算出对应的x的值可得点D的坐标，然后分当点E在线段AD上时与当点E在线段DA的延长线上时两种情况，用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，建立方程即可得到t的值.
19．（2022八上·莲都期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标；
（3）连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形.若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离.
【答案】（1）解：将y=0代入表达式得：0= x+4，
解得： ，
将x=0代入表达式，得：y=4，
∴点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）.
（2）解：∵点C的坐标为（－2，0），
∴ ，
∵ ，
∴ = × ×8×4=8，
设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=| a＋4|
∵
∴h= ，
∴ =| a＋4|，解得：a=－ 或－ ，
当a=－ 时， a＋4=
当a=－ 时， a＋4= ，
∴点D的坐标为（－ ， ）或( ， ).
（3）解：①如图1，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，
∴△O'C'B'≌△O'EA，
∴O'A＝O'B'＝OB＝4，
∴OO'＝4＋8＝12，
∴平移的距离为12.
②如图2，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，则A与O'重合，
∴OO'=OA=8，
∴平移的距离为8.
③如图3，
∵要拼成无缝不重叠的三角形，
∴△B'BE≌△O'C'E，
∴B'B=O'C'=OC=2，
∴平移的距离为2.
综上所述：平移的距离为2或8或12.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）分别令 一次函数y=x＋4中的y=0与x=0，算出对应的x与y的值，从而即可得出点A、B的坐标；
（2）根据S△AOB=2S△ACD结合三角形面积计算公式求出△ACD的面积，根据一次函数图象上的点的坐标特点特点， 设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=| a＋4| ，进而再根据三角形面积计算公式建立方程，求解可得a的值，从而求出点D的坐标；
（3）① 如图1，由题意得△O'C'B'≌△O'EA，根据全等三角形的对应边相等得O'A＝O'B'＝OB＝4， 进而线段的和差即可算出OO'的长，据此可得平移的距离；②如图2，根据题意A与O'重合，从而可得 OO'=OA=8，据此可得平移的距离；③如图3，由题意得△B'BE≌△O'C'E，根据全等三角形的对应边相等得B'B=O'C'=OC=2，据此可得平移的距离，综上所述可得答案.
20．（2020八上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知点 .
（1）求出点 ，点 的坐标.
（2） 是直线 上一动点，且 和 的面积相等，求点 坐标.
（3）如图2，平移直线 l ，分别交 x 轴， y轴于交于点 A ， B ，过点 C 作平行于 y 轴的直线m ，在直线 m 上是否存在点 Q ，使得 △ABQ 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标.
【答案】（1）解：令y= =0，解得x=-4，
∴A（-4,0）
令x=0，y= =2，
∴B（0,2）
（2）解：如图，当P点在线段AB上，设P（x， ）
∵ ，A（-4,0），B（0,2）
∴CO=2=OB，OA=4
∵ 和 的面积相等
∴ BO×(-x)= CO×（ ），即 ×2×(-x)= ×2×（ ）
解得x=
∴
如图，当P点在直线AB上，当P在BA的延长线上，S△BOP＞S△COP
故P在AB的延长线上，
设P（x， ）
∵ 和 的面积相等
∴ BO×x= CO×（ ），即 ×2×x= ×2×（ ）
解得x=4
∴
综上， 或 ；
（3）答：存在，
符合条件的点Q的坐标有：（-2,2）或 (-2,-2）或（-2,6）或（-2，）.
