圆的有关计算（二）(广东省深圳市南山区)

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集训专题:与圆有关的计算(二)
【教学目标】通过作图、识图，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律.
【重点】正多边形的有关计算,弧长与扇形面积的计算，简单组合图形的周长和面积的计算，以及圆锥的侧面积的计算
【难点】 组合图形面积的计算
【考点】中考中弧长的计算，圆柱、圆锥的侧面积及简单组合图形的面积的计算，多以填空或选择题的形式出现
【知识要点】
1．多边形的有关计算:
设正多边形的边数为n，边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为，周长为Pn，面积为Sn，则求：中心角；边心距，周长，面积
2．弧长的计算:如果一个圆的半径为，那么的圆心角所对的弧长为．
3．扇形面积的计算：如果圆的半径为，那么的心角的扇形面积为．
4．圆锥侧面积和全面积:圆锥侧面积等于扇形的面积
【经典例题】
例1 用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地，试问选用哪一种方案，使围成的场地面积较大？并说明理由。
举一反三练：
1．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A、 B、 C、3:2:1 D、1:2:3
2．如图1三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每边都与其中两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）
A、 B、 C、 D、
3.如图2是五角星，已知AC=a，求五角星外接圆的直径.
二、弧长计算
例2．如图所示，①、②…③是边长均大于2的三角形，四边形、凸边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…条弧.
（1）图①中3条弧的弧长的和为 ，图②中4条弧的弧长的和为 .
（2）求图中条弧的弧长的和（用表示）
例3.已知扇形的弧长为20cm，半径为5cm，求扇形的周长及面积.
例4.如图3，大半圆的弧长为，几个小圆互相外切，其直径之和等于大圆的直径，若几个小的半圆的总弧长，同下列关系成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
举一反三练：
1、秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（ ）。
A、米 B、2米 C、 D、
2．如图4，在△ABC中，∠C=90o，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90o，那么点A移动所走过的路线长是 cm（不取近似值）。
3．如图5，5个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲早沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行则下列结论正确的是（ ）
A、甲先到B点 B、乙先到B点
C、甲、乙同时到B点 D、无法确定
三、求阴影部分面积
例5.如图6，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE为半径的半圆交AB于E、F，弦AC是小圆的切线，D为切点，AO=4，EO=2，求阴影部分的面积。
举一反三练：
1.如图7，以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，
向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD=1，BD=3，
则图中阴影部分面积为 （平方单位）。
2．如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90o，以AB为直径的⊙O切CD于E，交BC于F，若AB=4cm，AD=1cm，则图中阴影部分面积为 cm2(不用近似值)。
3．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》，图案的一部分是以斜边为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆（如图9），则图中阴影部分的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
四、侧面展开图
例6．如图10所示，已知圆锥的母线AB=6，底面半径，求圆锥的侧面积以及圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角.
例7 如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm母线长是8cm，在点A处有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对且离圆锥顶点cm的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
举一反三练：
1、一个扇形如图11所示，半径为10cm，圆心角为270o，用它做成一个圆锥的侧面，那么圆锥的高为 cm。
2．如图12，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长为32m，母线长7m，为防雨
需要在粮仓顶部铺上油毡，则共需油毡 m2。（油毡接缝重合部分不计）
3．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是一个半径为9cm，圆心角为240o的扇形纸板制成的，还需要一块圆形纸板做底面，那么这块圆形板的直径为（ ）
A、15cm B、12cm C、10cm D、9cm
【冲刺练习】
1．计算：
（1）已知圆的面积为，其圆周上一段弧长为，
那么这段弧所对圆心角的度数是 ．
（2）如图13所示，AB、CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，
以B为圆心，以BC为半径作CED，则CED与CAD围成的新月形ACED的面积为 .
（3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为 .
2．如图15所示，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送20cm到B时，这个转动轮转了 度.（取3.14，结果保留四个有效数字
3．如图16,在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=60o，AC=，将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，且使点A、B、C’三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长是 cm．
4．如图17，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN=a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．
5．一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，求（1）圆锥的母线与底面半径之比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的表面积．
6．有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形ABC，如图18所示.
（1）求被剪掉的阴影部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
（3）求圆锥的全面积.
7．已知⊙O的半径为R，直径AB⊥直径CD，以B为圆心，以BD为半径作⊙B交AB于点E，交AB的延长线于点F，联结DB并延长交⊙B于点M，联结MA交⊙O于点N，交CD于点H，交⊙B于点G．（1）求图中阴影部分的面积S；（2）求证：．
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，
如图19所示，那么B点从开始至结束（到达图中所示的位置）
所走过的路径长度为（ ）.
A、 B、 C、4 D、
2．如图20所示，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）.
A、 B、 C、 D、
3．如图21所示，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，，则阴影部分的面积为（ ）.
A、 B、 C、 D、
4.如图22所示，是等腰直角三角形，，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A、 B、 C、 D、
5．如图23所示，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为
6．半径为8的半圆是一个圆锥的侧面展开图，那么这个圆锥的底面半径是（ ）.
A、16 B、8 C、4 D、2
7．一个扇形的圆心角是，它的面积为，那么这个扇形的半径是（ ）.
A、 B、 C、 D、
8．如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积为（ ）.
A、 B、 C、 D、
9．如图24所示，在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点F.
（1）若CF长为，求圆心角的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及的形式）
10．如图所示，在一个物体的横截面为中，，BC=1米.工人师傅要把此物体搬一墙边，先将AB边放在地面（直线）上，再按顺时针方向绕点B翻转到的位置（上），最后沿射线的方向平移到的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时恰好靠在墙边）
（1）请直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）
A
B
C
A
B
C
D
E
C
O·
…
A
B
C
A
A1
A2
A3
B
D
E
F
G
·
A
E
O
F
B
D
C
A
B
C
D
·
·
·
O2
O1
·
A
D
C
E
F
B
O
12
A
B
O
A
C
D
O
E
B
A
B
·
·
·
B
·
O
A
·
A
B
C
A
B
C
O
·
·
M
D
·
N
·
B
A
C
O
B
A
·
A
B
C
①
A
D
C
B
②
A11
A21
A31
A41
A51
A61
A71
An
B
·
·
·
H
N
M
A
B
C
D
F
图24
A
B
O
A
C
B
图20
图21
图22
A
B
C
B
A
C
B
图19
图2
图1
图3
图23
图18
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图12
图14
图13
A1
B1
C1
C2
A2
B
A
图17
图16
图15
C
A
C
D
E
F
O
G
1