【知识点】一次函数图象与几何变换；全等三角形的应用
【解析】【解答】（3）解：存在，
理由：如图1
①当点B1是直角顶点时，
∴B1Q=B1A1，
∵∠A1B1O=∠QB1H=90°，∠A1B1O+∠OA1B1=90°，
∴∠OA1B1=∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，
∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H=A1O，OB1=HQ=2，
∴B1（0，-2）或（0,2）
∴B1（0，-2）时，Q（-2,2）,
当B1(0,2）时，
∵B1（0,2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，
∴Q（-2,2）;
②当A1是直角顶点时，A1B1=A1Q，
∵直线AB的解析式为，
由平移知，直线A1B1的解析式为，
∴A1（-2b,0）B1（0，b），
∴A1B12=4b2+b2=5b2，
∵A1B1⊥A1Q，
∴直线A1Q的解析式为y=-2x-4b，
∴Q（-2,4-4b），
∴A1Q2=(-2b+2)2+(4-4b)2=20b2+40b+20，
∴20b2-40b+20=5b2，
∴b=2（不合题意）或b=，
∴Q（-2，）;
③当Q时直角顶点时，过Q作QH⊥y于H，
∴A1Q=B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC=90°，∠A1QC+∠CQB1=90°，
∴∠QA1C=∠CQB1，
∵m∥y轴，
∴∠CQB1=∠QB1H，
∴∠QA1C=∠QB1H，
在△A1QC和△B1QH中，，
∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ=QH=2，B1H=A1C，
∴Q（-2,2）或（-2，-2）,
即满足条件的点Q为（-2,2）或 (-2,-2）或（-2,6）或（-2，）.
【分析】（1）根据A,B坐标的特点即可求解；
（2）分P点在线段AB上、直线AB上根据三角形的面积公式即可求解；
（3）如图2，①当B1是直角顶点时，根据全等三角形的性质可得到结论；②当点A1是直角顶点时，A1B1=A1Q，根据平移的性质得到直线A1B1的解析式为，根据两点间的距离公式即可得到结论；③当P时直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，根据全等三角形的性质即可得到结论.
21．（2022八上·义乌期末）12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练.为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只.已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍.
（1）求每只A型、B型体温枪的价格；
（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只，这100只体温枪的总费用为y元.
①求y关于x的函数关系式；
②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（，且a为正整数），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小.
【答案】（1）解：设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为（m-50）元，
依题意得：，
解得：m=200，
经检验，m=200是原方程的解，且符合题意，
∴m-50=150，
答：每只A型温枪的价格为200元，则每只B型温枪的价格为150元；
（2）解：①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100-x）只，
依题意得：y=200x+150（100-x）=50x+15000，
∵购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，
∴100-x2x，且100-x0，
∴100，
∴y关于x的函数关系式为y=50x+15000（100）；
②依题意得：y=（200-a）x+150（100-x）=（50-a）x+15000（50），
当100，y随x的增加而增加，
∴当x=34时，y有最小值，最小值为y=（50-a）×34+15000=16700-34a；
∴当正整数a=49时，最小值为y=16700-34×49=15304；
当a=50时，y的值为15000；
当50∴当x=50时，y有最小值，最小值为y=（50-a）×50+15000=17500-50a；
∵-50<0，
∴当正整数a=99，最小值为y=17500-50×99=12550；
∵12500<15000<15304，
∴当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为（m-50）元，由题意可得1000元可购买A型体温枪的数量为只，1500元可购买B型体温枪的数量为只，然后根据B型体温枪的数量是A型的两倍建立方程，求解即可；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100-x）只，根据数量×单价可得y与x的关系式，根据“购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍”列出不等式，求出x的范围，据此解答；
②根据数量×单价可得y与x的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答.
22．（2022八上·慈溪期末）甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）.设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）.根据图1、图2的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
（2）求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
（3）补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标.
【答案】（1）解：根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，
∴乙同学的步行速度为：240÷4=60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60=4min，
∴m=29-4=25，
∴乙同学骑车的时间为25-9=16min，共骑了2800-240=2560m，
∴乙骑车的速度为：2560÷16=160m/min，由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480=720m，
∴甲的步行速度为：720÷9=80m/min；
（2）解：由（1）得出m=25，
∴Q（9，240），R（25，2800），
设y与x的关系式为y=kx+b，
，
解得：，
∴关系式为：y=160x-1200，由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的骑行速度为160m/min，两人在amin时第一次相遇，
∴160（a-9）-80（a-9）=480，
解得a=15；
（3）解：图象如图所示：
在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25=2000m，两人相距2800-2000=800m，
∴A（25，80）；甲走完全程用时2560÷80=32min，
∴C（32，0）；在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29=2320m，两人相距2560-2320=240m，
∴B（29，240）；由（2）得a=15，
∴E（15，0）；由图可得D（9，480），由（1）得甲的步行速度为80m/min，前5min只有甲行走，乙不走，距离为：80×5=400m，
∴F（5，400）；
∴F（5，400），D（9，480），E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0）.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5 9分走了240m，由路程除以时间可得乙同学的步行速度；由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，用时为240÷60＝4min，则m＝29 4＝25min，乙同学骑车的时间为25 9＝16min，共骑了2800 240＝2560m，由路程除以时间可得乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min；由图2可知，在9min时，两人相距480m，乙在9min时走了240m，所以甲在9min时走了240＋480＝720m，由路程除以时间可得，甲的步行速度为：720÷9＝80m/min；
（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），设y与x的关系式为y＝kx＋b，将两点的坐标分别代入可得k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的步行速度为60m/min，两人在a min时第一次相遇，所以160（a 9） 80（a 9）＝480，解之即可；
（3）在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800 2000＝800m，甲走完全程用时2560÷80＝32min，在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，两人相距2560 2320＝240m，由此可判断其他各点的坐标．
23．（2021八上·东阳期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
【答案】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCA Rt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为（9， ），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB= ，ON= OA - NA= ，
∴点C的坐标为（ ， ），
设直线BC的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，如图：
同理可证Rt△FAB Rt△EBD，
∴AF= BE，FB= DE，
∵点B的横坐标为 ，
∴AF= BE= ，FB= DE= ，
∴点D的坐标为（ ， ），即D（ ， ），
∴ ；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（ ， ），
由题意得，点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
②当∠BAP=90°时，如图：
同理可证明Rt△HAP Rt△GPA，
∵点B的坐标为（ ， ），
∴PH=AG= ，AH=BG= ，
∴点P的坐标为（ ， ），即（ ， ），
点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
综上，m的值为 或 .
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，易证Rt△NCA Rt△MAB，可求得点C的坐标为（ ， ），再利用待定系数法即可求解；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FAB Rt△EBD，可求得点D的坐标为（ ， ），再利用三角形面积公式即可求解；
（3）题中只给定了AB为直角边，所以分①∠ABP=90°、②∠BAP=90°两种情况讨论，即可求解.
24．（2022八上·沈阳期末）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出　 　，　 　；
②点E的坐标　 　；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化 （填“变”或“不变”），若不变，其值为　 　；若变，请说明理由　 　；
（3）【拓展应用】如图4，当时，直线与y轴交于点D，点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C在x轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　 　．
【答案】（1）8；6；(6，14)
（2）不变；当k变化时，的面积是定值，，理由如下： 当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时， ， 过点N作于M， ， ， ， ， ， ， 又， ． ， ， 变化时，的面积是定值，；
（3）点的坐标为或
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）①若，则直线为直线，
当时，，
，，
当时，，
，，
，，
故答案为：，；
②作于D，
，
，
又是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点E的坐标为；
（3）当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点Q的坐标为，，
，
直线，
将点Q的坐标代入得，，
解得： ，
点Q的坐标为；
当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点Q的坐标为，
，
直线，
将点Q的坐标代入得，，
解得：，
点Q的坐标为．
综上，点Q的坐标为或．
【分析】（1）①将x=0和y=0分别代入求出点A、B的坐标，即可得到OA和OB的长；
②作于D，先证明，可得，，利用线段的和差求出OD的长，即可得到点E的坐标；
（2） 过点N作于M， 先证明，可得，利用三角形的面积公式求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，②当时，过点P作轴于S，过点Q作于T，再利用全等三角形的判定方法和性质求解即可。
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